Ätpinnar (handspel)

"Chopsticks (game)" omdirigerar hit. För det logiska pusslet, se Hashiwokakero .

Spelets poäng spåras på båda händernas fingrar

Chopsticks (ibland kallat Calculator) är ett handspel för två eller flera spelare, där spelare sträcker ut ett antal fingrar från varje hand och överför dessa poäng genom att turas om att slå en hand mot en annan. Chopsticks är ett exempel på ett kombinatoriskt spel och löses i den meningen att med perfekt spel är en optimal strategi känd från vilken punkt som helst.

Regler

Denna officiella uppsättning regler kallas rollover där fem fingrar subtraheras om en hands summa överstiger 5 enligt beskrivningen nedan.

1. En hand är levande om den har minst ett finger, och detta indikeras genom att höja minst ett finger. Om en hand har noll fingrar är handen död , och detta indikeras genom att höja nollfingrar (dvs. en stängd knytnäve).
2. Om någon spelares hand når exakt fem fingrar är handen död.
3. Varje spelare börjar med ett finger höjt på varje hand. Efter den första spelaren vänder fortsätt medurs.
4. På en spelares tur måste de antingen attackera eller dela . Det finns två typer av uppdelningar, överföringar och divisioner .
5. För att attackera använder en spelare en av sina livehänder för att slå en motståndares livehand. Antalet fingrar på motståndarens slagna hand kommer att öka med antalet fingrar på handen som används för att slå.
6. För att överföra slår en spelare ihop sina egna två händer och överför höjda fingrar från en hand till den andra efter önskemål. En spelare kan dock inte överföra fingrar för att få en hand att ha fler än 4 fingrar.
7. Om en spelare har en död hand kan spelaren dela fingrarna mellan den andra handen och den döda handen genom att föra över fingrar från den andra handen till den döda handen. Spelare måste dock attackera minst en gång under spelets gång.
8. En spelare med två döda händer elimineras från spelet.
9. En spelare vinner när alla motståndare är eliminerade.
10. Om du går över 5 subtraherar du summan av alla siffror med 5.

Förkortning

En ätpinnars position kan enkelt förkortas till en fyrsiffrig kod [ABCD]. A och B är händerna (i stigande fingrar) på spelaren som är på väg att ta sin tur. C och D är händerna (i stigande fingrar) på spelaren som inte är på väg att ta sin tur. Det är viktigt att notera varje spelares händer i stigande ordning, så att en enda distinkt position inte av misstag representeras av två koder. Till exempel är koden [1032] inte tillåten och bör noteras [0123].

Därför är startpositionen [1111]. Nästa position måste vara [1211]. Nästa position måste vara antingen [1212] eller [1312]. Behandla varje position som ett 4-siffrigt nummer, den minsta positionen är 0000 och den största positionen är 4444.

Denna förkortningsformel expanderar enkelt till spel med fler spelare. Ett spel för tre spelare kan representeras av sexsiffriga siffror (t.ex. [111211]), där varje par av intilliggande siffror representerar en enskild spelare, och varje par är ordnat baserat på när spelarna tar sina turer. Paret längst till vänster representerar händerna på spelaren som är på väg att ta sin tur; det mellersta paret representerar spelaren som kommer att gå härnäst, och så vidare. Paret längst till höger representerar spelaren som måste vänta längst innan sin tur (vanligtvis för att han precis gick).

Rör sig

Under normala regler finns det maximalt 14 möjliga drag:

• Fyra attacker (AC, AD, BC, BD)
• Fyra divisioner (02–11, 03–12, 04–13, 04–22)
• Sex övergångar (13–22, 22–13, 14–23, 23–14, 24–33, 33–24)

Men endast 5 eller färre av dessa är tillgängliga på en given tur. Till exempel kan den tidiga positionen 1312 gå till 2213, 1313, 2413, 0113 eller 1222.

Spellängder

Kortast möjliga spel är 5 drag. Det finns ett exempel:

1. 1111 1211 1312 0113 1401 0014

Det längsta möjliga spelet som kommer längre från startpunkten med varje drag är 9 drag. Det finns två instanser:

1. 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
2. 1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004

Det längsta möjliga spelet med återbesök är obestämt.

