Fyracceleration

I relativitetsteorin är fyracceleration en fyrvektor (vektor i fyrdimensionell rumtid ) som är analog med klassisk acceleration (en tredimensionell vektor, se treacceleration i speciell relativitet ) . Fyracceleration har tillämpningar inom områden som utplåning av antiprotoner , resonans av konstiga partiklar och strålning av en accelererad laddning.

Fyracceleration i tröghetskoordinater

I tröghetskoordinater i speciell relativitet definieras fyracceleration $\mathbf {A}$ som förändringshastigheten i fyrhastighets $\mathbf {U}$ med avseende på partikelns rätta tid längs dess världslinje . Vi kan säga:

{\begin{aligned}\mathbf {A} ={\frac {d \mathbf {U} }{d\tau }}&=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\,\gamma _{u}^{2}\ mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\ frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\ frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\ frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right),\end{aligned}}

var

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}} ,$ med $\mathbf {a}$ tre-accelerationen och $\mathbf {u}$ trehastigheterna, och
${\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} } {c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}},$ och
$\gamma _{u}$ är Lorentz-faktorn för hastigheten $u$ (med $|\mathbf {u} |=u$ ). En punkt ovanför en variabel indikerar en derivata med avseende på koordinattiden i en given referensram, inte den korrekta tiden $\tau$ (i andra termer, ${\textstyle {\ punkt {\gamma }}_{u}={\frac {d\gamma _{u}}{dt}}})$ .

I en omedelbart samtidigt rörlig tröghetsreferensram $\mathbf {u} =0$ , $\gamma _{u}=1$ och ${\dot {\gamma }}_{u}=0$ , dvs i en sådan referensram

\mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right).

Geometriskt är fyracceleration en krökningsvektor för en världslinje.

Därför är storleken på fyraccelerationen (som är en invariant skalär) lika med den korrekta accelerationen som en rörlig partikel "känner" röra sig längs en världslinje. En världslinje med konstant fyra-acceleration är en Minkowski-cirkel, dvs hyperbel (se hyperbolisk rörelse )

Skalärprodukten av en partikels fyra-hastighet och dess fyra-acceleration är alltid 0 .

Även vid relativistiska hastigheter är fyracceleration relaterad till fyrkraften :

F^{\mu }=mA^{\mu },

där

m

är en partikels invarianta massa .

När fyrkraften är noll är det bara gravitationen som påverkar en partikels bana, och fyrvektorsekvivalenten till Newtons andra lag ovan reduceras till den geodetiska ekvationen . Fyraccelerationen för en partikel som utför geodetiska rörelser är noll. Detta motsvarar att gravitationen inte är en kraft. Fyracceleration skiljer sig från vad vi förstår med acceleration enligt definitionen i newtonsk fysik, där gravitationen behandlas som en kraft.

Fyracceleration i icke-tröghetskoordinater

I icke-tröghetskoordinater, som inkluderar accelererade koordinater i speciell relativitet och alla koordinater i allmän relativitet , är accelerationsfyrvektorn relaterad till fyrhastigheten genom en absolut derivata med avseende på korrekt tid.

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

I tröghetskoordinater är Christoffel-symbolerna $\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ alla noll, så denna formel är kompatibel med formeln som gavs tidigare.

I speciell relativitet är koordinaterna de för en rätlinjig tröghetsram, så Christoffel- symboltermen försvinner, men ibland när författare använder krökta koordinater för att beskriva en accelererad ram, är referensramen inte trög, de kommer fortfarande att beskriva fysiken som speciell relativistisk eftersom metriken bara är en ramtransformation av Minkowski-rymdmetriken . I så fall är detta uttrycket som måste användas eftersom Christoffel-symbolerna inte längre är noll.

Se även

Papapetrou A. (1974). Föreläsningar om allmän relativitet . D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang (1991). Introduktion till speciell relativitet (2:a) . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5 .

externa länkar

Krökningsvektor på Britannica