Född stelhet

Born rigidity är ett begrepp inom speciell relativitetsteori . Det är ett svar på frågan om vad, i speciell relativitet, motsvarar den stela kroppen av icke-relativistisk klassisk mekanik .

Konceptet introducerades av Max Born (1909), som gav en detaljerad beskrivning av fallet med konstant korrekt acceleration som han kallade hyperbolisk rörelse . När efterföljande författare som Paul Ehrenfest (1909) försökte införliva rotationsrörelser också, blev det tydligt att Born-styvhet är en mycket restriktiv känsla av stelhet, vilket leder till Herglotz- Noether-satsen , enligt vilken det finns allvarliga restriktioner för roterande Born stela rörelser. Den formulerades av Gustav Herglotz (1909, som klassificerade alla former av rotationsrörelser) och på ett mindre allmänt sätt av Fritz Noether (1909). Som ett resultat gav Born (1910) och andra alternativa, mindre restriktiva definitioner av stelhet.

Definition

Born styvhet är tillfredsställt om det ortogonala rumtidsavståndet mellan oändligt separerade kurvor eller världslinjer är konstant, eller ekvivalent, om längden på den stela kroppen i momentant samgående tröghetsramar mätt med standardmätstavar (dvs. den korrekta längden ) är konstant och är därför utsatt för Lorentz-kontraktion i relativt rörliga ramar. Born styvhet är en begränsning av rörelsen hos en utsträckt kropp, som uppnås genom noggrann applicering av krafter på olika delar av kroppen. En stel kropp i sig själv skulle bryta mot den speciella relativitetsteorien, eftersom dess ljudhastighet skulle vara oändlig.

En klassificering av alla möjliga Born stela rörelser kan erhållas med hjälp av Herglotz-Noether-satsen. Denna sats säger att alla irroterande Born stela rörelser ( klass A ) består av hyperplan som rör sig stelt genom rumtiden, medan alla roterande Born stela rörelser ( klass B ) måste vara isometriska dödande rörelser. Detta innebär att en Born stel kropp endast har tre frihetsgrader . Således kan en kropp föras på ett Born-styvt sätt från vila till vilken translationsrörelse som helst , men den kan inte föras på ett Born-styvt sätt från vila till rotationsrörelse.

Stressar och Born stelhet

Det visades av Herglotz (1911), att en relativistisk teori om elasticitet kan baseras på antagandet att spänningar uppstår när tillståndet för Born-styvhet bryts.

Ett exempel på att bryta Born-styvhet är Ehrenfest-paradoxen : Även om tillståndet med enhetlig cirkulär rörelse hos en kropp är bland de tillåtna Born-styv rörelserna i klass B , kan en kropp inte föras från något annat rörelsetillstånd till enhetlig cirkulär rörelse utan att bryta tillståndet av Born stelhet under den fas där kroppen genomgår olika accelerationer. Men om denna fas är över och centripetalaccelerationen blir konstant, kan kroppen rotera jämnt i överensstämmelse med Born-styvheten. På samma sätt, om det nu är i enhetlig cirkulär rörelse, kan detta tillstånd inte ändras utan att återigen bryta Born-styvheten i kroppen.

Ett annat exempel är Bells rymdskeppsparadox : Om ändpunkterna på en kropp accelereras med konstanta korrekta accelerationer i rätlinjig riktning, måste den främre ändpunkten ha en lägre korrekt acceleration för att lämna den korrekta längden konstant så att Born-styvheten uppfylls. Den kommer också att uppvisa en ökande Lorentz-kontraktion i en extern tröghetsram, det vill säga i den yttre ramen accelererar kroppens ändpunkter inte samtidigt. Men om en annan accelerationsprofil väljs genom vilken kroppens ändpunkter samtidigt accelereras med samma korrekta acceleration som ses i den yttre tröghetsramen, kommer dess Born-styvhet att brytas, eftersom konstant längd i den yttre ramen innebär ökad korrekt längd i en kommande ram på grund av relativitet av simultanitet. I det här fallet kommer en ömtålig tråd som spänner mellan två raketer att uppleva spänningar (som kallas Herglotz-Dewan-Beran-spänningar) och kommer följaktligen att gå sönder.

