Hawaiian örhänge

Hawaiiörhänget. Endast de tio största cirklarna visas.

I matematik är det hawaiiska örhänget $\mathbb {H}$ det topologiska utrymmet som definieras av föreningen av cirklar i det euklidiska planet $\mathbb {R} ^{2}$ med centrum $\left({\tfrac {1}{n}},0\right)$ och radie ${\tfrac {1}{n}}$ för $n=1,2,3,\ldots$ utrustad med subrymdstopologin :

$\mathbb {H} =\bigcup _{n=1 }^{\infty }\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left(x-{\frac {1}{n}}\right)^{2} +y^{2}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}\right\}$

Mellanrummet $\mathbb {H}$ är homeomorft till enpunktskomprimeringen av föreningen av en räknebar familj av disjunkta öppna intervall .

Det hawaiianska örhänget är ett endimensionellt , kompakt , lokalt väganslutet mätbart utrymme. Även om $\mathbb {H}$ är lokalt homeomorf till $\mathbb {R}$ vid alla icke-ursprungspunkter, är $\mathbb {H}$ inte semi-lokalt helt enkelt ansluten till $(0,0)$ . Därför $\mathbb {H}$ inte ett enkelt anslutet täckande utrymme och ges vanligtvis som det enklaste exemplet på ett utrymme med denna komplikation.

Det hawaiianska örhänget ser väldigt likt kilsumman av oräkneligt oändligt många cirklar; det vill säga rosen med oändligt många kronblad, men dessa två utrymmen är inte homeomorfa. Skillnaden mellan deras topologier ses i det faktum att i det hawaiianska örhänget innehåller varje öppet område i skärningspunkten för cirklarna alla utom ändligt många av cirklarna (en ε -kula runt (0, 0 ) innehåller varje cirkel vars radie är mindre än ε /2 ); i rosen kanske ett område av skärningspunkten inte helt innehåller någon av cirklarna. Dessutom är rosen inte kompakt: komplementet till den distingerade punkten är en oändlig förening av öppna intervall; till dessa lägg till ett litet öppet område av den distingerade punkten för att få ett öppet lock utan ändligt undertäcke.

Grundläggande grupp

  Det hawaiianska örhänget är varken enkelt anslutet eller semilokalt helt enkelt eftersom, för alla $n\geq 1,$ slingan $\ell _{n}$ som parametrerar den n :te cirkeln inte är homotopisk till en trivial loop. Således $\mathbb {H}$ en icke-trivial fundamental grupp $G=\pi _{1}(\mathbb {H} ,(0, 0)),$ ibland kallad Hawaii-örhängegruppen . Den hawaiianska örhängegruppen $G$ är oräknelig, och det är inte en gratis grupp. Emellertid $G$ lokalt fri i den meningen att varje ändligt genererad undergrupp av $G$ är fri.

Homotopiklasserna för de individuella looparna $\ell _{n}$ genererar den fria gruppen $\langle [\ell _{n}]\mid n\ geq 1\rangle$ på ett oräkneligt oändligt antal generatorer, som bildar en riktig undergrupp av $G$ . De oräkneligt många andra elementen i $G$ härrör från slingor vars bild inte finns i ändligt många av det hawaiianska örhängets cirklar; i själva verket är några av dem surjektiva. Till exempel, den väg som på intervallet $[2^{-n},2^{-n+1}]$ går runt den n :te cirkeln. Mer generellt kan man bilda oändliga produkter av slingorna $\ell _{n}$ indexerade över vilken som helst räknebar linjär ordning förutsatt att för varje $n\geq 1$ , slingan ${ \displaystyle \ell _{n}}$ och dess invers förekommer i produkten endast ändligt många gånger.

Det är ett resultat av John Morgan och Ian Morrison att $G$ bäddas in i den omvända gränsen $\varprojlim F_{n}$ av de fria grupperna med n generatorer, $F_{n}$ , där bindningskartan från $F_{n}$ till $F_{n-1}$ helt enkelt dödar den sista generatorn av $F_{n }$ . ${\displaystyle G} är$ dock en riktig undergrupp av den inversa gränsen eftersom varje slinga i ${\displaystyle \mathbb {H} } bara$ kan korsa varje cirkel av $\mathbb {H}$ ändligt många gånger. Ett exempel på ett element i den inversa gränsen som inte motsvarar ett element i $G$ är en oändlig produkt av kommutatorer ${\textstyle \prod _{n=2}^{\infty [\ell _{1}\ell _{n}\ell _{1}^{-1}\ell _{n}^{-1}]}$$\left(1,[\ell _{1}][\ell _{2}][\ ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1},[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^ {-1}[\ell _{2}]^{-1}[\ell _{1}][\ell _{3}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _ {3}]^{-1},\dots \right)$ som sekvensen i den omvända gränsen $\varprojlim F_{n}$ .

