6-j symbol

Jucys-diagram för Wigner 6-j-symbolen. Plustecknet på noderna indikerar en moturs avläsning av dess omgivande linjer. På grund av dess symmetri finns det många sätt på vilka diagrammet kan ritas. En likvärdig konfiguration kan skapas genom att ta dess spegelbild och därmed ändra plusen till minus.

Wigners 6- j- symboler introducerades av Eugene Paul Wigner 1940 och publicerades 1965. De definieras som en summa över produkter av fyra Wigner 3-j-symboler ,

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=\summa _{m_{1} ,\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_ {2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6} \\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2} &-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix} }.$

Summeringen är över alla sex m _i tillåten av urvalsreglerna för 3- j -symbolerna.

De är nära besläktade med Racah W-koefficienterna , som används för att återkoppla 3 vinkelmoment, även om Wigner 6- j -symboler har högre symmetri och därför ger ett mer effektivt sätt att lagra återkopplingskoefficienterna. Deras förhållande ges av:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{ 1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).$

Symmetrirelationer

6- j -symbolen är invariant under varje permutation av kolumnerna:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix }}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{ 1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\ \j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots$

6- j -symbolen är också invariant om övre och nedre argument byts ut i två valfria kolumner:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{ 4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\ \j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{ 3}\end{Bmatrix}}.$

Dessa ekvationer återspeglar de 24 symmetrioperationerna för automorfismgruppen som lämnar den associerade tetraedriska Yutsis-grafen med 6 kanter invariant: spegeloperationer som byter två hörn och byter ett angränsande par av kanter.

6- j- symbolen

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\ slut{Bmatrix}}$

är noll om inte j ₁ , j ₂ och j ₃ uppfyller triangelvillkor, dvs.

$j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}$

I kombination med symmetrirelationen för utbyte av övre och undre argument visar detta att triangelvillkoren också måste uppfyllas för triaderna ( j ₁ , j ₅ , j ₆ ), ( j ₄ , j ₂ , j ₆ ) och ( j _{4 )} , j5 , j3 ) _{. _} Dessutom måste summan av vart och ett av elementen i en triad vara ett heltal. Därför är medlemmarna i varje triad antingen heltal eller innehåller ett heltal och två halvheltal.

Specialfall

När j _{6 = 0} är uttrycket för 6- j -symbolen:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2 },j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^ {j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$

Det triangulära deltat      { j ₁ j ₂ j ₃ } är lika med 1 när triaden ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) uppfyller triangelvillkoren, och noll annars. Symmetrirelationerna kan användas för att hitta uttrycket när ett annat j är lika med noll.

Ortogonalitetsrelation

6- j -symbolerna uppfyller denna ortogonalitetsrelation:

$\sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{ 6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\ frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{ Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.$

Asymptotika

En anmärkningsvärd formel för det asymptotiska beteendet hos 6- j -symbolen antogs först av Ponzano och Regge och bevisades senare av Roberts. Den asymptotiska formeln gäller när alla sex kvanttalen j ₁ , ..., j ₆ anses vara stora och associerar till 6- j -symbolen geometrin hos en tetraeder. Om 6- j -symbolen bestäms av kvanttalen j ₁ , ..., j ₆ har den associerade tetraedern kantlängder J _i = j _i +1/2 (i=1,...,6) och den asymptotiska formeln ges av,

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{ \sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4 }}\höger)}.$

Beteckningen är som följer: Varje θi _är den externa dihedriska vinkeln kring kanten J _i av den associerade tetraedern och amplitudfaktorn uttrycks i termer av volymen, V , av denna tetraeder.

Matematisk tolkning

I representationsteorin är 6- j -symboler matriskoefficienter för associatorisomorfismen i en tensorkategori . Till exempel, om vi får tre representationer V _i , V _j , V _k av en grupp (eller kvantgrupp ), har en en naturlig isomorfism

$(V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})$

av tensorproduktrepresentationer, inducerade av samassociativitet hos motsvarande bialgebra . Ett av axiomen som definierar en monoidal kategori är att associatorer uppfyller en femhörnig identitet, vilket är ekvivalent med Biedenharn-Elliot-identiteten för 6- j -symboler.

