Acceleration (speciell relativitet)

Accelerationer i speciell relativitet (SR) följer, som i Newtonsk mekanik , av differentiering av hastighet med avseende på tid . På grund av Lorentz-transformationen och tidsutvidgningen blir begreppen tid och avstånd mer komplexa, vilket också leder till mer komplexa definitioner av "acceleration". SR som teorin om platt Minkowskis rymdtid förblir giltig i närvaro av accelerationer, eftersom generell relativitetsteori (GR) endast krävs när det finns krökning av rymdtiden orsakad av energi-momentumtensorn (som huvudsakligen bestäms av massa ). Men eftersom mängden rumtidskrökning inte är särskilt hög på jorden eller dess närhet, förblir SR giltigt för de flesta praktiska ändamål, såsom experiment i partikelacceleratorer .

Man kan härleda transformationsformler för vanliga accelerationer i tre rumsliga dimensioner (treacceleration eller koordinatacceleration) mätt i en extern tröghetsreferensram, såväl som för det speciella fallet med korrekt acceleration mätt med en accelerationsmätare . En annan användbar formalism är fyracceleration , eftersom dess komponenter kan kopplas samman i olika tröghetsramar genom en Lorentz-transformation. Även rörelseekvationer kan formuleras som förbinder acceleration och kraft . Ekvationer för flera former av acceleration av kroppar och deras krökta världslinjer följer av dessa formler genom integration . Välkända specialfall är hyperbolisk rörelse för konstant longitudinell korrekt acceleration eller enhetlig cirkulär rörelse . Så småningom är det också möjligt att beskriva dessa fenomen i accelererade ramar i samband med speciell relativitetsteori, se Korrekt referensram (platt rumtid) . I sådana ramar uppstår effekter som är analoga med homogena gravitationsfält , som har vissa formella likheter med de verkliga, inhomogena gravitationsfälten för krökt rumtid i allmän relativitet. Vid hyperbolisk rörelse kan man använda Rindler-koordinater , vid enhetlig cirkulär rörelse kan man använda Born-koordinater .

När det gäller den historiska utvecklingen kan relativistiska ekvationer som innehåller accelerationer hittas redan under relativitetsteoriets tidiga år, vilket sammanfattas i tidiga läroböcker av Max von Laue (1911, 1921) eller Wolfgang Pauli (1921). Till exempel utvecklades ekvationer för rörelse- och accelerationstransformationer i artiklarna av Hendrik Antoon Lorentz (1899, 1904), Henri Poincaré (1905), Albert Einstein (1905), Max Planck (1906), och fyracceleration, korrekt acceleration, hyperbolisk rörelse, accelererande referensramar, Born rigidity , har analyserats av Einstein (1907), Hermann Minkowski (1907, 1908), Max Born (1909), Gustav Herglotz (1909), Arnold Sommerfeld (1910), von Laue (1911) , Friedrich Kottler (1912, 1914), se avsnitt om historia .

Tre-acceleration

I enlighet med både newtonsk mekanik och SR, treacceleration eller koordinatacceleration $\mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y}, \ a_{z}\right)$ är den första derivatan av hastigheten $\mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y}, \ u_{z}\right)$ med avseende på koordinattid eller andraderivatan av platsen $\mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\ höger)$ med avseende på koordineringstid:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf { r} }{dt^{2}}}$ .

Teorierna skiljer sig dock kraftigt åt i sina förutsägelser när det gäller förhållandet mellan tre-accelerationer uppmätt i olika tröghetsramar. I newtonsk mekanik är tiden absolut med $t'=t$ i enlighet med den galileiska transformationen , därför är treaccelerationen som härleds från den lika stor i alla tröghetsramar:

$\mathbf {a} =\mathbf {a} '$ .

Tvärtom i SR är både $\mathbf {r}$ och $t$ beroende av Lorentz-transformationen, därför varierar även treaccelerationen $\mathbf {a}$ och dess komponenter i olika tröghetsramar. När den relativa hastigheten mellan bildrutorna är riktad i x-riktningen av $v=v_{x}$ med $\gamma _{v }=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ som Lorentz-faktor , Lorentz-transformationen har formen

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt )\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}} x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}}$

 

 

 

 

()

eller för godtyckliga hastigheter $\mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)$ av magnitud $|\mathbf {v} |=v$ :

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned }\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}} \left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac { \mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf { v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+t' \gamma _{v}\right]\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right) \end{aligned}}\end{array}}$

 

 

 

 

()

