3-j symbol

Inom kvantmekaniken är Wigner 3-j-symbolerna , även kallade 3 -jm- symboler, ett alternativ till Clebsch-Gordan-koefficienter för att lägga till vinkelmoment. Medan de två tillvägagångssätten tar upp exakt samma fysiska problem, gör 3- j -symbolerna det mer symmetriskt.

Matematisk relation till Clebsch–Gordanska koefficienter

3- j- symbolerna ges i termer av Clebsch–Gordan-koefficienterna av

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1 )^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2} \,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .$

J- och m- komponenterna är kvanttal med vinkelmoment, dvs varje j (och varje motsvarande m ) är antingen ett icke-negativt heltal eller ett halvt udda heltal . Exponenten för teckenfaktorn är alltid ett heltal, så den förblir densamma när den transponeras till vänster, och den omvända relationen följer när man gör substitutionen m ₃ → − m ₃ :

$\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{ 1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_ {2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.$

Definitionsrelation till Clebsch–Gordan-koefficienter

CG-koefficienterna definieras så att de uttrycker tillägget av två vinkelmoment i termer av en tredje:

$|j_{3}\,m_{3}\rangle =\summa _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\summa _{m_{2}=-j_ {2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_ {1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .$

3- j -symbolerna, å andra sidan, är koefficienterna med vilka tre vinkelmoment måste adderas så att resultanten är noll:

$\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\summa _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\summa _ {m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3} \rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .$

Här $|0\,0\rangle$ är noll-vinkelmomenttillståndet ( ${\displaystyle j=m=0})$ . Det är uppenbart att 3- j -symbolen behandlar alla tre vinkelmoment som är involverade i additionsproblemet på lika villkor och är därför mer symmetrisk än CG-koefficienten.

Eftersom staten $|0\,0\rangle$ är oförändrad av rotation, man säger också att kontraktionen av produkten av tre rotationstillstånd med en 3- j symbol är invariant under rotationer.

Urvalsregler

Wigner 3- j -symbolen är noll om inte alla dessa villkor är uppfyllda:

${\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\ leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ är ett heltal (och dessutom ett jämnt heltal om }}m_{ 1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{aligned}}$

Symmetriegenskaper

En 3- j -symbol är invariant under en jämn permutation av dess kolumner:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{ 2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\ \m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.$

En udda permutation av kolumnerna ger en fasfaktor:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{ 1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix} }=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3 }&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1 }\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.$

Att ändra tecknet för kvanttalen ${\displaystyle m} ($ tidsomkastning ) ger också en fas:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1 )^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3} \end{pmatrix}}.$

3- j- symbolerna har också så kallade Reggesymmetrier, som inte beror på permutationer eller tidsomkastning. Dessa symmetrier är:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{ 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{ 2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2 }}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},$

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{ 1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1 }+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{ 3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.$

Med Regge-symmetrierna har 3- j -symbolen totalt 72 symmetrier. Dessa visas bäst genom definitionen av en Regge-symbol, som är en en-till-en-överensstämmelse mellan den och en 3- j -symbol och antar egenskaperna hos en semi-magisk kvadrat:

$R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2} +j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\ j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},$

varvid de 72 symmetrierna nu motsvarar 3! rad och 3! kolumnutbyten plus en transponering av matrisen. Dessa fakta kan användas för att utforma ett effektivt lagringssystem.

Ortogonalitetsrelationer

Ett system med två vinkelmoment med magnituder j ₁ och j ₂ kan beskrivas antingen i termer av de okopplade bastillstånden (märkta med kvanttalen m ₁ och m ₂ ), eller de kopplade bastillstånden (märkta med j ₃ och m ₃ ). 3- j- symbolerna utgör en enhetlig transformation mellan dessa två baser, och denna enhetlighet innebär ortogonalitetsrelationer

$(2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1} &j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\ m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{ 3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},$

$\sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{ 2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix }}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.$

Det triangulära deltat    { j ₁ j ₂ j ₃ } är lika med 1 när triaden ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) uppfyller triangelvillkoren, och annars är noll. Själva triangulära deltat kallas ibland förvirrande en "3- j symbol" (utan m ) i analogi med 6- j och 9- j symboler, som alla är irreducerbara summeringar av 3- jm symboler där inga m variabler finns kvar.