Positioner

Eftersom omsättningsbeloppet är 5, är ätpinnar ett bas-5-spel. Varje position är fyra siffror lång. Att räkna från 0000 till 4444 (i bas-5) ger 625 positioner. De flesta av dessa positioner är dock felaktiga notationer (t.ex. 0132, 1023 och 1032). De ser olika ut men är funktionellt lika i spelet. För att hitta antalet funktionellt distinkta positioner, kvadrerar du antalet funktionellt distinkta par. Det finns 15 olika par (00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34 och 44). Eftersom båda spelarna kan ha vilket som helst av dessa par multiplicerar vi helt enkelt 15*15, vilket ger 225 funktionellt distinkta positioner.

• Det finns 625 tjänster, inklusive uppsägningar.
• Det finns 225 funktionellt distinkta positioner.
• Det finns 204 tillgängliga positioner.

Det finns 21 positioner som inte går att nå: 0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 300, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4 400, 4404 och 4444.

1. 15 av dessa är helt enkelt en spelare som har vart och ett av de 15 distinkta paren, och den andra spelaren är död. Problemet är att den döda spelaren är spelaren som precis tog sin tur (därav "00" på höger sida). Eftersom spelaren inte kan förlora på sin egen tur är dessa positioner uppenbarligen oåtkomliga.
2. 4 av dessa par är där spelaren ska flytta med [kk], och den andra spelaren har [0k], där $0<k<5$ . Detta går inte att nå eftersom spelaren som precis gick [0k] inte skulle kunna dela, så därför måste den spelaren ha attackerat med sin [0k]. Men det finns inget sätt att använda [0k] för att attackera en fiende så att de flyttar till [kk]. Det skulle kräva att man attackerade en död hand, vilket är olagligt.
3. De återstående två positionerna är 3444 och 4444. 4444 går inte att nå eftersom en spelare inte kan nå [44] från en split och därför måste ha [44]. Det enda möjliga paret som går till [44] efter att ha blivit attackerat av [44] är [04], vilket återigen kräver att en död hand attackeras. 3444 är faktiskt nåbar, men bara från 4444. Eftersom 4444 inte går att nå från 4444 är det inte heller 3444.

Det finns 14 slutspel som kan nås: 0001, 0002, 0003, 0004, 0011, 0012, 0013, 0014, 0022, 0023, 0024, 0033, 0034, 0004, 0044, det är tillräckligt med 1 möjliga slut. med andra ord, någon kan vinna genom att använda vilket som helst av de 14 distinkta live-paren. Av dessa 14 slutspel vinner den första spelaren 8 av dem, förutsatt att spelen avslutas med minsta antal drag.