Född stela rörelser

En klassificering av tillåtna, särskilt roterande, Born stela rörelser i platt Minkowski rumtid gavs av Herglotz, som också studerades av Friedrich Kottler (1912, 1914), Georges Lemaître (1924), Adriaan Fokker (1940), George Salzmann & Abraham H. Taub (1954). Herglotz påpekade att ett kontinuum rör sig som en stel kropp när världslinjerna för dess punkter är ekvidistanta kurvor i $\mathbf {R} ^{4}$ . Den resulterande världsligheten kan delas upp i två klasser:

Klass A: Irroterande rörelser

Herglotz definierade denna klass i termer av ekvidistanta kurvor som är de ortogonala banorna för en familj av hyperplan , som också kan ses som lösningar av en Riccati-ekvation (detta kallades "planrörelse" av Salzmann & Taub eller "irroterande stel rörelse" av Boyer). Han drog slutsatsen att rörelsen hos en sådan kropp helt bestäms av rörelsen hos en av dess punkter.

Den allmänna metriken för dessa irrotationsrörelser har getts av Herglotz, vars arbete sammanfattades med förenklad notation av Lemaître (1924). Även Fermi-metriken i den form som ges av Christian Møller (1952) för stela ramar med godtycklig rörelse av ursprunget identifierades som den "mest allmänna måtten för irroterande stel rörelse i speciell relativitet". I allmänhet visades det att irroterande Born-rörelse motsvarar de Fermi-kongruenser av vilka vilken världslinje som helst kan användas som baslinje (homogen Fermi-kongruens).

Herglotz 1909	$ds^{2}=da^{2}+\varphi (db,dc)-\Theta ^{2 }d\vartheta ^{2}$
Lemaître 1924	${\begin{aligned}&ds^{2} =-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\phi ^{2}dt^{2}\\&\quad \left(\phi =lx+my+nz+p\ höger)\end{aligned}}$
Møller 1952	$ds^{2}=dx^{2}+dy^{ 2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa}x^{\kappa }}{c^{2}}}\right ]^{2}$

Redan Born (1909) påpekade att en stel kropp i translationsrörelse har en maximal rumslig utsträckning beroende på dess acceleration, givet av relationen $b<c^{2}/R$ , där $b$ är den korrekta accelerationen och $R$ är radien för en sfär i vilken kroppen är belägen, så ju högre korrekt acceleration är, desto mindre är den maximala förlängningen av den stela kroppen. Det speciella fallet med translationell rörelse med konstant korrekt acceleration är känt som hyperbolisk rörelse , med världslinjen

Född 1909	${\begin {aligned}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \ vänster(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau}}={\sqrt {1+p^{2}/c^{ 2}}}\right)\end{aligned}}$
Herglotz 1909	$x=x',\quad y= y',\quad tz=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$ $x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2} +t^{2}}}$
Sommerfeld 1910	${\begin{aligned}&x=r\cos \ varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end {Justerat}}$
Kottler 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)},\quad x^{(2)}=x_{0 }^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2 }d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{aligned}}$ $x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u, \quad ct=b\sinh u$

Klass B: Roterande isometriska rörelser

För motsvarande korrekta referensramar för dessa rotationsrörelser, se Korrekt referensram (platt rumstid) # Korrekt referensramar för tidsliknande helixer

Herglotz definierade denna klass i termer av ekvidistanta kurvor som är banorna för en enparameters rörelsegrupp (detta kallades "grupprörelse" av Salzmann & Taub och identifierades med isometrisk dödande rörelse av Felix Pirani & Gareth Williams (1962)). Han påpekade att de består av världslinjer vars tre krökningar är konstanta (känd som krökning , torsion och hypertorsion), som bildar en helix . Världslinjer med konstanta krökningar i platt rymdtid studerades också av Kottler (1912), Petrův (1964), John Lighton Synge (1967, som kallade dem tidsliknande spiraler i platt rymdtid), eller Letaw (1981, som kallade dem stationära världslinjer) som lösningar av Frenet-Serret-formlerna .

Herglotz separerade vidare klass B med fyra enparametergrupper av Lorentz-transformationer (loxodromic, elliptisk, hyperbolisk, parabolisk) i analogi med hyperboliska rörelser (dvs. isometriska automorfismer av ett hyperboliskt utrymme) och påpekade att Borns hyperboliska rörelse (som följer av hyperbolisk grupp med $\alpha =0$ i notationen av Herglotz och Kottler, $\lambda =0$ i notationen av Lemaître, $q=0$ i notationen av Synge; se följande tabell) är den enda Born stela rörelse som tillhör både klass A och B.