Relation till sfäriska övertoner; Maga koefficienter

3- jm -symbolerna ger integralen av produkterna av tre sfäriska övertoner

${\begin{aligned}&\int Y_{l_{ 1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi ) \,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2} +1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

med $l_{1}$ , $l_{2}$ och $l_{3}$ heltal. Dessa integraler kallas Gaunt-koefficienter.

Relation till integraler av spinnvägda sfäriska övertoner

Liknande relationer finns för de spinnvägda sfäriska övertonerna om $s_{1}+s_{2}+s_{3}=0$ :

${\begin{aligned}&\int d\mathbf {\hat {n}} \,_{s_{1}}\!Y_{j_{1}m_{1}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{2}}\!Y_{j_{2}m_{2}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{3}}\!Y_ {j_{3}m_{3}}(\mathbf {\hat {n}} )\\&\quad ={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1) (2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end {pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.\end {Justerat}}$

Rekursionsförhållanden

${\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix }l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{ 1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\ pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\ start{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Asymptotiska uttryck

För ${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}} är$ en 3- j - symbol som inte är noll

${\begin {pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{ 3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},$

där $\cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)$ och $d_{mn}^{l}$ är en Wigner-funktion . Generellt ges en bättre approximation för att följa Reggesymmetrin

${ \begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+ m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3 }+1}}},$

där $\cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2 }+l_{3}+1)$ .

Metrisk tensor

Följande kvantitet fungerar som en metrisk tensor i vinkelmomentteori och är också känd som en Wigner 1-jm-symbol :

${\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix} }=(-1)^{jm'}\delta _{m,-m'}.$

Den kan användas för att utföra tidsomkastning på vinkelmoment.

Specialfall och andra egenskaper

$\sum _{m}(-1)^{jm}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _ {J,0}.$

Från ekvation (3.7.9) in

${\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{jm}.$

${\frac {1}{2}}\int _{ -1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{ 2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},$

där P är Legendre polynom .

Relation till Racah V -koefficienter

Wigner 3- j -symboler är relaterade till Racah V -koefficienter genom en enkel fas:

$V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1} -j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.$

Relation till gruppteori

Detta avsnitt omarbetar i huvudsak definitionsrelationen i gruppteorin.

En grupprepresentation av en grupp är en homomorfism av gruppen till en grupp linjära transformationer över något vektorrum. De linjära transformationerna kan ges av en grupp av matriser med avseende på någon bas av vektorrummet.

Gruppen av transformationer som lämnar vinkelmomentet invariant är den tredimensionella rotationsgruppen SO(3) . När "spin" vinkelmoment inkluderas är gruppen dess dubbeltäckande grupp SU(2 ) .

En reducerbar representation är en där en förändring av basen kan tillämpas för att få alla matriser i blockdiagonal form. En representation är irreducerbar (irrep) om ingen sådan transformation existerar.

För varje värde på j bildar de 2 j +1 kets en bas för en irreducerbar representation (irrep) av SO(3)/SU(2) över de komplexa talen. Givet två irreps kan den direkta tensorprodukten reduceras till en summa av irreps, vilket ger upphov till Clebcsh-Gordon-koefficienterna, eller genom att reducera den tredubbla produkten av tre irreps till den triviala irrep 1 som ger upphov till 3j-symbolerna.