För att ta reda på transformationen av treacceleration måste man differentiera de rumsliga koordinaterna $\mathbf {r}$ och $\mathbf {r} '$ för Lorentz-transformationen med avseende på $t$ och $t'$ , från vilken transformationen av trehastighets (även kallad hastighetsadditionsformel ) mellan $\mathbf {u}$ och $\mathbf {u} '$ följer, och så småningom genom en annan differentiering med avseende på $t$ och $t'$ transformationen av tre-acceleration mellan $\mathbf {a}$ och $\mathbf {a} '$ följer. Med utgångspunkt från ( 1a ), ger denna procedur transformationen där accelerationerna är parallella (x-riktning) eller vinkelräta (y-, z-riktning) mot hastigheten:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}a_{x}^{\prime }&={\frac {a_{x}}{\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}^{\prime }&={\frac {a_{y}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^ {2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{ \frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}^{\prime }&={\frac {a_{z}}{\ gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x} {\frac {u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2 }}}\right)^{3}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {a_{x}^{\prime }}{\gamma _{ v}^{3}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}& ={\frac {a_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{ 2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{y}^{\prime }v}{c^{2}}} }{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\ \a_{z}&={\frac {a_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime } v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{z}^{\prime }v}{c ^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)^ {3}}}\end{aligned}}\end{array}}$

 

 

 

 

()

eller med utgångspunkt från ( 1b ) ger denna procedur resultatet för det allmänna fallet med godtyckliga riktningar av hastigheter och accelerationer:

${\begin{aligned}\ mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a} }{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{ 2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2} \gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}+{\frac { \mathbf {(a\cdot v)u} }{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{ 2}}}\right)^{3}}}\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {a} '}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{ \frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)v} \left( \gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^ {2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\ vänster(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

Detta betyder att om det finns två tröghetsramar $S$ och $S'$ med relativ hastighet $\mathbf {v}$ , då i $S$ accelerationen ${ \displaystyle \mathbf {a} }$ av ett objekt med momentan hastighet $\mathbf {u}$ mäts, medan i $S'$ har samma objekt en acceleration $\mathbf {a} '$ och har den momentana hastigheten $\mathbf {u} '$ . Liksom med formlerna för hastighetsaddition garanterar även dessa accelerationstransformationer att den resulterande hastigheten för det accelererade objektet aldrig kan nå eller överträffa ljusets hastighet .

Fyracceleration

Huvudartikel: Fyracceleration

Om fyra-vektorer används istället för tre-vektorer, nämligen $\mathbf {R}$ som fyrposition och $\mathbf {U}$ som fyra-hastighet , då är fyraccelerationen $\mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y}, \ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)$ av ett objekt erhålls genom differentiering med avseende på korrekt tid $\mathbf { \tau }$ istället för koordinattid:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}={\frac {d^{2}\mathbf { R} }{d\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2} \mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{ c}},\ \gamma ^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}+\gamma ^{2} \mathbf {a} \right)\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

där $\mathbf {a}$ är objektets treacceleration och $\mathbf {u}$ dess momentana tre-storlekshastighet $|\mathbf {u} |=u$ med motsvarande Lorentz-faktor $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2} /c^{2}}}$ . Om endast den rumsliga delen beaktas, och när hastigheten är riktad i x-riktningen av $u=u_{x}$ och endast accelerationer parallella (x-riktning) eller vinkelräta (y-, z -riktning) till hastigheten, reduceras uttrycket till:

$\mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2}, \ \gamma ^{2}\right)$

Till skillnad från tre-accelerationen som diskuterats tidigare är det inte nödvändigt att härleda en ny transformation för fyra-acceleration, eftersom som med alla fyra-vektorer, komponenterna av $\mathbf {A}$ och $\ mathbf {A} '$ i två tröghetsramar med relativ hastighet $v$ är förbundna med en Lorentz-transformation analog med ( 1a , 1b ). En annan egenskap hos fyrvektorer är invariansen för den inre produkten $\mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf { A} _{r}^{2}$ eller dess storlek ${\displaystyle |\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}} ,$ vilket ger i detta fall:

$|\mathbf {A} '|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[ \mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right] }}$ .

 

 

 

 

()

Rätt acceleration

Huvudartikel: Korrekt acceleration

I oändligt små varaktigheter finns det alltid en tröghetsram, som momentant har samma hastighet som den accelererade kroppen, och i vilken Lorentz-transformationen håller. Motsvarande treacceleration $\mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0 },\ a_{z}^{0}\right)$ i dessa ramar kan mätas direkt med en accelerometer, och kallas korrekt acceleration eller viloacceleration. Relationen mellan $\mathbf {a} ^{0}$ i en momentan tröghetsram $S'$ och $\mathbf {a}$ mätt i en extern tröghetsram ${\ displaystyle S}$ följer av ( 1c , 1d ) med $\mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}$ , $\mathbf {u} '=0$ , $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ och $\gamma =\gamma _{v}$ . Så i termer av ( 1c ), när hastigheten är riktad i x-riktningen av $u=u_{x}=v=v_{x}$ och när endast accelerationer är parallella (x-riktning) eller vinkelrät (y-, z-riktning) mot hastigheten betraktas, det följer:

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}a_{x}^{0}&={\frac {a_{x} }{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\a_{y}^{0}&={\ frac {a_{y}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}^{0}&={\frac {a_{z} }{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&=a_{x}^{0 }\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&=a_{y}^{0}\ vänster(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\höger)\\a_{z}&=a_{z}^{0}\left(1-{\frac { u^{2}}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\ mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {a} &=\mathbf {\mathbf {a} } ^{0}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

 

 

 

 

()

Generaliserad med ( 1d ) för godtyckliga riktningar av $\mathbf {u}$ av magnitud $|\mathbf {u} |=u$ :

${\begin {aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf { u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left [\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left( 1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}$

Det finns också ett nära samband med storleken på fyraccelerationen: Eftersom den är invariant kan den bestämmas i den momentana tröghetsramen $S'$ , där $\mathbf { A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}$ och med $dt'/d\tau =1$ följer det $d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0$ :

$|\mathbf {A} '|={\sqrt {0+\left.\mathbf {a} ^{0}\right.^{2}}}=|\mathbf {a} ^{0} |$ .

 

 

 

 

()

Således motsvarar storleken av fyra-acceleration storleken på korrekt acceleration. Genom att kombinera detta med ( 2b ), en alternativ metod för att bestämma sambandet mellan $\mathbf {a} ^{0}$ i $S'$ och $\mathbf {a }$ i ${\displaystyle S} , nämligen$ ges

$|\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4} \left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2} \höger]}}$

från vilken ( 3a ) följer igen när hastigheten är riktad i x-riktningen av $u=u_{x}$ och endast accelerationer parallella (x-riktning) eller vinkelräta (y-, z-riktningar) ) till hastigheten beaktas.

Acceleration och kraft

Ytterligare information: Relativistisk mekanik § Kraft och Massa i speciell relativitetsteori

Om man antar konstant massa $m$ , är fyrkraften $\mathbf {F}$ som funktion av trekraften $\mathbf {f}$ relaterad till fyracceleration ( 2a ) av $\mathbf {F} =m\mathbf {A}$ , alltså:

$\mathbf {F} =\left(\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\ \gamma \mathbf {f} \right)=m\mathbf {A} =m\left (\gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right),\ \gamma ^{4}\left({\frac {\ mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right)\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)$

 

 

 

 

()

Relationen mellan trekrafter och treacceleration för godtyckliga riktningar av hastigheten är alltså

${\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\ gamma \mathbf {a} \\\mathbf {a} &={\frac {1}{m\gamma }}\left(\mathbf {f} -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

När hastigheten är riktad i x-riktningen av $u=u_{x}$ och endast accelerationer parallella (x-riktning) eller vinkelräta (y-, z-riktning) till hastigheten beaktas

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {ma_{x}}{\left (1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\f_{y}&={\frac {ma_{y}}{ \sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}&={\frac {ma_{z}}{\sqrt {1-{ \frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {f_{x}}{m }}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&={\frac {f_{y} }{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}&={\frac {f_{z}}{m }}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\ mathbf {f} &=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\ höger)\end{aligned}}\end{array}}$

 

 

 

 

()

Därför är den newtonska definitionen av massa som förhållandet mellan trekrafter och treacceleration ofördelaktig i SR, eftersom en sådan massa skulle bero både på hastighet och riktning. Följaktligen används inte längre följande massdefinitioner som används i äldre läroböcker:

$m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}$ som "längdmassa" ,

$m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z} }{a_{z}}}=m\gamma$ som "tvärmassa".

Relationen ( 4b ) mellan tre-acceleration och tre-kraft kan också erhållas från rörelseekvationen

${ \displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}={\frac {d (m\gamma )}{dt}}\mathbf {u} +m\gamma {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {( \mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$

 

 

 

 

()

där $\mathbf {p}$ är tremomentet. Motsvarande transformation av trekraft mellan $\mathbf {f}$ i $S$ och $\mathbf {f} '$ i $S'$ (när relativ hastighet mellan ramarna riktas i x-riktningen av $v=v_{x}$ och endast accelerationer parallella (x-riktning) eller vinkelräta (y-, z-riktning) mot hastigheten är anses) följs av ersättning av de relevanta transformationsformlerna för $\mathbf {u}$ , $\mathbf {a}$ , $m\gamma$ , $d(m\gamma )/dt$ , eller från Lorentz transformerade komponenter av fyrkraft, med resultatet:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}f_{x}^{\prime }&={\ frac {f_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )}{1-{\frac {u_{x}v}{ c^{2}}}}}\\f_{y}^{\prime }&={\frac {f_{y}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x }v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}^{\prime }&={\frac {f_{z}}{\gamma _{v}\left(1- {\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {f_{x} ^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} ^{\prime }\cdot \mathbf {u} ^{\prime })}{1+{\ frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}}}\\f_{y}&={\frac {f_{y}^{\prime }}{\gamma _{ v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}&={\frac {f_{z }^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\right)}}\end{ aligned}}\end{array}}$