Första singularhomologi

Katsuya Eda och Kazuhiro Kawamura bevisade att abelianiseringen av $G,$ och därför den första singularhomologigruppen $H_{1}(\mathbb {H} )$ är isomorf för gruppen

$$\left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right)\oplus \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right).$$

Den första summan ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ är den direkta produkten av oändligt många kopior av den oändliga cykliska gruppen (Baer– Specker-gruppen ). Denna faktor representerar de singulära homologiklasserna av slingor som inte har lindningsnummer $0$ runt varje cirkel av $\mathbb {H}$ och är exakt den första Cech Singular homologigruppen ${ \displaystyle {\check {H}}_{1}(\mathbb {H} )}$ . Dessutom ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ betraktas som den oändliga abelianiseringen av $G$ , eftersom varje element i kärnan av den naturliga homomorfismen ${\textstyle G\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ representeras av en oändlig produkt av kommutatorer. Den andra summan av $H_{1}(\mathbb {H} )$ består av homologiklasser representerade av slingor vars lindningsnummer runt varje cirkel av $\mathbb {H}$ är noll , dvs kärnan i den naturliga homomorfismen ${\textstyle H_{1}(\mathbb {H} )\to \prod _{i=1}^{\infty }\ mathbb {Z} }$ . Förekomsten av isomorfismen med ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i =1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ bevisas abstrakt med hjälp av oändlig abelsk gruppteori och har ingen geometrisk tolkning.

Högre dimensioner

Det är känt att $\mathbb {H}$ är ett asfäriskt utrymme , dvs alla högre homotopi- och homologigrupper av $\mathbb {H}$ är triviala.

Hawaiiörhänget kan generaliseras till högre dimensioner. En sådan generalisering användes av Michael Barratt och John Milnor för att ge exempel på kompakta änddimensionella utrymmen med icke-triviala singulära homologigrupper i dimensioner större än utrymmets. Det $k$ -dimensionella hawaiiska örhänget definieras som

$\mathbb {H} _{k}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots,x_{k})\ i \mathbb {R} ^{k+1}:\left(x_{0}-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}.$

Följaktligen är $\mathbb {H} _{k}$ en räknebar förening av k -sfärer som har en enda punkt gemensam, och topologin ges av en metrik där sfärens diametrar konvergerar till noll som $n\to \infty .$ Alternativt kan $\mathbb {H} _{k}$ konstrueras som Alexandrov-komprimeringen av en räknebar förening av disjunkta $\mathbb {R} ^{k}$ s. Rekursivt har man att $\mathbb {H} _{0}$ består av en konvergent sekvens, $\mathbb {H} _{1}$ är det ursprungliga hawaiianska örhänget, och $\mathbb {H} _{k+1}$ är homeomorf till den reducerade suspensionen $\Sigma \mathbb {H} _{k}$ .

För ${\displaystyle k\geq 1} är$ det $k$ -dimensionella hawaiiska örhänget ett kompakt, $(k-1)$ -anslutet och lokalt $(k-1)$ -ansluten . För $k\geq 2$ är det känt att $\pi _{k}(\mathbb {H} _{k})$ är isomorft till Baer– Specker grupp ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} .}$

För $q\equiv 1{\bmod {(}}k-1)$ och $q>1,$ visade Barratt och Milnor att singularhomologin grupp $H_{q}(\mathbb {H} _{k};\mathbb {Q} )$ är en icke-trivial oräknelig grupp för varje sådan $q$ .

Se även

• Lista över topologier

Vidare läsning

•   Cannon, James W. ; Conner, Gregory R. (2000), "The big fundamental group, big Hawaiian earrings, and the big free groups", Topology and Its Applications , 106 (3): 273–291, doi : 10.1016/S0166-8641(99) 00104-2 , MR 1775710 .
•   Conner, Gregory; Spencer, K. (2005), "Anomalous behavior of the Hawaiian earring group", Journal of Group Theory , 8 (2): 223–227, doi : 10.1515/jgth.2005.8.2.223 , MR 2126731 .
•   Eda, Katsuya (2002), "The fundamental groups of one-dimensional wild spaces and the Hawaiian earring" (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society, 130 ( 5): 1515–1522, doi : 10.1090/S0002-9939- 01-06431-0 , MR 1879978 .
•   Eda, Katsuya ; Kawamura, Kazuhiro (2000), "The singular homology of the Hawaiian earring", Journal of the London Mathematical Society , 62 (1): 305–310, doi : 10.1112/S0024610700001071 , MR 1772189 .
•   Fabel, Paul (2005), "The topological Hawaiian earring group does not embed in the inverse limit of free groups", Algebraic & Geometric Topology , 5 (4): 1585–1587, arXiv : math/0501482 , Bibcode : 2005math.. ....1482F , doi : 10.2140/agt.2005.5.1585 , MR 2186111 .
•   Morgan, John W .; Morrison, Ian (1986), "A van Kampen theorem for weak joins", Proceedings of the London Mathematical Society , 53 (3): 562–576, doi : 10.1112/plms/s3-53.3.562 , MR 0868459 .