När en monoidal kategori är halvenkel kan vi begränsa vår uppmärksamhet till irreducerbara objekt och definiera mångfaldsutrymmen

$H_{i,j}^{\ell }=\operatörsnamn {Hom} (V_{\ell },V_{i}\ ibland V_{j})$

så att tensorprodukter sönderdelas som:

$V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }$

där summan är över alla isomorfismklasser av irreducerbara objekt. Sedan:

$(V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k}) \cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}$

Associativitetsisomorfismen inducerar en vektorrymdisomorfism

$\Phi _{i,j}^{k, m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{ m}\ibland H_{j,k}^{n}$

och 6j-symbolerna definieras som komponentkartorna:

${\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i, j}^{k,m})_{\ell ,n}$

När multiplicitetsutrymmena har kanoniska grundelement och dimension högst ett (som i fallet med SU (2) i den traditionella miljön), kan dessa komponentkartor tolkas som tal, och 6- j -symbolerna blir vanliga matriskoefficienter.

I abstrakta termer är 6- j- symbolerna just den information som går förlorad när man går från en halvenkel monoidal kategori till dess Grothendieck-ring , eftersom man kan rekonstruera en monoidal struktur med hjälp av associatorn. För fallet med representationer av en ändlig grupp är det välkänt att teckentabellen ensam (som bestämmer den underliggande abelska kategorin och Grothendieck-ringstrukturen) inte bestämmer en grupp upp till isomorfism, medan den symmetriska monoidala kategoristrukturen gör det, av Tannaka-Krein dualitet . Speciellt har de två icke-abelska grupperna av ordning 8 likvärdiga abelska kategorier av representationer och isomorfa Grothdendieck-ringar, men 6- j -symbolerna för deras representationskategorier är distinkta, vilket betyder att deras representationskategorier är olikvärdiga som monoidala kategorier. Således ger 6- j- symbolerna en mellanliggande informationsnivå, som faktiskt unikt bestämmer grupperna i många fall, till exempel när gruppen är udda ordning eller enkel.

Se även

• Clebsch–Gordanska koefficienter
• 3-j symbol
• Racah W-koefficient
• 9-j symbol

Anteckningar

•   Biedenharn, LC ; van Dam, H. (1965). Quantum Theory of Angular Momentum: En samling nytryck och originalpapper . Akademisk press . ISBN 0-12-096056-7 .

•   Edmonds, AR (1957). Vinkelmoment i kvantmekanik . Princeton University Press . ISBN 0-691-07912-9 .

•   Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). "3. Vinkelmomentum" . Theory of Atomic Spectra . Cambridge University Press . ISBN 0-521-09209-4 .
•    Maximon, Leonard C. (2010), "3j,6j,9j Symbols", i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•   Messiah, Albert (1981). Kvantmekanik . Vol. II (12:e upplagan). North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7 .

•   Brink, DM; Satchler, GR (1993). "2. Representationer för rotationsgruppen" . Angular Momentum (3:e upplagan). Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9 .

•   Zare, Richard N. (1988). "2. Koppling av två vinkelmomentvektorer". Vinkelmomentum . Wiley . ISBN 0-471-85892-7 .

•   Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Vinkelmomentum i kvantfysik . Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8 .

externa länkar

•   Regge, T. (1959). "Simmetriegenskaper hos Racahs koefficienter". Nuovo Cimento . 11 (1): 116–7. Bibcode : 1959NCim...11..116R . doi : 10.1007/BF02724914 . S2CID 121333785 .
• Stone, Anthony. "Wigner koefficientberäknare" . (Ger exakt svar)
• Simons, Frederik J. "Matlab mjukvaruarkiv, koden SIXJ.M" .
• Volya, A. "Clebsch-Gordan, 3-j och 6-j Coefficient Web Calculator" . Arkiverad från originalet 2012-12-20.
• Plasmalaboratoriet vid Weizmann Institute of Science. "369j-symbolräknare" .
• GNUs vetenskapliga bibliotek . "Kopplingskoefficienter" .
• Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)" . (exakt; C, fortran, python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)" . (snabb uppslag, korrekt; C, fortran)