Corepresentations av enhetliga och antiunitära grupper

Ej att förväxla med comodul som också använder termen corepresentation.

Inom kvantmekaniken är symmetrioperationer av betydelse för att ge information om lösningar till ett system. Typiskt bildar dessa operationer en matematisk grupp , såsom rotationsgruppen SO(3) för sfäriskt symmetriska potentialer. Representationsteorin för dessa grupper leder till irreducerbara representationer , som för SO(3) ger systemets vinkelmoment ket-vektorer .

Standardrepresentationsteori använder linjära operatorer . Vissa operatorer av fysisk betydelse som tidsomkastning är dock antilinjära , och att inkludera dessa i symmetrigruppen leder till grupper som inkluderar både enhetliga och antienhetliga operatorer.

Den här artikeln handlar om kärnpresentationsteori, motsvarigheten till representationsteori för dessa grupper. Det används främst i den teoretiska studien av magnetisk struktur men är också relevant för partikelfysik på grund av CPT-symmetri . Den ger grundläggande resultat, relationen till vanlig representationsteori och några referenser till tillämpningar.

Correpresentations of unitary/antiunitary groups

Eugene Wigner. visade att en symmetrioperation S av en Hamiltonian representeras i kvantmekaniken antingen av en enhetlig operator, S = U , eller en antienhetsoperation, S = UK där U är enhetlig och K betecknar komplex konjugation. Antienhetsoperatorer uppstår inom kvantmekaniken på grund av tidsomvändningsoperatorn

Om uppsättningen av symmetrioperationer (både enhetliga och antienhetliga) bildar en grupp , är den allmänt känd som en magnetisk grupp och många av dessa beskrivs i magnetiska rymdgrupper .

En grupp av enhetliga operatörer kan representeras av en grupprepresentation . På grund av närvaron av antiunitära operatörer måste detta ersättas av Wigners kärnpresentationsteori.

Definition

Låt G vara en grupp med en undergrupp H av index 2. En kärnpresentation är en homomorfism till en grupp av operatorer över ett vektorrum över de komplexa talen där för alla u i H bilden av u är en linjär operator och för alla a in coset GH bilden av a är antilinjär (där '*' betyder komplex konjugation):

${\begin{aligned}&\forall u\in H,D(u)(a{\bf {x}}+b {\bf {y}})=a\gånger D(u){\bf {x}}+b\gånger D(u){\bf {y}}\\&\förall a\i GH,D( a)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a^{*}\ gånger D(a){\bf {x}}+b^{*}\ gånger D( a){\bf {y}}\end{aligned}}$

Egenskaper

Eftersom detta är en homomorfism

${\begin{aligned}&D(u_{1}u_{2})=D(u_{1})D(u_{2} )\\&D(ua)=D(u)D(a)\\&D(au)=D(a)D(u)^{*}\\&D(a_{1}a_{2})=D (a_{1})D(a_{2})^{*}\end{aligned}}$

Reducerbarhet

Två kärnpresentationer är ekvivalenta om det finns en matris V

${\begin{aligned}&\forall u,D '(u)=VD(u)V^{-}1\\&\forall a,D'(a)=VD(a)V^{*-1}\end{aligned}}$

Precis som representationer är en kärnpresentation reducerbar om det finns ett korrekt delrumsinvariant under kärnpresentationens operationer. Om kärnpresentationen ges av matriser är den reducerbar om den är ekvivalent med en kärnpresentation med varje matris i blockdiagonal form.

Om kärnrepresentationen inte är reducerbar, så är den irreducerbar .