3j-symboler för andra grupper

$3j$ -symbolen har studerats mest intensivt i samband med kopplingen av rörelsemängd. För detta är det starkt relaterat till grupprepresentationsteorin för grupperna SU(2) och SO(3) som diskuterats ovan. Men många andra grupper är viktiga inom fysik och kemi , och det har gjorts mycket arbete med symbolen $3j$ för dessa andra grupper. I det här avsnittet behandlas en del av det arbetet.

Helt enkelt reducerbara grupper

Den ursprungliga artikeln av Wigner var inte begränsad till SO(3)/SU(2) utan fokuserade istället på helt enkelt reducerbara (SR) grupper. Dessa är grupper där

• alla klasser är ambivalenta, dvs om $X$ är medlem i en klass så är $X^{-1}$
• Kronecker-produkten av två irreps är multiplicitetsfri dvs innehåller inte några irrep mer än en gång.

För SR-grupper är varje irrep ekvivalent med dess komplexa konjugat, och under permutationer av kolumnerna är symbolens absoluta värde invariant och fasen för varje kan väljas så att de som mest ändrar tecken under udda permutationer och förblir oförändrade under jämnt permutationer.

Allmänna kompaktgrupper

Kompakta grupper bildar en bred klass av grupper med topologisk struktur . De inkluderar de finita grupperna med tillagd diskret topologi och många av Lie-grupperna .

Allmänna kompakta grupper kommer varken att vara ambivalenta eller mångfaldsfria. Derome och Sharp och Derome undersökte $3j$ för det allmänna fallet med hjälp av relationen till Clebsch-Gordon-koefficienterna för

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {1}{ [j_{3}]}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}^{*}\,m_{3}\rangle .$

där $[j]$ är dimensionen av representationsutrymmet för $j$ och $j_{3}^{*}$ är den komplexa konjugerade representationen till ${ \displaystyle j_{3}}$ .

Genom att undersöka permutationer av kolumner i symbolen $3j$ visade de tre fall:

• om alla $j_{1},j_{2},j_{3}$ är olikvärdiga så kan $3j$ -symbolen väljas att vara invariant under vilken permutation som helst av dess kolumner
• om exakt två är ekvivalenta, kan transpositioner av dess kolumner väljas så att vissa symboler kommer att vara invarianta medan andra kommer att byta tecken. Ett tillvägagångssätt med en kransprodukt från gruppen med $S_{3}$ visade att dessa motsvarar representationerna [ $\displaystyle [2]}$ eller $[1^{2 }]$ i den symmetriska gruppen $S_{2}$ . Cykliska permutationer lämnar $3j$ invariant.
• om alla tre är ekvivalenta, är beteendet beroende av representationerna av den symmetriska gruppen $S_{3}$ . Kransgruppsrepresentationer som motsvarar $[3]$ är invarianta under transpositioner av kolumnerna, motsvarande $[1^{3}]$ byter tecken under transpositioner, medan ett par som motsvarar den tvådimensionella representationen $[21]$ transformeras enligt det.

Ytterligare forskning om $3j$ symboler för kompakta grupper har utförts baserat på dessa principer.

Sol)

Den speciella enhetsgruppen SU(n) är Lie-gruppen av n × n enhetsmatriser med determinant 1.

Gruppen SU(3) är viktig i partikelteorin . Det finns många tidningar som handlar om $3j$ eller motsvarande symbol

3 $3j$ -symbolen för gruppen SU(4) har studerats samtidigt som det också pågår arbete med de allmänna SU(n)

Kristallografiska punktgrupper

Det finns många artiklar som handlar om $3j$ -symbolerna eller Clebsch-Gordon-koefficienterna för de finita kristallografiska punktgrupperna och dubbelpunktsgrupperna. Boken av Butler refererar till dessa och beskriver teorin tillsammans med tabeller.

