Hesse normal form

Avstånd från origo O till linjen E beräknat med Hessens normalform. Normalvektor i rött, linje i grönt, punkt O visas i blått.

Hessens normalform uppkallad efter Otto Hesse , är en ekvation som används i analytisk geometri , och beskriver en linje i $\mathbb {R} ^{2}$ eller ett plan i det euklidiska rymden $\mathbb {R} ^{3}$ eller ett hyperplan i högre dimensioner. Den används främst för att beräkna avstånd (se punkt-plansavstånd och punktlinjeavstånd ) .

Det är skrivet i vektornotation som

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$

Punkten $\cdot$ indikerar den skalära produkten eller punktprodukten . Vektor ${\vec {r}}$ pekar från origo för koordinatsystemet, O , till vilken punkt P som helst som ligger exakt i plan eller på linje E . Vektorn ${\vec {n}}_{0}$ representerar enhetsnormalvektorn för planet eller linjen E . Avståndet $d\geq 0$ är det kortaste avståndet från origo O till planet eller linjen.

Härledning/Beräkning från normalformen

Obs: För enkelhetens skull diskuterar följande härledning 3D-fallet. Det är dock även tillämpbart i 2D.

I normal form,

$({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,$

ett plan ges av en normalvektor ${\vec {n}}$ samt en godtycklig positionsvektor ${\vec {a}}$ för en punkt $A\in E$ . Riktningen för ${\vec {n}}$ är vald för att tillfredsställa följande olikhet

${\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,$

Genom att dividera normalvektorn ${\vec {n}}$ med dess storlek $|{\vec {n}}|$ , vi får enheten (eller normaliserad) normalvektor

${\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,$

och ovanstående ekvation kan skrivas om som

$({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\ ,$

Ersätter

$d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,$

vi får Hessens normala form

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$

I detta diagram är d avståndet från origo. Eftersom ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d$ gäller för varje punkt i planet, är det också sant i punkt Q ( punkten där vektorn från origo möter planet E), med ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}} ,$ enligt definitionen av Skalär produkt

$d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec { n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s} |.\,$

Storleken $|{\vec {r}}_{s}|$ av ${{\vec {r}}_{s}}$ är det kortaste avståndet från origo till planet.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Hessiansk normalform" . MathWorld .