Användning av trigonometri

Robotmanipulatorn Canadarm2 på den internationella rymdstationen manövreras genom att kontrollera vinklarna på dess leder. Att beräkna den slutliga positionen för astronauten i slutet av armen kräver upprepad användning av trigonometriska funktioner för dessa vinklar.

Bland lekmännen av icke-matematiker och icke-vetenskapsmän är trigonometri främst känd för sin tillämpning på mätproblem, men används också ofta på sätt som är mycket mer subtila, såsom dess plats i musikteorin ; ytterligare andra användningsområden är mer tekniska, såsom i talteorin . De matematiska ämnena i Fourier-serier och Fourier-transformationer förlitar sig starkt på kunskap om trigonometriska funktioner och finner tillämpning inom ett antal områden, inklusive statistik .

Thomas Paines uttalande

I kapitel XI av The Age of Reason skrev den amerikanske revolutionären och upplysningstänkaren Thomas Paine :

De vetenskapliga principer som människan använder för att erhålla förkunskapen om en förmörkelse, eller om något annat som har med himmelkropparnas rörelse att göra, finns huvudsakligen i den del av vetenskapen som kallas trigonometri, eller egenskaperna hos en triangel, som, när det tillämpas på studiet av himmelska kroppar, kallas det astronomi; när det används för att styra ett fartygs kurs på havet, kallas det navigering; när det tillämpas på konstruktionen av figurer ritade av en linjal och kompass, kallas det geometri; när det tillämpas på konstruktion av byggnadsplaner kallas det arkitektur; när det tillämpas på mätning av någon del av jordens yta kallas det landmätning. I fina är det vetenskapens själ. Det är en evig sanning: den innehåller den matematiska demonstration som människan talar om, och omfattningen av dess användningar är okänd.

Historia

Stor trigonometrisk undersökning

Huvudartikel: Great Trigonometrical Survey

Från 1802 till 1871 var Great Trigonometrical Survey ett projekt för att kartlägga den indiska subkontinenten med hög precision. Med utgångspunkt från kustbaslinjen triangulerade matematiker och geografer stora avstånd över landet. En av de viktigaste prestationerna var att mäta höjden på Himalayabergen och fastställa att Mount Everest är den högsta punkten på jorden.

Historisk användning för multiplikation

Under de 25 åren som föregick uppfinningen av logaritmen 1614 var prostafaeres det enda kända allmänt tillämpliga sättet att snabbt approximera produkter. Den använde identiteterna för de trigonometriska funktionerna av summor och skillnader i vinklar i termer av produkterna av trigonometriska funktioner för dessa vinklar.

Vissa moderna användningsområden

Vetenskapliga områden som använder trigonometri inkluderar:

akustik , arkitektur , astronomi , kartografi , civilingenjör , geofysik , kristallografi , elektroteknik , elektronik , lantmäteri och geodesi , många fysikaliska vetenskaper , maskinteknik , maskinbearbetning , medicinsk bildbehandling , talteori , oceanografi , optik , farmakologi , farmakologi , teori , farmakologi , statistik och visuell perception

Att dessa fält involverar trigonometri betyder inte att kunskap om trigonometri behövs för att lära sig något om dem. Det betyder att vissa saker inom dessa områden inte kan förstås utan trigonometri. Till exempel kan en professor i musik kanske inte veta något om matematik, men skulle förmodligen veta att Pythagoras var den tidigaste kända bidragsgivaren till den matematiska musikteorin.

Inom några av de ovan listade verksamhetsområdena är det lätt att föreställa sig hur trigonometri skulle kunna användas. Till exempel, inom navigering och lantmäteri, är tillfällena för användning av trigonometri åtminstone i vissa fall enkla nog att de kan beskrivas i en inledande trigonometrilärobok. När det gäller musikteori är tillämpningen av trigonometri relaterad till arbete som påbörjats av Pythagoras, som observerade att ljuden som skapas genom att plocka två strängar av olika längd är konsonanta om båda längderna är små heltalsmultiplar av en gemensam längd. Likheten mellan formen på en vibrerande sträng och grafen för sinusfunktionen är ingen ren tillfällighet. Inom oceanografin är likheten mellan formerna på vissa vågor och grafen för sinusfunktionen inte heller tillfällig. Inom några andra områden, bland dem klimatologi , biologi och ekonomi, finns det säsongsbetonade periodiciteter. Studiet av dessa involverar ofta sinus- och cosinusfunktionens periodiska karaktär.

Fourier-serier

Många fält använder sig av trigonometri på mer avancerade sätt än vad som kan diskuteras i en enda artikel. Ofta involverar de det som kallas Fourier-serier , efter den franske matematikern och fysikern Joseph Fourier från 1700- och 1800-talet . Fourier-serier har en förvånansvärt mångfald av tillämpningar inom många vetenskapliga områden, i synnerhet inom alla de fenomen som involverar säsongsbetonade periodiciteter som nämnts ovan, och i vågrörelser, och därmed i studiet av strålning, av akustik, av seismologi, av modulering av radio vågor inom elektronik och elkraftteknik.

