Spinviktade sfäriska övertoner

I specialfunktioner , ett ämne i matematik , är spinnvägda sfäriska övertoner generaliseringar av de vanliga sfäriska övertonerna och - liksom de vanliga sfäriska övertonerna - är funktioner på sfären . Till skillnad från vanliga sfäriska övertoner är de spinnvägda övertonerna $U(1)$ -mätfält snarare än skalära fält : matematiskt tar de värden i en komplex linjebunt . De spinnvägda övertonerna är organiserade efter grad $l$ , precis som vanliga sfäriska övertoner, men har en extra spinvikt $s$ som reflekterar den ytterligare $U(1)$ -symmetrin. En speciell bas för övertoner kan härledas från Laplaces sfäriska övertoner $Ylm är$ , och betecknas typiskt med $s Ylm .$ , där $l$ och $m är de vanliga parametrarna som$ bekanta från Laplaces sfäriska standardövertoner I denna speciella bas framträder de spinnvägda sfäriska övertonerna som faktiska funktioner, eftersom valet av en polär axel fixerar U( $1)$ -måttets tvetydighet. De spinnvägda sfäriska övertonerna kan erhållas från standard sfäriska övertoner genom tillämpning av spinnhöjnings- och sänkoperatorer . Speciellt är de spinnvägda sfäriska övertonerna av spinvikten $s = 0$ helt enkelt standardsfäriska övertoner:

{}_{0}Y_{lm}=Y_{lm}\ .

Utrymmen av spinnvägda sfäriska övertoner identifierades först i samband med Lorentz -gruppens representationsteori ( Gelfand, Minlos & Shapiro 1958) . De återupptäcktes senare och oberoende av Newman & Penrose (1966) och användes för att beskriva gravitationsstrålning , och återigen av Wu & Yang (1976) som så kallade "monopolövertoner" i studiet av Dirac-monopoler .

Spinviktade funktioner

Betrakta sfären $S 2$ som inbäddad i det tredimensionella euklidiska rummet $R 3$ . I en punkt $x$ på sfären är en positivt orienterad ortonormal bas av tangentvektorer vid $x$ ett par $a, b$ av vektorer så att

{\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {a } =\mathbf {x} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &=1\\\ mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {x} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&>0,\end{aligned}}

där det första ekvationsparet anger att $a$ och $b$ är tangent vid $x$ , det andra paret anger att $a$ och $b$ är enhetsvektorer , den näst sista ekvationen att $a$ och $b$ är ortogonala , och den sista ekvationen att $(x, a, b)$ är en högerhänt grund av $R3 .$

En spin-vikt $s$ funktion $f$ är en funktion som accepterar som ingång en punkt $x$ av $S 2$ och en positivt orienterad ortonormal bas av tangentvektorer vid $x$ , så att

f{ \bigl (}\mathbf {x} ,(\cos \theta )\mathbf {a} -(\sin \theta )\mathbf {b} ,(\sin \theta )\mathbf {a} +(\cos \ theta )\mathbf {b} {\bigr )}=e^{is\theta }f(\mathbf {x} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )

för varje rotationsvinkel $θ$ .

Efter Eastwood & Tod (1982) , beteckna samlingen av alla $spinviktsfunktioner$ med $B (s)$ . Konkret förstås dessa som funktioner $f$ på $C 2 \{0$ } som uppfyller följande homogenitetslag under komplex skalning

f\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)=\left({\frac {\overline {\lambda }}{\lambda }}\ höger)^{s}f\left(z,{\bar {z}}\höger).

Detta är vettigt förutsatt att $s$ är ett halvt heltal.

Sammanfattningsvis är $B (s)$ isomorf till det släta vektorknippet $CP1 som$ ligger bakom det antiholomorfa vektorknippet $linjen O (2s )$ av Serre-twisningen på den komplexa projektiva . En del av den senare bunten är en funktion $g$ på $C 2 \{0$ } som uppfyller

g\left(\lambda z,{\overline {\lambda}}{\bar {z}}\right)={\overline {\lambda }}^{2s}g\left(z,{\ bar {z}}\höger).

Givet ett sådant $g$ kan vi producera en spin-vikts $funktion$ genom att multiplicera med en lämplig potens av den hermitiska formen

P\left(z,{\bar {z}}\right)=z\cdot {\bar {z}}.