Magnetiska grupper

Magnetiska grupper inkluderar antilinjära operatorer såväl som linjära operatorer. De måste hanteras med hjälp av Wigners teori om kärnpresentationer av enhetliga och antienhetliga grupper . En betydande avvikelse från standardrepresentationsteorin är att mångfalden av den irreducerbara kärnpresentationen $j_{3}^{*}$ i den direkta produkten av de irreducible corepresentationerna $j_{1} \otimes j_{2}$ är i allmänhet mindre än multipliciteten av den triviala kärnpresentationen i trippelprodukten $j_{1}\otimes j_{2}\otimes j_{3}$ , vilket leder till signifikanta skillnader mellan Clebsch-Gordon-koefficienterna och $3j$ -symbolen.

De $3j$ -symbolerna har undersökts för de grå grupperna och för de magnetiska punktgrupperna

Se även

• Clebsch–Gordanska koefficienter
• Sfäriska övertoner
• 6-j symbol
• 9-j symbol

• LC Biedenharn och JD Louck, Angular Momentum in Quantum Physics , volym 8 av Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• DM Brink och GR Satchler, Angular Momentum , 3:e upplagan, Clarendon, Oxford, 1993.
• AR Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics , 2:a upplagan, Princeton University Press, Princeton, 1960.
•    Maximon, Leonard C. (2010), "3j,6j,9j Symbols", i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
• Varshalovich, DA; Moskalev, AN; Khersonskii, VK (1988). Kvantteorin för vinkelmomentum . World Scientific Publishing Co.
•   Regge, T. (1958). "Symmetriegenskaper hos Clebsch-Gordons koefficienter". Nuovo Cimento . 10 (3): 544–545. Bibcode : 1958NCim...10..544R . doi : 10.1007/BF02859841 . S2CID 122299161 .