En Fourier-serie är en summa av denna form:

$\square +\underbrace {\square \cos \theta +\square \sin \theta } _{1}+\underbrace {\square \cos(2\theta )+\square \sin(2\theta )} _{2}+\underbrace {\square \cos(3\theta )+\square \sin(3\theta )} _{3}+\cdots \,$

där var och en av kvadraterna ( $\square$ ) är olika tal, och en lägger till oändligt många termer. Fourier använde dessa för att studera värmeflöde och diffusion (diffusion är den process där, när du tappar en sockerbit i en liter vatten, sockret gradvis sprids genom vattnet, eller en förorening sprids genom luften, eller något löst ämne sprids genom någon vätska).

Fourierserier är också tillämpliga på ämnen vars samband med vågrörelser är långt ifrån uppenbart. Ett allmänt förekommande exempel är digital komprimering där bilder , ljud och videodata komprimeras till en mycket mindre storlek, vilket gör det möjligt att överföra dem över telefon , internet och sändningsnätverk . Ett annat exempel, som nämnts ovan, är diffusion. Bland andra är: geometrin av siffror , isoperimetriska problem , återkommande slumpmässiga promenader , kvadratisk reciprocitet , den centrala gränssatsen , Heisenbergs ojämlikhet .

Fourier transformer

Ett mer abstrakt begrepp än Fourierserier är idén om Fouriertransform . Fouriertransformer involverar integraler snarare än summor och används inom en liknande mångfald av vetenskapliga områden. Många naturlagar uttrycks genom att relatera förändringshastigheter av kvantiteter till kvantiteterna själva. Till exempel: Befolkningsförändringstakten är ibland gemensamt proportionell mot (1) den nuvarande befolkningen och (2) den mängd med vilken den nuvarande befolkningen understiger bärförmågan . Denna typ av relation kallas en differentialekvation . Om man, givet denna information, försöker uttrycka populationen som en funktion av tiden, försöker man "lösa" differentialekvationen. Fouriertransformer kan användas för att omvandla vissa differentialekvationer till algebraiska ekvationer för vilka metoder för att lösa dem är kända. Fouriertransformer har många användningsområden. I nästan alla vetenskapliga sammanhang där orden spektrum, harmonisk eller resonans påträffas, finns Fouriertransformer eller Fourierserier i närheten.

Statistik, inklusive matematisk psykologi

Intelligenskvoter hålls ibland fördelade enligt den klockformade kurvan . Cirka 40 % av arean under kurvan ligger i intervallet från 100 till 120; på motsvarande sätt får cirka 40 % av befolkningen mellan 100 och 120 poäng på IQ-tester. Nästan 9 % av arean under kurvan ligger i intervallet från 120 till 140; på motsvarande sätt får cirka 9% av befolkningen mellan 120 och 140 på IQ-tester etc. På liknande sätt fördelar sig många andra saker enligt den "klockformade kurvan", inklusive mätfel i många fysiska mätningar. Varför är den "klockformade kurvan" allestädes närvarande? Det finns en teoretisk anledning till detta, och det handlar om Fourier-transformer och därmed trigonometriska funktioner . Det är en av många olika tillämpningar av Fourier-transformationer till statistik .

Trigonometriska funktioner används också när statistiker studerar säsongsbetonade periodiciteter, som ofta representeras av Fourier-serier.

Talteori

Det finns en antydan om ett samband mellan trigonometri och talteori. Löst kan man säga att talteorin handlar om kvalitativa egenskaper snarare än kvantitativa egenskaper hos tal.

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots \dots ,\qquad { \frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

Släng de som inte är i lägsta termer; behåll bara de som är i lägsta termer:

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

Ta sedan in trigonometri:

${\le \pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\cdots +\cos \left( 2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right)}$

Värdet på summan är −1, eftersom 42 har ett udda antal primtalsfaktorer och ingen av dem upprepas: 42 = 2 × 3 × 7. (Om det hade funnits ett jämnt antal icke-repeterade faktorer skulle summan har varit 1; om det hade funnits några upprepade primtalsfaktorer (t.ex. 60 = 2 × 2 × 3 × 5) så skulle summan ha varit 0; summan är Möbius-funktionen utvärderad till 42.) Detta antyder möjligheten att tillämpa Fourieranalys på talteori.

Lösa icke-trigonometriska ekvationer

Olika typer av ekvationer kan lösas med hjälp av trigonometri.

Till exempel har en linjär differensekvation eller linjär differentialekvation med konstanta koefficienter lösningar uttryckta i termer av egenvärdena för dess karakteristiska ekvation; om några av egenvärdena är komplexa , kan de komplexa termerna ersättas av trigonometriska funktioner av reella termer, vilket visar att den dynamiska variabeln uppvisar svängningar .

På liknande sätt har kubiska ekvationer med tre reella lösningar en algebraisk lösning som är ohjälpsam eftersom den innehåller kubrötter av komplexa tal; återigen finns en alternativ lösning i termer av trigonometriska funktioner av reella termer.