Specifikt är $f = P - s g$ $en$ spinviktsfunktion . Associationen av en spin-viktad funktion till en vanlig homogen funktion är en isomorfism.

Operatören $ð$

Spinnviktsbuntarna $B (s)$ är utrustade med en differentialoperator $ð$ ( eth ). Denna operatör är i huvudsak Dolbeault-operatören , efter att lämpliga identifieringar har gjorts,

\partial :{\overline {\mathbf {O} (2s)}}\to {\mathcal {E}}^{1,0}\otimes {\overline {\mathbf {O} (2s)} }\cong {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\otimes \mathbf {O} (-2).

Alltså för $f \in B (s)$ ,

\eth f\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ P^{-s+1}\partial \left( P^{s}f\höger)

definierar en funktion av spin-vikt $s + 1$ .

Spinviktade övertoner

Precis som konventionella sfäriska övertoner är egenfunktionerna för Laplace-Beltrami-operatorn $E (s ) på$ sfären, är spin-viktens $övertoner$ egensektionerna för Laplace-Beltrami-operatorn som verkar på buntarna av spin-viktens $funktioner$ .

Representation som funktioner

De spinnvägda övertonerna kan representeras som funktioner på en sfär när en punkt på sfären väl har valts för att fungera som nordpolen. Per definition transformeras en funktion $η$ med spinvikt $s$ under rotation kring polen via

\eta \rightarrow e^{is\psi }\eta .

Genom att arbeta i sfäriska standardkoordinater kan vi definiera en viss operator $ð$ som verkar på en funktion $η$ som:

\eth \eta =-\left(\sin {\theta}\right)^{s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {i} {\sin {\theta }}}{\frac {\partial}{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta}\right)^{-s}\eta \ höger].

Detta ger oss ytterligare en funktion av $θ$ och $φ$ . (Operatorn $ð$ är faktiskt en kovariant derivatoperator i sfären.)

En viktig egenskap hos den nya funktionen $ðη$ är att om $η$ hade spinvikt $s$ så har $ðη$ spinvikt $s + 1$ . Operatören höjer alltså spinvikten för en funktion med 1. På samma sätt kan vi definiera en operator $ð$ som kommer att sänka spinvikten för en funktion med 1:

{\bar {\eth }}\eta =-\left(\sin {\theta}\right)^{-s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }} -{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta}\right)^ {s}\eta \right].

De spinnvägda sfäriska övertonerna definieras sedan i termer av de vanliga sfäriska övertonerna som:

{}_{s}Y_{lm}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {(ls)!}{(l+s)!}}}\ \eth ^{s}Y_ {lm},&&0\leq s\leq l;\\{\sqrt {\frac {(l+s)!}{(ls)!}}}\ \left(-1\right)^{s}{ \bar {\eth }}^{-s}Y_{lm},&&-l\leq s\leq 0;\\0,&&l<|s|.\end{cases}}

Funktionerna $s Y lm$ har då egenskapen att transformera med spinvikt $s$ .

Andra viktiga egenskaper inkluderar följande:

{\begin{aligned}\eth \left({}_{s}Y_{lm}\right)&=+{\sqrt {(ls)(l+s+1)}}\,{} _{s+1}Y_{lm};\\{\bar {\eth }}\left({}_{s}Y_{lm}\right)&=-{\sqrt {(l+s)( l-s+1)}}\,{}_{s-1}Y_{lm};\end{aligned}}

Ortogonalitet och fullständighet

Övertonerna är ortogonala över hela sfären:

\int _{S^{2}}{}_{s}Y_{lm}\ ,{}_{s}{\bar {Y}}_{l'm'}\,dS=\delta _{ll'}\delta _{mm'},

och tillfredsställa fullständighetsförhållandet

{_{ θ ) lm}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}\left(\theta ',\phi '\right){}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )= \delta \left(\phi '-\phi \right)\delta \left(\cos \theta '-\cos \theta \right)}

Beräknande

Dessa övertoner kan explicit beräknas med flera metoder. Den uppenbara rekursionsrelationen är ett resultat av att upprepade gånger använda höjnings- eller sänkoperatorerna. Formler för direkt beräkning härleddes av Goldberg et al. (1967) . Observera att deras formler använder ett gammalt val för Condon–Shortley-fasen . Konventionen som väljs nedan är i överensstämmelse med Mathematica, till exempel.