• Horie, Hisashi (1964). "Representationer av den symmetriska gruppen och de fraktionerade föräldraskapskoefficienterna". J. Phys. Soc. Jpn . 19 (10): 1783. Bibcode : 1964JPSJ...19.1783H . doi : 10.1143/JPSJ.19.1783 .
•   Itzykson, C.; Nauenberg, M. (1966). "Enhetsgrupper: representationer och upplösningar". Rev. Mod. Phys . 38 (1): 95. Bibcode : 1966RvMp...38...95I . doi : 10.1103/RevModPhys.38.95 . OTI 1444219 .
•   Kramer, P. (1967). "Orbital fraktionella härkomstkoefficienter för den harmoniska oscillatorskalmodellen". Z. Phys . 205 (2): 181. Bibcode : 1967ZPhy..205..181K . doi : 10.1007/BF01333370 . S2CID 122879812 .
•   Kramer, P. (1968). "Återkopplingskoefficienter för den symmetriska gruppen för skal- och klustermodellkonfigurationer". Z. Phys . 216 (1): 68. Bibcode : 1968ZPhy..216...68K . doi : 10.1007/BF01380094 . S2CID 121508850 .
• Lezuo, KJ ​​(1972). "Den symmetriska gruppen och Gel'fand-basen för U(3). Generaliseringar av Dirac-identiteten". J. Math. Phys . 13 (9): 1389. Bibcode : 1972JMP....13.1389L . doi : 10.1063/1.1666151 .
• Paldus, Josef (1974). "Gruppteoretisk inställning till beräkningar av konfigurationsinteraktion och störningsteori för atomära och molekylära system". J. Chem. Phys . 61 (12): 5321. Bibcode : 1974JChPh..61.5321P . doi : 10.1063/1.1681883 .
• Schulten, Klaus; Gordon, Roy G. (1975). "Exakt rekursiv utvärdering av 3j och 6j-koefficienter för kvantmekanisk koppling av vinkelmoment". J. Math. Phys . 16 (10): 1961–1970. Bibcode : 1975JMP....16.1961S . doi : 10.1063/1.522426 .
• Paldus, Josef (1976). "Unitary-group approach to the many-electron correlation problem: Relation of Gelfand and Weyl tableau formuleringer". Phys. Rev. A. 14 (5): 1620. Bibcode : 1976PhRvA..14.1620P . doi : 10.1103/PhysRevA.14.1620 .
• Raynal, Jacques (1978). "Om definitionen och egenskaperna hos generaliserade 3-j-symboler". J. Math. Phys . 19 (2): 467. doi : 10.1063/1.523668 .
• Sarma, CR; Sahasrabudhe, GG (1980). "Permutationssymmetri av många partikeltillstånd". J. Math. Phys . 21 (4): 638. Bibcode : 1980JMP....21..638S . doi : 10.1063/1.524509 .
• Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan (1982). "Ett nytt förhållningssätt till permutationsgruppsrepresentation". J. Math. Phys . 23 (6): 928. Bibcode : 1982JMP....23..928C . doi : 10.1063/1.525460 .
• Sarma, CR (1982). "Bestämning av grunden för de irreducibla representationerna av den enhetliga gruppen för U(p+q)↓U(p)×U(q)". J. Math. Phys . 23 (7): 1235. Bibcode : 1982JMP....23.1235S . doi : 10.1063/1.525507 .
• Chen, J.-Q.; Chen, X.-G. (1983). "Gel'fand-basen och matriselementen i den graderade enhetsgruppen U(m/n)". J. Phys. A . 16 (15): 3435. Bibcode : 1983JPhA...16.3435C . doi : 10.1088/0305-4470/16/15/010 .
• Nikam, RS; Dinesha, KV; Sarma, CR (1983). "Minskning av inre produktrepresentationer av enhetliga grupper". J. Math. Phys . 24 (2): 233. Bibcode : 1983JMP....24..233N . doi : 10.1063/1.525698 .
• Chen, Jin-Quan; Collinson, David F.; Gao, Mei-Juan (1983). "Transformationskoefficienter för permutationsgrupper". J. Math. Phys . 24 (12): 2695. Bibcode : 1983JMP....24.2695C . doi : 10.1063/1.525668 .
• Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan; Chen, Xuan-Gen (1984). "Clebsch-Gordan-koefficienten för SU(m/n) Gel'fand-bas". J. Phys. A . 17 (3): 481. Bibcode : 1984JPhA...17..727K . doi : 10.1088/0305-4470/17/3/011 .
•   Srinivasa Rao, K. (1985). "Särskilda ämnen i kvantteorin om vinkelmomentum". Pramana . 24 (1): 15–26. Bibcode : 1985Prama..24...15R . doi : 10.1007/BF02894812 . S2CID 120663002 .
• Wei, Liqiang (1999). "Enhetligt tillvägagångssätt för exakt beräkning av vinkelmomentkoppling och återkopplingskoefficienter". Comput. Phys. Commun . 120 (2–3): 222–230. Bibcode : 1999CoPhC.120..222W . doi : 10.1016/S0010-4655(99)00232-5 .
• Rasch, J.; Yu, ACH (2003). "Effektivt lagringsschema för förberäknade Wigner 3j, 6j och Gaunt-koefficienter". SIAM J. Sci. Comput . 25 (4): 1416–1428. doi : 10.1137/s1064827503422932 .

externa länkar

• Stone, Anthony. "Wigner koefficientberäknare" .
• Volya, A. "Clebsch-Gordan, 3- j och 6- j Coefficient Web Calculator" . Arkiverad från originalet 2007-09-29. (Numerisk)
• Stevenson, Paul (2002). "Clebsch-O-Matic" . Datorfysik kommunikation . 147 (3): 853–858. Bibcode : 2002CoPhC.147..853S . doi : 10.1016/S0010-4655(02)00462-9 .
• 369j-symbolräknare vid plasmalaboratoriet vid Weizmann Institute of Science ( numeriskt)
• Frederik J Simons: Matlabs mjukvaruarkiv, koden THREEJ.M
• Sage (matematikmjukvara) Ger exakta svar för alla värden på j, m
• Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)" . (exakt; C, fortran, python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)" . (snabb uppslag, korrekt; C, fortran)