Loxodromic grupp (kombination av hyperbolisk rörelse och enhetlig rotation)
Herglotz 1909	$x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy ')e^{-i\lambda \vartheta },\quad tz=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$
Kottler 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \ vänster(u-u_{0}\höger),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}= b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2} -a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}$
Lemaître 1924	${\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda ty \sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2 }=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}- \lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}$
Synge 1967	$= display \omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s, \quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$
Elliptisk grupp (likformig rotation)
Herglotz 1909	$x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta$
Kottler 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_ {0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^ {(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2} \lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}$
de Sitter 1916	${\begin{aligned}&\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\ prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\&ds^{2}=-d\ sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt ^{2}\end{aligned}}$
Lemaître 1924	${\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda ty\sin \lambda t,\ quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2 }d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{ 2}\end{aligned}}$
Synge 1967	$x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\ quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr$
Hyperbolisk grupp (hyperbolisk rörelse plus rymdliknande översättning)
Herglotz 1909	$x=x'+\ alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad tz=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }$
Kottler 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+\alpha u, \quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu \\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end {Justerat}}$
Lemaître 1924	${\begin{aligned}&\xi =x+\lambda t,\quad \eta =y,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\ sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2} \right)dt^{2}\end{aligned}}$
Synge 1967	$x=sq,\quad y=0,\quad z=r\chi ^ {-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s$
Parabolgrupp (som beskriver en halvkubisk parabel )
Herglotz 1909	$x=x_{0}+{\frac { 1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1 }{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad tz=\delta \vartheta$
Kottler 1912, 1914	${\begin{aligned}&x^ {(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^ {(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}= -\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}$
Lemaître 1924	${\begin{aligned}&\xi =x+ {\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^ {3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^ {2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{ Justerat}}$
Synge 1967	$x={\frac {1}{6}}b^{2} s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{ 2}s^{3}$

Allmän relativitetsteori

Försök att utvidga begreppet Born rigidity till allmän relativitet har gjorts av Salzmann & Taub (1954), C. Beresford Rayner (1959), Pirani & Williams (1962), Robert H. Boyer (1964). Det visades att Herglotz-Noether-satsen inte är helt uppfylld, eftersom stela roterande ramar eller kongruenser är möjliga som inte representerar isometriska dödande rörelser.

Alternativ

Flera svagare substitut har också föreslagits som stelhetstillstånd, såsom av Noether (1909) eller Born (1910) själv.

Ett modernt alternativ gavs av Epp, Mann & McGrath. I motsats till den vanliga Born rigid kongruensen som består av "historien för en rumslig volymfyllande uppsättning punkter", återvinner de den klassiska mekanikens sex frihetsgrader genom att använda en kvasilokal stel ram genom att definiera en kongruens i termer av "historien" av uppsättningen punkter på ytan som begränsar en rumslig volym".

Bibliografi

• Born, Max (1909a), "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [ Wikisource översättning: The Theory of the Rigid Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity ], Annalen der Physik , 335 (11): 1– 56, Bibcode : 1909AnP...335....1B , doi : 10.1002/andp.19093351102
• Född, Max (1909b), "Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [Wikikälla översättning: Concerning the Dynamics of the Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814–817
• Born, Max (1910), "Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips" [ Wikisource translation: On the Kinematics of the Rigid Body in the System of the Principle of Relativity ], Göttinger Nachrichten , 2 : 161–179
• Ehrenfest, Paul (1909), "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie" [Wikisource translation: Uniform Rotation of Rigid Bodies and the Theory of Relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ...18E.
• Franklin, Jerrold (2013), "Rigid Body Motion in Special Relativity", Foundations of Physics , 95 : 1489-1501.
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [ Wikikälla översättning: Om kroppar som ska betecknas som "stela" ur relativitetsprincipens ståndpunkt ], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP...336..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie" , Annalen der Physik , 341 (13): 493–533, Bibcode : 1911AnP...341..493H , doi 1 / 01.00. 19113411303 ; Engelsk översättning av David Delphenich: Om mekaniken hos deformerbara kroppar ur relativitetsteorin .
• Noether, Fritz (1910) [1909]. "Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie" . Annalen der Physik . 336 (5): 919–944. Bibcode : 1910AnP...336..919N . doi : 10.1002/andp.19103360504 .
• Sommerfeld, Arnold (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [Wikisource översättning: Om relativitetsteorin II: Fyrdimensionell vektoranalys ]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Bibcode : 1910AnP...338..649S . doi : 10.1002/andp.19103381402 .
• Kottler, Friedrich (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [Wikisource översättning: On the spacetime lines of a Minkowski world ]. Wiener Sitzungsberichte 2a . 121 : 1659–1759. hdl : 2027/mdp.39015051107277 .
• Kottler, Friedrich (1914a). "Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung" . Annalen der Physik . 349 (13): 701–748. Bibcode : 1914AnP...349..701K . doi : 10.1002/andp.19143491303 .
• Kottler, Friedrich (1914b). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips" . Annalen der Physik . 350 (20): 481–516. Bibcode : 1914AnP...350..481K . doi : 10.1002/andp.19143502003 .
• De Sitter, W. (1916). "Om Einsteins teori om gravitation och dess astronomiska konsekvenser. Andra artikeln" . Månatliga meddelanden från Royal Astronomical Society . 77 (2): 155–184. Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10.1093/mnras/77.2.155 .
• Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie" , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