Schurs lemma

Schurs lemma för irreducerbara representationer över de komplexa talen säger att om en matris pendlar med alla matriser i representationen så är den en (komplex) multipel av identitetsmatrisen, det vill säga uppsättningen av pendlingsmatriser är isomorf till de komplexa talen ${ \displaystyle \mathbb {C} }$ . Motsvarigheten till Schurs lemma för irreducerbara kärnpresentationer är att uppsättningen av pendlingsmatriser är isomorf till ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ C $\displaystyle \mathbb {C} }$ eller kvaternionerna $\mathbb {Q }$ Genom att använda sammanflätningstalet [1] över de reella talen, kan detta uttryckas som ett sammanflätningstal av 1, 2 eller 4.

Relation till representationer av den linjära undergruppen

Typiskt är irreducerbara kärnpresentationer relaterade till de irreducerbara representationerna av den linjära undergruppen H. Låt $\Delta$ vara en irreducerbar (vanlig) representation av den linjära undergruppen H . Bilda summan över alla antilinjära operatorer av kvadraten av karaktären för var och en av dessa operatorer:

$S=\sum _{a}\chi _{\Delta }(a^{2})$

och sätt $P=D(a_{0})$ för ett godtyckligt element $a_{0}$ .

Det finns tre fall, utmärkande av teckentestet ekv 7.3.51 av Cracknell och Bradley

Typ(a)

Om S = | H | (det sammanflätade talet är ett) då D en irreducerbar kärnpresentation av samma dimension som $\Delta$ med

${\begin{aligned}&D(u)=\Delta (u)\\&D(a)=D(aa_{0}^{-1}a_{0})=\Delta (aa_{0})P\end{aligned}}$

Typ(b)

S = -| H | (sammanflätningstalet är fyra) då D en irreducerbar representation bildad av två 'kopior' av $\Delta$

${\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (u) \end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0}^{-1})P\\-\Delta (aa_{0}^{-1}) P&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Typ(c)

Om S = 0 (sammanflätningstalet är två), då är D en irreducerbar kärnpresentation bildad av två olikvärdiga representationer $\Delta$ och $\Delta '$ där $\Delta '(u)=\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0} )^{*}$

${ \begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}\end{pmatrix }}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0})\\\Delta (a_{0}^{-1}a)^{*}&0\end{pmatrix} }\end{aligned}}$

Cracknell och Bradley visar hur man använder dessa för att konstruera kärnpresentationer för de magnetiska punktgrupperna, medan Cracknell och Wong ger mer explicita tabeller för de dubbla magnetiska grupperna.

Karaktärsteori för kärnpresentationer

Standardrepresentationsteori för finita grupper har en kvadratisk teckentabell med rad- och kolumnortogonalitetsegenskaper. Med en något annorlunda definition av konjugationsklasser och användning av det sammanflätade numret, finns det också en kvadratisk teckentabell med liknande ortogonalitetsegenskaper för kärnrepresentationerna av finita magnetiska grupper.

Baserat på denna teckentabell har en teckenteori som speglar den för representationsteorin utvecklats

Se även

•    Mock, A. (2016). "Karakterisering av paritet-tidssymmetri i fotoniska gitter med hjälp av Heesh-Shubnikov gruppteori". Optik Express . 24 (20): 22693–22707. arXiv : 1606.05044 . Bibcode : 2016OExpr..2422693M . doi : 10.1364/OE.24.022693 . PMID 27828339 . S2CID 24476384 .
• Schweiser, J. (2005). "Tidsinversion i representationsanalysen av magnetiska strukturteori". CR Fysik . 6 : 375-384. doi : 10.1016/j.crhy.2005.01.009 .
• Angeloval, MN; Boyle, LL (2005). "Om klassificeringen och uppräkningen av de irreducerbara samrepresentationerna av magnetiska rymdgrupper". Journal of Physics A: Mathematical and General . 29 (5): 993–1010. doi : 10.1088/0305-4470/29/5/014 .
• Scurek, R. (2004). "Förstå CPT-gruppen i partikelfysik: standardrepresentationer och icke-standardiserade representationer". Am. J. Phys . 75 (5): 638–643. Bibcode : 2004AmJPh..72..638S . doi : 10.1119/1.1629087 .