 

 

 

 

()

Eller generaliserat för godtyckliga riktningar av $\mathbf {u}$ , samt $\mathbf {v}$ med magnitud $|\mathbf {v} |=v$ :

${\begin{aligned}\mathbf {f} '&={\frac {{\frac {\mathbf {f} }{\gamma _{v}}}-\left\{(\mathbf {f\cdot u}){\frac {v^{2} }{c^{2}}}-(\mathbf {f\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}}}\\\mathbf {f} & ={\frac {{\frac {\mathbf {f} '}{\gamma _{v}}}+\left\{(\mathbf {f'\cdot u} '){\frac {v^{2 }}{c^{2}}}+(\mathbf {f'\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{ \frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1+{\frac {\mathbf {v\cdot u'} }{c^{2}}}}}\end{aligned} }$

 

 

 

 

()

Rätt acceleration och rätt kraft

Kraften $\mathbf {f} ^{0}$ i en momentan tröghetsram uppmätt av en fjäderbalans på väg kan kallas korrekt kraft. Det följer av ( 4e , 4f ) genom att sätta $\mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}$ och $\mathbf {u} '=0$ samt $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ och $\gamma =\gamma _{v}$ . Alltså genom ( 4e ) där endast accelerationer är parallella (x-riktning) eller vinkelräta (y-, z-riktning) mot hastigheten $u=u_{x}=v=v_{ x}$ anses:

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_ {x}^{0}&=f_{x}\\f_{y}^{0}&={\frac {f_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}} {c^{2}}}}}}\\f_{z}^{0}&={\frac {f_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c ^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&=f_{x}^{0}\\f_{y}&=f_{y}^{ 0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\f_{z}&=f_{z}^{0}{\sqrt {1- {\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0} &=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac { 1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

 

 

 

 

()

Generaliserad med ( 4f ) för godtyckliga riktningar av $\mathbf {u}$ av magnitud $|\mathbf {u} |=u$ :

${\begin{aligned}\mathbf {f } ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}$

Eftersom man i momentana tröghetsramar har fyrkrafts $\mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)$ och fyracceleration ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)} ,$ ekvation ( 4a ) ger den newtonska relationen $\mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}$ , därför kan ( 3a , 4c , 5a ) sammanfattas

${\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right )=m\mathbf {a} ^{0}=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\ mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m \mathbf {a} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} \ left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

Därmed kan den skenbara motsägelsen i de historiska definitionerna av tvärmassa $m_{\perp }$ förklaras. Einstein (1905) beskrev förhållandet mellan tre-acceleration och riktig kraft

$\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0 }}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}}$ ,

medan Lorentz (1899, 1904) och Planck (1906) beskrev förhållandet mellan tre-acceleration och tre-krafter

$m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y }}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma$ .

Böjda världslinjer

Ytterligare information: Spacetime Frenet-Serret-ekvationer , Hyperbolisk rörelse och Born-styvhet

Genom integrering av rörelseekvationerna får man de krökta världslinjerna för accelererade kroppar som motsvarar en sekvens av momentana tröghetsramar (här är uttrycket "krökt" relaterat till formen av världslinjerna i Minkowski-diagram, vilket inte bör förväxlas med "krökt" rumtid av allmän relativitet). I samband med detta måste den så kallade klockhypotesen om klockpostulatet beaktas: Den korrekta tiden för kommande klockor är oberoende av acceleration, det vill säga tidsdilatationen av dessa klockor sett i en extern tröghetsram beror endast på dess relativ hastighet med avseende på den ramen. Två enkla fall av krökta världslinjer tillhandahålls nu genom integration av ekvation ( 3a ) för korrekt acceleration:

a) Hyperbolisk rörelse : Den konstanta, longitudinella egentliga accelerationen $\alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}$ med ( 3a ) leder till världslinjen

${\begin{aligned}&t(\tau )={\frac { c}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}},\quad x(\tau )={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\ cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right),\quad y=0,\quad z=0,\\&\tau (t)={\frac {c}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}} \right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}} \right)^{2}}}-1\right)\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

Världslinjen motsvarar den hyperboliska ekvationen $c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^ {2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}$ , från vilket namnet hyperbolisk rörelse härleds. Dessa ekvationer används ofta för beräkning av olika scenarier av tvillingparadoxen eller Bells rymdskeppsparadox, eller i förhållande till rymdresor med konstant acceleration .