Variationer

• Misère : Den första spelaren som har båda sina händer dödade vinner.
• Självmord : Spelare får döda en av sina egna händer med en split. Till exempel, i positionen [1201] kan en spelare köra 12–03 och därmed föra spelet till [0103]. Motståndaren tvingas spela BD, vilket ger spelet till [0401], vid vilken tidpunkt en snabb vinst för den första spelaren är möjlig.
• Swaps / Cherri : Om spelare har två ojämlika livehänder kan de byta dem (även om de förlorar sin tur). Denna variation ger vanligtvis oavgjort genom upprepning eller oändlig loop av uppenbara skäl. För att undvika detta kan gränser sättas på antalet på varandra följande byten en spelare kan göra utan att bli attackerad innan de tvingas att attackera.
• Sudden Death : Spelare förlorar när de bara har ett finger kvar (på båda händerna). Alternativt kan varje spelare börja med tre liv, och varje gång de kommer ner till [01], förlorar de ett liv.
• Meta : Om en spelares händer summerar till över fem, kan de kombinera dem, subtrahera fem från summan och sedan dela upp resten. Till exempel, [44] summerar till 8. Under metaregler kan 4 och 4 kombineras till 8, som blir 3 efter att ha subtraherat fem; dessa kan sedan delas upp i [12]. Därför är det möjligt att gå från [44] till [12] i ett enda drag. Meta låser upp 2 nya möjliga drag (34–11, 44–12). Om du spelar både Meta och Suicide, låses ytterligare fyra drag upp (24–01, 33–01, 34–02, 44–03), för maximalt 20 möjliga drag totalt.
• Logan-klausul : Spelare får ta självmord och byta, men bara om de gör båda samtidigt (dvs. byter en död hand mot en levande).
• Cutoff : Om en hand kommer över fem fingrar är den död (i motsats till rollover , beskrivet i de officiella reglerna).
• Zombies : Med tre eller fler spelare, om en spelare slås ut, reduceras de permanent till ett finger på ena handen. På sin tur kan de attackera, men de får inte splittras eller attackeras (uppfunnet av Chris Bandy).
• Endast överföringar : divisioner är inte tillåtna. De enda tillåtna uppdelningarna är överföringar.
• Endast divisioner : Överföringar är inte tillåtna. De enda tillåtna uppdelningarna är divisioner.
• Halveringar : Uppdelning är endast tillåten när man delar ett jämnt tal i två lika halvor, eller valfritt, ett udda tal delas så jämnt som möjligt (med heltal). I denna variant har den andra spelaren en vinnande strategi (kan alltid tvinga fram en vinst).
• Stubbar : Om en spelare är på [01], är det lagligt att dela upp i [0,5 0,5].
• Fler händer : Varje spelare har fler än två händer. Detta spelas vanligtvis i lag med flera personer, eftersom personer bara har två händer. Med fler händer per spelare är olika regler för överföring, division, byte och självmord möjliga, och inkluderar men är inte begränsade till:
  • Enkel överföring : Varje spelare kan överföra fingrar mellan endast två händer.
  • Flera överföringar : Varje spelare kan överföra fingrar mellan mer än två händer, så länge det resulterande tillståndet skiljer sig från de ursprungliga tillstånden
  • Single Division : Spelaren kan överföra fingrar från endast en hand till endast en död hand.
  • Partition : Spelaren kan överföra fingrar från endast en hand till flera döda händer.
  • Överföring och partition : Spelaren kan överföra fingrar från flera händer för att återuppliva döda händer.
• Olika nummer : En hand dör när den når ett positivt tal $r$ . $r=5$ är standardvarianten för Chopsticks. Olika handräkningssystem kan användas för siffror större än 5, såsom kinesiska handsiffror , senary fingerräkning och finger binär . Denna variation inkluderar ofta rollovers.
• Solar : Båda spelarna börjar med en 4:a i var och en av sina händer ([4444]). Detta är en position som inte går att nå i normalt spelande (dvs. från öppningspositionen [1111]).
• Heltal : Det är tillåtet att byta en av sina egna händer genom att vända på den och ändra handens +/- tecken. Detta tillåter negativa och nollvärde händer, även om en hand fortfarande dör vid 5 eller -5. Med roll-over blir denna åtgärd identisk med att ersätta handens värde med 5 minus värdet.
• Namnlösa : Att attackera egna händer är tillåtet, lägga till två ytterligare drag (AB, BA). Spelas vanligtvis i kombination med Swap- och Cutoff-varianter.

Optimal strategi

Med reglerna ovan kommer två perfekta spelare att spela på obestämd tid; spelet kommer att fortsätta i en loop. Faktum är att även mycket oerfarna spelare kan undvika att förlora genom att helt enkelt se ett steg framåt.

I cutoff-varianten kan den första spelaren tvinga fram en vinst. En vinnande strategi är att alltid nå en av följande konfigurationer efter varje drag, och helst välja den första i listan om det finns mer än ett val.

• [1211] (börjar här)
• [ab12], där a och b kan vara valfritt antal fingrar (vinn omedelbart om möjligt)

Omvänt, i varianten Division och Suicide, då har den andra spelaren en vinnande strategi.

Generaliseringar

Ätpinnar kan generaliseras till ett spel av (p,r)-typ, där p är antalet spelare och r är omsättningsbeloppet.

Färre än två spelare

Ett spel med en spelare vinner trivialt spelet på grund av att det är den sista spelaren i spelet. Ett spel med noll spelare är likaledes trivialt eftersom det inte finns några spelare i spelet och därmed inga vinnare.

Två spelare

Givet en roll-over av $r$ ,

• Det finns $r^{4}$ positioner, inklusive redundanser.
• Det finns ${r+1 \choose 2}^{2}$ funktionellt distinkta positioner.
• För $r>2$ finns det ${r+1 \choose 2}^ {2}-\left({r+1 \choose 2}+(r-1)+2\right)$ tillgängliga positioner.

Eftersom omsättningsbeloppet är $r$ är ätpinnar ett bas- $r$ -spel. Varje position är $4$ siffror lång. Att räkna upp alla tal i bas- $r$ med $4$ siffror ger oss $r^{4}$ positioner. De flesta av dessa positioner är dock felaktiga notationer (t.ex. 1002, 0120 och 1020). De ser olika ut men är funktionellt lika i spelet. För att hitta antalet funktionellt distinkta positioner kvadrerar vi antalet funktionellt distinkta par. För en roll-over av $r}$$) {\displaystyle {r+1 \choose 2}}$ finns det ${r+1 \choose 2}$ distinkta par, där är det $r$ -te triangulära talet . Eftersom båda spelarna kan ha vilket som helst av dessa par, kvadrerar vi helt enkelt det resulterande värdet, vilket ger oss ${r+1 \choose 2}^{2}$ funktionellt distinkta positioner.