På engelska:   Pauli, W. (1981) [1921]. Relativitetsteori . Fysikens grundläggande teorier . Vol. 165. Dover Publikationer. ISBN 0-486-64152-X .

• Lemaître, G. (1924), "The motion of a rigid solid enligt relativitetsprincipen", Philosophical Magazine , Series 6, 48 (283): 164–176, doi : 10.1080/14786442408634478
• Fokker, AD (1949), "On the space-time geometry of a moving rigid body", Reviews of Modern Physics , 21 (3): 406–408, Bibcode : 1949RvMP...21..406F , doi : 10.1103/ RevModPhys.21.406
• Møller, C. (1955) [1952]. Relativitetsteorin . Oxford Clarendon Press.
• Salzman, G., & Taub, AH (1954), "Born-type rigid motion in relativity", Physical Review , 95 (6): 1659–1669, Bibcode : 1954PhRv...95.1659S , doi : 10.1103/PhysRev. 95.1659 {{ citation }} : CS1 underhåll: flera namn: författarlista ( länk )
• Rayner, CB (1959), "Le corps rigide en relativité générale" , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 2 : 1–15
• Pirani, FAE, & Williams, G. (1962), "Styv rörelse i ett gravitationsfält" , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 5 : 1–16 {{ citation }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
• Petrův, V. (1964). "Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen" . Applikace Matematiky . 9 (4): 239–240.
•   Boyer, RH (1965), "Rigid frames in general relativity", Proceedings of the Royal Society of London A , 28 (1394): 343–355, Bibcode : 1965RSPSA.283..343B , doi : 10.1098/rspa.196, 5.0256 , 5.0256 S2CID 120278621
•   Synge, JL (1967) [1966]. "Tidslika spiraler i platt rum-tid". Proceedings of the Royal Irish Academy, sektion A . 65 : 27–42. JSTOR 20488646 .
• Grön, Ø. (1981), "Covariant formulation of Hooke's law", American Journal of Physics , 49 (1): 28–30, Bibcode : 1981AmJPh..49...28G , doi : 10.1119/1.12623
• Letaw, JR (1981). "Stationära världslinjer och vakuumexcitering av icke-tröghetsdetektorer". Fysisk granskning D . 23 (8): 1709–1714. Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . doi : 10.1103/PhysRevD.23.1709 .
• Bel, L. (1995) [1993], "Born's group and Generalized isometries", Relativity in General: Proceedings of the Relativity Meeting'93 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509 , Bibcode : 20109arXiv .
•   Giulini, Domenico (2008). "Den rika strukturen av Minkowski-rymden". Minkowski Spacetime: A Hundred Years Later . Fysikens grundläggande teorier . Vol. 165. Springer. sid. 83. arXiv : 0802.4345 . Bibcode : 2008arXiv0802.4345G . ISBN 978-90-481-3474-8 .
•   Epp, RJ, Mann, RB och McGrath, PL (2009), "Rigid motion revisited: rigid quasilocal frames", Classical and Quantum Gravity , 26 (3): 035015, arXiv : 0810.0072 , Bibcode : 01506C do 20506C , 20506C : 10.1088/0264-9381/26/3/035015 , S2CID 118856653 {{ citation }} : CS1 underhåll: flera namn: författarlista ( länk )

externa länkar

• Born Rigidity, Acceleration och Tröghet på mathpages.com
• The Rigid Rotating Disk in Relativity i USENET Physics FAQ