b) Den konstanta, tvärgående egentliga accelerationen $a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}$ med ( 3a ) kan ses som en centripetalacceleration , leder till världslinjen för en kropp i enhetlig rotation

${\begin{aligned}x&=r\cos \Omega _{0}t=r\cos \Omega \tau \\y&=r\sin \Omega _{0}t=r\sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau }{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}} \right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

där $v=r\Omega _{0}$ är tangentiell hastighet , $r$ är omloppsradien, $\Omega _{0}$ är vinkelhastigheten som en funktion av koordinattiden, och $\Omega =\gamma \Omega _{0}$ som den korrekta vinkelhastigheten.

En klassificering av krökta världslinjer kan erhållas genom att använda differentialgeometrin för trippelkurvor, som kan uttryckas med rumtids Frenet-Serret-formler . I synnerhet kan det visas att hyperbolisk rörelse och enhetlig cirkulär rörelse är speciella fall av rörelser som har konstanta krökningar och vridningar , som uppfyller villkoret för Born-styvhet . En kropp kallas Born rigid om rymdtidsavståndet mellan dess oändligt separerade världslinjer eller punkter förblir konstant under acceleration.

Accelererade referensramar

Huvudartiklar: Korrekt referensram (platt rumtid) , Rindler-koordinater och Born-koordinater

Istället för tröghetsramar kan dessa accelererade rörelser och krökta världslinjer också beskrivas med hjälp av accelererade eller krökta koordinater . Den korrekta referensramen som etablerats på det sättet är nära relaterad till Fermi-koordinaterna . Till exempel kallas koordinaterna för en hyperboliskt accelererad referensram ibland Rindler-koordinater , eller för en enhetligt roterande referensram kallas roterande cylindriska koordinater (eller ibland Born-koordinater ). När det gäller ekvivalensprincipen är effekterna som uppstår i dessa accelererade ramar analoga med effekter i ett homogent, fiktivt gravitationsfält. På detta sätt kan man se att användningen av accelererande ramar i SR producerar viktiga matematiska relationer, som (när de utvecklas vidare) spelar en grundläggande roll i beskrivningen av verkliga, inhomogena gravitationsfält i termer av krökt rumtid i allmän relativitet.

Historia

För ytterligare information se von Laue, Pauli, Miller, Zahar, Gourgoulhon och de historiska källorna i historien om speciell relativitet .

1899:

Hendrik Lorentz härledde de korrekta (upp till en viss faktor $\epsilon$ ) relationer för accelerationer, krafter och massor mellan ett vilande elektrostatiskt system av partiklar $S_{0}$ (i en stationär eter ) , och ett system $S$ som kommer från det genom att lägga till en översättning, med $k$ som Lorentz-faktorn:

${\frac {1}{\epsilon ^{2}} }$ , ${\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}$ , ${\frac {1}{k\epsilon ^{2}} }$ för $\mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}$ av ( 5a );

${\frac {1}{k^{3}\epsilon }}$ , ${\frac {1}{k^{2}\epsilon }}$ , ${\frac {1}{k^{2}\epsilon }}$ för $\mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}$ av ( 3a );

${\frac {k^{3}}{\epsilon }}$ , ${\frac {k}{\epsilon }}$ , ${\frac { k}{\epsilon }}$ för ${\displaystyle \mathbf {f} /(m\mathbf {a} )} ,$ alltså longitudinell och tvärgående massa med ( 4c );

Lorentz förklarade att han inte har något sätt att bestämma värdet på $\epsilon$ . Om han hade satt $\epsilon =1$ , skulle hans uttryck ha antagit den exakta relativistiska formen.

1904:

Lorentz härledde de tidigare relationerna på ett mer detaljerat sätt, nämligen med avseende på egenskaperna hos partiklar som vilar i systemet $\Sigma '$ och det rörliga systemet $\Sigma$ , med det nya hjälpmedlet variabel $l$ lika med $1/\epsilon$ jämfört med den 1899, alltså:

${\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2 }}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')$ för $\mathbf {f}$ som en funktion av $\mathbf {f} ^{0}$ av ( 5a );

$m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')$ för $m\mathbf {a}$ som en funktion av $m\mathbf {a} ^{0}$ av ( 5b );

${\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^ {3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')$ för $\mathbf {a}$ som en funktion av $\mathbf {a} ^{0}$ av ( 3a );

$m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m( \Sigma ')$ för longitudinell och tvärgående massa som funktion av vilomassan med ( 4c , 5b ).

