Fyra krafter

I den speciella relativitetsteorin är fyrkraft en fyrvektor som ersätter den klassiska kraften .

I speciell relativitet

Fyrkraften definieras som förändringshastigheten i en partikels fyrmomentum med avseende på partikelns rätta tid :

\mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P} \over \mathrm {d} \tau }

.

För en partikel med konstant invariant massa $m>0$ , $\mathbf {P} =m\mathbf {U}$ där $\ mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )$ är fyrhastigheten , så vi kan relatera fyrkraften till fyraccelerationen A $\displaystyle \mathbf {A} }$ som i Newtons andra lag :

\mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \ över c},\gamma {\mathbf {f} }\right)

.

Här

{\mathbf {f} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}

och

{\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.

där $\mathbf {u}$ , $\mathbf {p}$ och $\mathbf {f}$ är 3-rumsvektorer som beskriver partikelns hastighet, rörelsemängd och kraft agerar på det respektive.

Inklusive termodynamiska interaktioner

Av formlerna i föregående avsnitt framgår att fyrkraftens tidskomponent är den förbrukade kraften, $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ , bortsett från relativistiska korrigeringar $\gamma /c$ . Detta gäller endast i rent mekaniska situationer, när värmeväxlingar försvinner eller kan försummas.

I det fullständiga termomekaniska fallet bidrar inte bara arbete , utan också värme till förändringen i energi, som är tidskomponenten i energi-momentum-kovektorn . Fyrkraftens tidskomponent inkluderar i detta fall en uppvärmningshastighet $h$ , förutom effekten $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ . Observera att arbete och värme inte kan separeras på ett meningsfullt sätt, eftersom de båda bär tröghet. Detta faktum sträcker sig också till kontaktkrafter, det vill säga till spännings-energi-momentum-tensorn .

Därför, i termomekaniska situationer är tidskomponenten för fyrkraften inte proportionell mot styrkan $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ utan har ett mer generiskt uttryck, att ges fall för fall, som representerar tillförseln av intern energi från kombinationen av arbete och värme, och som i den Newtonska gränsen blir $h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ .

I allmän relativitet

I allmän relativitet förblir förhållandet mellan fyrkraft och fyracceleration detsamma, men elementen i fyrkraften är relaterade till elementen i fyrmomentet genom en kovariant derivata med avseende på korrekt tid.

F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }

Dessutom kan vi formulera kraft med hjälp av begreppet koordinattransformationer mellan olika koordinatsystem. Antag att vi känner till det korrekta uttrycket för kraft i ett koordinatsystem där partikeln momentant är i vila. Då kan vi utföra en transformation till ett annat system för att få motsvarande kraftuttryck. I speciell relativitetsteori kommer transformationen att vara en Lorentz-transformation mellan koordinatsystem som rör sig med en relativ konstant hastighet medan det i allmän relativitetsteori kommer att vara en allmän koordinattransformation.

Betrakta fyrkrafterna $F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )$ som verkar på en partikel med massan $m$ som befinner sig tillfälligt i vila i ett koordinatsystem. Den relativistiska kraften $f^{\mu }$ i ett annat koordinatsystem som rör sig med konstant hastighet ${\displaystyle v} ,$ relativt den andra, erhålls med hjälp av en Lorentz-transformation:

{\begin{aligned}\mathbf {f} &=\mathbf {F} +(\gamma -1)\mathbf {v} {\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} \over v^ {2}},\\f^{0}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .\end {Justerat}}

där ${\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c$ .

I allmän relativitet blir uttrycket för kraft

f^{\mu }=m{DU^{\mu} \over d\tau }

med kovariantderivata $D/d\tau$ . Rörelseekvationen blir

m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^ {2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu} \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d \tau },

där $\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }$ är Christoffel-symbolen . Om det inte finns någon yttre kraft, blir detta ekvationen för geodetik i den krökta rum-tiden . Den andra termen i ovanstående ekvation spelar rollen som en gravitationskraft. Om $f_{f}^{\alpha }$ är det korrekta uttrycket för kraft i en fritt fallande ram $\xi ^{\alpha }$ , kan vi då använda ekvivalensprincipen för att skriv fyrkraften i en godtycklig koordinat $x^{\mu }$ :

f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.

Exempel

I speciell relativitetsteori kan Lorentz fyrkrafter (fyrakrafter som verkar på en laddad partikel belägen i ett elektromagnetiskt fält) uttryckas som:

F_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu }

,

var

$F_{\mu \nu }$ är den elektromagnetiska tensorn ,
$U^{\nu }$ är fyrhastigheten , och
$q$ är den elektriska laddningen .

Se även

Rindler, Wolfgang (1991). Introduktion till speciell relativitet (2:a uppl.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853953-3 .