Den mer användbara formlerna från Goldberg et al. är följande:

{}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left(-1\right)^{l+ms}{\sqrt {\frac {(l+m)!(lm )!(2l+1)}{4\pi (l+s)!(ls)!}}}\sin ^{2l}\left({\frac {\theta }{2}}\right)e^ {im\phi }\times \sum _{r=0}^{ls}\left(-1\right)^{r}{ls \choose r}{l+s \choose r+sm}\cot ^ {2r+sm}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\,.

En Mathematica-anteckningsbok som använder denna formel för att beräkna godtyckliga spinnvägda sfäriska övertoner kan hittas här .

Med faskonventionen här:

{\begin{aligned}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}&=\left(-1\right)^{s+m}{}_{-s}Y_ {l(-m)}\\{}_{s}Y_{lm}(\pi -\theta ,\phi +\pi )&=\left(-1\right)^{l}{}_{ -s}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\end{aligned}}

Första några spinnvägda sfäriska övertoner

Analytiska uttryck för de första ortonormaliserade spinnvägda sfäriska övertonerna:

Spin-vikt $s = 1$ , grad $l = 1$

{\begin{\displaystyle} {}_{1}Y_{10}(\theta ,\phi )&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\,\sin \theta \\{}_{1}Y_ {1\pm 1}(\theta ,\phi )&=-{\sqrt {\frac {3}{16\pi }}}(1\mp \cos \theta )\,e^{\pm i\ phi }\end{aligned}}

Relation till Wigners rotationsmatriser

D_{-ms}^{l} (\phi ,\theta ,-\psi )=\left(-1\right)^{m}{\sqrt {\frac {4\pi}{2l+1}}}{}_{s}Y_{ lm}(\theta ,\phi )e^{is\psi }

Denna relation gör att spinnövertonerna kan beräknas med användning av rekursionsrelationer för $D$ - matriserna .

Trippelintegral

Trippelintegralen i fallet att $s 1 + s 2 + s 3 = 0$ ges i termer av 3- $j$ -symbolen :

\int _{S^{2}}\,{}_{s_{ 1}}Y_{j_{1}m_{1}}\,{}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}\,{}_{s_{3}}Y_{j_ {3}m_{3}}={\sqrt {\frac {\left(2j_{1}+1\right)\left(2j_{2}+1\right)\left(2j_{3}+1\ höger)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\ börja{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}

Se även

Sfärisk grund

Dray, Tevian (maj 1985), "Förhållandet mellan monopolövertoner och spinnvägda sfäriska övertoner", J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 26 (5): 1030–1033, Bibcode : 1985JMP....26.1030D , doi : 10.1063/1.526533 .
Eastwood, Michael; Tod, Paul (1982), "Edth-a differential operator on the sphere", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 92 ( 2): 317–330, Bibcode : 1982MPCPS..92..317E , doi : 10.10057/S0913017/S09093017/S09093017 .
Gelfand, IM ; Minlos, Robert A.; Shapiro, Z. Ja. (1958), Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa, ikh primeneniya , Gosudarstv. Izdat. Fiz.-Mat. Lit., Moskva, MR 0114876 ; (1963) Representationer av rotations- och Lorentz-grupperna och deras tillämpningar (översättning). Macmillan förlag.
Goldberg, JN; Macfarlane, AJ; Newman, ET; Rohrlich, F.; Sudarshan, ECG (november 1967), "Spin-s Spherical Harmonics and ð" , J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 8 (11): 2155–2161, Bibcode : 1967JMP.....8.2155G , doi : 10.1063/1.1705135 (Notera: Som nämnts ovan använder denna uppsats ett val för Condon-Shortley-fasen som är inte längre standard.)
Newman, ET ; Penrose, R. (maj 1966), "Note on the Bondi-Metzner-Sachs Group", J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 7 (5): 863–870, Bibcode : 1966JMP.....7..863N , doi : 10.1063/1.1931221 .
Wu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1976), "Dirac monopole without strings: monopole harmonics", Nuclear Physics B , 107 (3): 365–380, Bibcode : 1976NuPhB.107..365W , doi : 10.1016-2150 90143-7 , MR 0471791 .