Det finns ${r+1 \choose 2}+(r-1)+2$ oåtkomliga positioner för $r>2$ .

1. ${r+1 \choose 2}$ av dessa är helt enkelt en spelare som har var och en av de ${r+1 \choose 2}$ distinkta par, och den andra spelaren är död. Problemet är att den döda spelaren är spelaren som precis tog sin tur. Eftersom spelaren inte kan förlora på sin egen tur är dessa positioner uppenbarligen oåtkomliga.
2. $(r-1)$ av dessa positioner är när spelaren, vars tur det är, har två händer med värde $k$ för $0<k< r$ och den andra spelaren har bara en levande hand med värdet $k$ . Dessa positioner går inte att nå eftersom spelaren som bara har en levande hand av värde $k$ inte skulle kunna dela, så därför måste den spelaren ha attackerat med sitt enda levande huvud. Men det finns inget sätt att använda sin enda levande hand för att attackera en fiende så att de har två händer av värde ${\displaystyle k} ,$ eftersom det skulle kräva att attackera en död hand, vilket är olagligt.
3. Positionen när båda spelarna har två händer med värde $r-1$ . Dessa positioner går inte att nå eftersom alla spelare som bara har händer med värde $r-1$ inte skulle kunna dela, så därför måste den spelaren ha attackerat med ett av sina värden $r- 1$ händer. Men det finns inget sätt att använda en $r-1$ värderad hand så att de har $2$ händer med värdet $r-1$ , eftersom det skulle kräva att man attackerade en död hand, vilket är olagligt.
4. Positionen när spelaren vars tur det är har en hand med värdet $r-2$ och en hand med värdet $r-1$ , och den andra spelaren har två händer med värdet $r-1$ . Den här positionen kan bara nås från den tidigare positionen, men den tidigare positionen kan inte nås från startpositionen, så den här positionen är det inte heller.

Överrullningsbelopp	Positioner	Funktionellt distinkta positioner	Nåbara positioner
3	81	36	26
4	256	100	85
5	625	225	204
6	1296	441	413
7	2401	784	748
8	4096	1296	1251
9	6561	2025	1970
10	10 000	3025	2959
11	14641	4356	4278
12	20736	6084	5993

Fler än två spelare

Givet en roll-over på 5.

• Med 2 spelare finns det 204 positioner.
• Med 3 spelare finns det 3 337 positioner.
• Med 4 spelare finns det över 25 000 positioner.

Degenererade fall

Ett spel med ett omsättningsbelopp på 1 är det triviala spelet , eftersom alla händer är döda vid start eftersom värden på ett blir värden noll .

Ett spel med ett roll-over-belopp på 2 är degenererat , eftersom splittring är omöjligt och variationerna i roll-over och cutoff resulterar i samma spel. Händer är antingen "levande" och "döda", och att attackera en hand dödar handen. I själva verket kan man helt enkelt hålla räkningen av antalet "händer" en spelare har (genom att använda fingrar eller någon annan metod för att räkna), och när en spelare attackerar en motståndare, minskar antalet händer som motståndaren har med en. Det finns totalt $2^{p}-1$ positioner som kan nås i spelet, och en spellängd på $2p-1$ . Tvåspelarspelet är starkt löst som en förstapersonsvinst.

När två spelare bara har en hand, blir spelet degenererat , eftersom splittringar inte kan inträffa och varje spelare bara har ett drag. Givet $) {\displaystyle \ vänster(F_{k+2}{\bmod {r}},F_{k+1}{\bmod {r}}\right)} , där F k {\displaystyle F_{$ roll-over av ${\displaystyle r} kan$ varje position efter $k$ drag i spelet representeras av tupeln k $är$ k $\ displaystyle k}$ -th Fibonacci-tal med $F_{0}=0$ och $F_{1}=1$ . Antalet positioner ges av det minsta positiva talet $k$ så att $r$ delar $F_{k+2}$ . Denna variant är starkt löst som en vinst för båda sidor beroende på $\displaystyle r}$ och delbarhetsegenskaperna för Fibonacci-tal . Längden på spelet är $k+1$ .

Se även

• Morra (spel) – ett annorlunda handspel, som bygger på slump snarare än logik.

externa länkar

• Oslagbar Chopsticks AI Bot . Denna bot spelar spelet med rollovers och överföringar.