Den här gången kunde Lorentz visa att $l=1$ , med vilken hans formler antar den exakta relativistiska formen. Han formulerade också rörelseekvationen

${\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}$ med ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak { w}}}$

som motsvarar ( 4d ) med $\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt} }={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}$ , med $l=1$ , ${\mathfrak {F}}= \mathbf {f}$ , ${\mathfrak {G}}=\mathbf {p}$ , ${\mathfrak {w}}=\mathbf {u}$ , $k=\gamma$ , och $e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m$ som elektromagnetisk vila massa . Dessutom hävdade han att dessa formler inte bara borde gälla krafter och massor av elektriskt laddade partiklar, utan även för andra processer så att jordens rörelse genom etern förblir oupptäckbar.

1905:

Henri Poincaré introducerade transformationen av trekrafter ( 4e ):

$X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\ prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }} }{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}$

med ${\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )$ , och $k$ som Lorentz-faktorn, $\rho$ laddningstätheten . Eller i modern notation: $\epsilon =v$ , $\xi =u_{x}$ , $\left (X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f}$ och $\Sigma X_{1}\xi =\ mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ . Som Lorentz satte han $l=1$ .

1905:

Albert Einstein härledde rörelseekvationerna på grundval av sin speciella relativitetsteori, som representerar förhållandet mellan lika giltiga tröghetsramar utan inverkan av en mekanisk eter. Einstein drog slutsatsen att i en momentan tröghetsram $k$ behåller rörelseekvationerna sin Newtonska form:

$\mu {\frac {d^{2}\xi}{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac { d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}} =\epsilon Z'$ .

Detta motsvarar $\mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}$ , eftersom $\mu =m$ och $\left({\frac {d^{2}\xi}{d\tau ^{2}}},\ { \frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\ mathbf {a} ^{0}$ och $\left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right) =\mathbf {f} ^{0}$ . Genom att transformera till ett relativt rörligt system $K$ fick han ekvationerna för de elektriska och magnetiska komponenterna som observerades i den ramen:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}} }={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2} }}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\ frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v }{V}}M\right)$ .

Detta motsvarar ( 4c ) med ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\ frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)} , eftersom$ μ $\ displaystyle \mu =m}$ och $\left({\frac {d^{2}x}{dt ^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right )=\mathbf {a}$ och $\left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y -{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f}$ och $\beta =\gamma$ . Följaktligen bestämde Einstein den longitudinella och tvärgående massan, även om han relaterade den till kraften $\left(\epsilon X',\ \epsilon Y', \ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}$ i den momentana viloramen mätt med en kommande fjäderbalans, och till treaccelerationen $\mathbf {a}$ i system $K$ :

${\displaystyle {\begin{array} {c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\ \mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\ höger)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac { v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\ frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{längsmassa}}\\\\{\frac {\mu }{1- \left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transversal mass}}\end{aligned}}\end{array}}} Detta motsvarar$

( 5b ) med $m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2 },\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}$ .

Poincaré introducerar transformationen av treacceleration

${\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2} }}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{ \prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}$

1c )

:

där $\left(\ xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u}$ samt $k=\gamma$ och $\epsilon =v$ och $\mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v$ .

Vidare introducerade han fyrkraften i formen:

$k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1}, \quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}$

där $k_{0}=\gamma _{0}$ och $\left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f}$ och ${\ displaystyle T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ .

1906:

Max Planck härledde rörelseekvationen

${\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}} }}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\ mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right) +{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y }\right)\ {\text{etc.}}$

med

$e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E} }_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}} +{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}} {c^{2}}}\right)^{3/2}}}$ och $e{\mathfrak { E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}$

och

${\frac {d }{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\ höger\}=X\ {\text{etc.}}$

Ekvationerna motsvarar ( 4d ) med

$\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt} }=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\ gamma \mathbf {a}$ , med $X=f_{x}$ och $q=v$ och ${\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {a}$ , i överensstämmelse med dem som ges av Lorentz (1904).

1907:

Einstein analyserade en enhetligt accelererad referensram och erhöll formler för koordinatberoende tidsdilatation och ljushastighet, analogt med de som ges av Kottler-Møller- Rindler-koordinater .

1907:

Hermann Minkowski definierade förhållandet mellan fyrkraften (som han kallade den rörliga kraften) och de fyra accelerationerna

$m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}= R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\ tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_ {t}$

motsvarande $m\mathbf {A} =\mathbf {F}$ .

1908:

Minkowski betecknar andraderivatan $x,y,z,t$ med avseende på korrekt tid som "accelerationsvektor" (fyraacceleration). Han visade att dess storlek vid en godtycklig punkt $P$ på världslinjen är $c^{2}/\varrho$ , där $\varrho$ är storleken på en vektor riktad från mitten av motsvarande "krökningshyperbel" ( tyska : Krümmungshyperbel ) till $P$ .

