Fyra hastigheter

Inom fysiken , i synnerhet inom speciell relativitet och allmän relativitet , är en fyrhastighet en fyrvektor i fyrdimensionell rumtid som representerar den relativistiska motsvarigheten till hastigheten , som är en tredimensionell vektor i rymden.

Fysiska händelser motsvarar matematiska punkter i tid och rum, uppsättningen av dem alla tillsammans bildar en matematisk modell av fysisk fyrdimensionell rumtid. Historien om ett objekt spårar en kurva i rumtiden, som kallas dess världslinje . Om objektet har massa , så att dess hastighet nödvändigtvis är mindre än ljusets hastighet , kan världslinjen parametriseras av objektets rätta tid . Fyrhastigheten är ändringshastigheten för fyra positioner med avseende på rätt tid längs kurvan. Hastigheten, däremot, är förändringshastigheten för objektets position i (tredimensionellt) rymden, sett av en observatör, med avseende på observatörens tid.

Värdet på storleken på ett objekts fyrhastighet, dvs. den kvantitet som erhålls genom att applicera den metriska tensorn g på fyrhastigheten U , det vill säga || U || ² = U ⋅ U = g _μν U ^ν U ^μ , är alltid lika med ± c ² , där c är ljusets hastighet. Om plus- eller minustecknet gäller beror på valet av metrisk signatur . För ett objekt i vila är dess fyrhastighet parallell med tidskoordinatens riktning med ⁰ U = c . En fyrhastighet är alltså den normaliserade framtidsriktade tidsliknande tangentvektorn till en världslinje, och är en kontravariant vektor . Även om det är en vektor, ger addition av två fyrhastigheter inte en fyrhastighet: rymden av fyra hastigheter är inte i sig ett vektorrum .

Hastighet

Ett objekts väg i tredimensionell rymd (i en tröghetsram) kan uttryckas i termer av tre rumsliga koordinatfunktioner x ⁱ ( t ) av tiden t , där i är ett index som tar värdena 1, 2, 3.

De tre koordinaterna bildar 3d- positionsvektorn , skriven som en kolumnvektor

${\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end {bmatrix}}\,.$

Komponenterna för hastigheten ${\vec {u}}$ (tangens till kurvan) vid någon punkt på världslinjen är

${\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x }} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx ^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.$

Varje komponent är enkelt skriven

$u^{i}={dx^{i} \over dt}$

Relativitetsteorin

I Einsteins relativitetsteori definieras vägen för ett objekt som rör sig i förhållande till en viss referensram av fyra koordinatfunktioner x ^μ ( τ ), där μ är ett rumtidsindex som tar värdet 0 för den tidsliknande komponenten, och 1, 2, 3 för de rymdliknande koordinaterna. Den nollte komponenten definieras som tidskoordinaten multiplicerad med c ,

$x^{0}=ct\,,$

Varje funktion beror på en parameter τ som kallas dess rätta tid . Som en kolumnvektor,

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^ {3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.$

Tidsutvidgning

Från tidsdilatation är skillnaderna i koordinattid t och korrekt tid τ relaterade till

$dt=\gamma (u)d\tau$

där Lorentz-faktorn ,

$\gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2} }}}}}\,,$

är en funktion av den euklidiska normen u för 3d hastighetsvektorn ${\vec {u}}$ :

$u=\|\ {\vec {u}}\ \|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right) ^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.$

Definition av fyrhastigheten

Fyrhastigheten är tangentfyrvektorn för en tidsliknande världslinje . Fyrhastighets- $\mathbf {U}$ vid valfri punkt på världslinjen $\mathbf {X} (\tau )$ definieras som:

$\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}$

där $\mathbf {X}$ är fyrpositionen och $\tau$ är rätt tid .

Fyrhastigheten som definieras här med hjälp av rätt tid för ett objekt existerar inte för världslinjer för masslösa objekt såsom fotoner som färdas med ljusets hastighet; Det är inte heller definierat för tachyoniska världslinjer, där tangentvektorn är spacelike .

Komponenter i fyrhastigheten

⁰ Förhållandet mellan tiden t och koordinattiden x definieras av

$x^{0}=ct.$

Om vi ​​tar derivatan av detta med avseende på den korrekta tiden τ , finner vi U ^μ hastighetskomponenten för μ = 0:

$U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau } }={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)$

och för de andra 3 komponenterna till rätt tid får vi U ^μ hastighetskomponenten för μ = 1, 2, 3:

$U^{i}={\frac {dx^ {i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt }}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}$

där vi har använt kedjeregeln och relationerna

$u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d \tau }}=\gamma (u)$

$\mathbf {U}$ för fyrhastigheten U :

$\mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.$

Skrivet i standardnotation med fyra vektorer är detta:

$\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)$

där $\gamma c$ är den tidsmässiga komponenten och $\gamma {\vec {u}}$ är den rumsliga komponenten.

När det gäller de synkroniserade klockorna och linjalerna förknippade med en viss del av platt rymdtid, definierar de tre rymdliknande komponenterna av fyra hastigheter ett resande objekts rätta hastighet $\gamma {\vec { u}}=d{\vec {x}}/d\tau$ dvs. den hastighet med vilken avståndet tillryggaläggs i referenskartans ram per enhetlig korrekt tid som förflutit på klockor som färdas med objektet.

Till skillnad från de flesta andra fyrvektorer har fyrhastigheten endast 3 oberoende komponenter $u_{x},u_{y},u_{z}$ istället för 4. γ $\ displaystyle \gamma }$ faktor är en funktion av den tredimensionella hastigheten ${\vec {u}}$ .

När vissa Lorentz-skalärer multipliceras med fyrahastigheten får man då nya fysiska fyrvektorer som har 4 oberoende komponenter.

Till exempel:

• Fyra moment : $\mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{ \vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac { E}{c}},{\vec {p}}\right)$ , där $m_{o}$ är massan
• Fyrströmstäthet : ${\displaystyle \mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right)} ,$ där $\rho _{o}$ är laddningstätheten

Effektivt kombineras $\gamma$ faktorn med Lorentz skalär term för att göra den fjärde oberoende komponenten

$m=\gamma m_{o}$ och $\rho =\gamma \rho _{o}$

Magnitud

Med hjälp av differentialen för fyra-positionen i viloramen kan storleken på fyra-hastigheten erhållas:

$\|\mathbf {U} \|^{2}=g_{\ mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=g_{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=c^{2}\,,$

kort sagt, storleken på fyrhastigheten för ett objekt är alltid en fast konstant:

$\|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}\,$

I en rörlig ram är samma norm:

$\|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (u)}^{2}\ vänster(c^{2}-{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\höger)\,,$

så att:

$c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(c^{2}-{\ vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right)\,,$

vilket reducerar till definitionen av Lorentz-faktorn.

Se även

• Fyracceleration
• Fyra momentum
• Fyra krafter
• Fyrgradient
• Algebra av fysiskt utrymme
• kongruens (allmän relativitetsteori)
• Hyperboloid modell
• Snabbhet

Anmärkningar

• Einstein, Albert (1920). Relativitet: Den speciella och allmänna teorin . Översatt av Robert W. Lawson. New York: Original: Henry Holt, 1920; Omtryckt: Prometheus Books, 1995.
•   Rindler, Wolfgang (1991). Introduktion till speciell relativitet (2:a) . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5 .