1909:

Max Born betecknar rörelsen med konstant magnitud av Minkowskis accelerationsvektor som "hyperbolisk rörelse" ( tyska : Hyperbelbewegung ), i loppet av hans studie av stelt accelererad rörelse . Han satte $p=dx/d\tau$ (nu kallad korrekt hastighet ) och $q=-dt /d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}$ som Lorentz-faktor och $\tau$ som korrekt tid, med transformationsekvationerna

$x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c ^{2}}}\xi$ .

vilket motsvarar ( 6a ) med $\xi =c^{2}/\alpha$ och $p=c\sinh(\ alfa \tau /c)$ . Eliminering av $p$ Born härledde den hyperboliska ekvationen $x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}$ , och definierade accelerationens storlek som $b=c^{2}/\xi$ . Han märkte också att hans förvandling kan användas för att förvandlas till ett "hyperboliskt accelererat referenssystem" ( tyska : hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem) .

1909:

Gustav Herglotz utvidgar Borns undersökning till alla möjliga fall av stelt accelererad rörelse, inklusive enhetlig rotation.

1910:

Arnold Sommerfeld förde Borns formler för hyperbolisk rörelse i en mer koncis form med $l=ict$ som den imaginära tidsvariabeln och $\varphi$ som en imaginär vinkel:

$x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\ sin \varphi$

Han noterade att när $r,y,z$ är variabla och $\varphi$ är konstant, beskriver de världslinjen för en laddad kropp i hyperbolisk rörelse. Men om $r,y,z$ är konstanta och $\varphi$ är variabel, betecknar de transformationen till dess viloram.

1911:

Sommerfeld använde uttryckligen uttrycket "korrekt acceleration" ( tyska : Eigenbeschleunigung ) för kvantiteten ${\dot {v}}_{0}$ i ${\displaystyle {\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}} , vilket motsvarar$ ( 3a ), som accelerationen i den momentana tröghetsramen.

1911:

Herglotz använde uttryckligen uttrycket "viloacceleration" ( tyska : Ruhbeschleunigung ) istället för korrekt acceleration. Han skrev det på formen $\gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l}$ och ${\ displaystyle \gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t}}$ som motsvarar ( 3a ), där $\beta$ är Lorentz-faktorn och $\gamma _{l}^{0}$ eller $\gamma _{t}^{0}$ är de longitudinella och tvärgående komponenterna för vilacceleration.

1911:

Max von Laue härledde i den första upplagan av sin monografi "Das Relativitätsprinzip" transformationen för treacceleration genom differentiering av hastighetsadditionen

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{ c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{3}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\ primtal },&{\mathfrak {\dot {q}}}_{y}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^ {2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{2}\left({\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{ \prime }-{\frac {v{\mathfrak {q}}_{y}^{\prime }{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }}{c^{ 2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right),\end{aligned}}} motsvarande ($

1c ) såväl som Poincaré (1905/6). Från det härledde han transformationen av viloacceleration (motsvarande 3a ), och så småningom formlerna för hyperbolisk rörelse som motsvarar ( 6a ) :

$\pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c} {b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},$

alltså

$x^{2}-c^{2}t^{2}=x^{2}-u^{2}=c^{4}/b^{2}, \quad y=\eta ,\quad z=\zeta$ ,

och omvandlingen till ett hyperboliskt referenssystem med imaginär vinkel $\varphi$ :

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned }}&{\begin{aligned}R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{aligned} }\end{array}}$ .

Han skrev också omvandlingen av trekrafter som

${\begin{aligned}{\mathfrak {K}}_{x}&={\frac {{ \mathfrak {K}}_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}({\mathfrak {q'K'}})}{1+{\frac { v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{y}&={\mathfrak {K}} _{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime } }{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{z}&={\mathfrak {K}}_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1 -\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\end{aligned} }$

motsvarande ( 4e ) samt Poincaré (1905).

1912–1914:

Friedrich Kottler erhöll allmän kovarians av Maxwells ekvationer och använde fyrdimensionella Frenet-Serret-formler för att analysera Born stela rörelser som ges av Herglotz (1909). Han fick också de rätta referensramarna för hyperbolisk rörelse och enhetlig cirkulär rörelse.

1913:

von Laue ersatte i den andra upplagan av sin bok transformationen av tre-acceleration av Minkowskis accelerationsvektor för vilken han myntade namnet "fyra-acceleration" (tyska: Viererbeschleunigung) , definierat av Y $\ displaystyle {\dot {Y}}={\frac {dY}{d\tau }}}$ med $Y$ som fyra hastigheter. Han visade att storleken på fyra-accelerationen motsvarar viloaccelerationen ${\dot {\mathfrak {q}}}^{0}$ med

${\displaystyle |{\dot {Y|}}={\frac {1}{c}}|{\dot {\mathfrak {q}}}^{0}|} , vilket motsvarar$ (

3b ) . Därefter härledde han samma formler som 1911 för omvandlingen av viloacceleration och hyperbolisk rörelse, och den hyperboliska referensramen.

Bibliografi

•   Ashtekar, A.; Petkov, V. (2014). Springer Handbook of Spacetime . Springer. ISBN 978-3642419928 .
•   Bini, D.; Lusanna, L.; Mashhoon, B. (2005). "Begränsningar av radarkoordinater". International Journal of Modern Physics D . 14 (8): 1413–1429. arXiv : gr-qc/0409052 . Bibcode : 2005IJMPD..14.1413B . doi : 10.1142/S0218271805006961 . S2CID 17909223 .
•   Ferraro, R. (2007). Einsteins rum-tid: en introduktion till speciell och allmän relativitet . Spektrum. ISBN 978-0387699462 .
• Fraundorf, P. (2012). "Ett resenärcentrerat intro till kinematik". IV-B. arXiv : 1206.2877 [ physics.pop-ph ].
•   French, AP (1968). Särskild relativitet . CRC Tryck. ISBN 1420074814 .
•   Freund, J. (2008). Special Relativity for Beginners: En lärobok för studenter . World Scientific. ISBN 978-9812771599 .
•   Gourgoulhon, E. (2013). Särskild relativitet i allmänna ramar: Från partiklar till astrofysik . Springer. ISBN 978-3642372766 .
• von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (fjärde upplagan av "Das Relativitätsprinzip" ed.). Vieweg. ; Första upplagan 1911, andra utökade upplagan 1913, tredje utökade upplagan 1919.
•   Koks, D. (2006). Utforskningar i matematisk fysik . Springer. ISBN 0387309438 .
•   Kopeikin, S.; Efroimsky, M.; Kaplan, G. (2011). Relativistisk himmelmekanik i solsystemet . John Wiley & Sons. ISBN 978-3527408566 .
•   Miller, Arthur I. (1981). Albert Einsteins speciella relativitetsteori. Uppkomst (1905) och tidig tolkning (1905–1911) . Läsning: Addison–Wesley. ISBN 0-201-04679-2 .
•   Misner, CW; Thorne, KS; Wheeler, JA (1973). Gravitation . Fri man. ISBN 0716703440 .
• Møller, C. (1955) [1952]. Relativitetsteorin . Oxford Clarendon Press.
•   Nikolić, H. (2000). "Relativistisk sammandragning och relaterade effekter i icke-tröghetsramar". Fysisk granskning A . 61 (3): 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Bibcode : 2000PhRvA..61c2109N . doi : 10.1103/PhysRevA.61.032109 . S2CID 5783649 .
• Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie" , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

På engelska:   Pauli, W. (1981) [1921]. Relativitetsteori . Fysikens grundläggande teorier . Vol. 165. Dover Publikationer. ISBN 0-486-64152-X .

•   Pauri, M.; Vallisneri, M. (2000). "Märzke-Wheeler koordinater för accelererade observatörer i speciell relativitetsteori". Grunderna för fysikbokstäver . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Bibcode : 2000gr.qc.....6095P . doi : 10.1023/A:1007861914639 . S2CID 15097773 .
•   Pfeffer, J.; Nir, S. (2012). Modern fysik: en introduktionstext . World Scientific. ISBN 978-1908979575 .
•   Shadowitz, A. (1988). Special relativity (Reprint of 1968 ed.). Courier Dover Publikationer. ISBN 0-486-65743-4 .
•   Rahaman, F. (2014). Den speciella relativitetsteorin: ett matematiskt tillvägagångssätt . Springer. ISBN 978-8132220800 .
•   Rebhan, E. (1999). Teoretische fysik I . Heidelberg · Berlin: Spektrum. ISBN 3-8274-0246-8 .
•   Rindler, W. (1977). Essentiell relativitet . Springer. ISBN 354007970X .
•   Synge, JL (1966). "Tidslika spiraler i platt rum-tid". Proceedings of the Royal Irish Academy, sektion A . 65 : 27–42. JSTOR 20488646 .
•   Tolman, RC (1917). Teorin om rörelsens relativitet . University of California Press . OCLC 13129939 .
•   Zahar, E. (1989). Einsteins revolution: En studie i heuristik . Open Court Publishing Company. ISBN 0-8126-9067-2 .

externa länkar

• Mathpages: Tvärmassa i Einsteins elektrodynamik , Accelererade resor , Born Rigidity, Acceleration och Tröghet , Utstrålar en enhetligt accelererande laddning?
• Fysik FAQ: Acceleration in Special Relativity , The Relativistic Rocket