Wienerkorv

För maten, se Wienkorv .

En lång tunn wienerkorv i 3 dimensioner

En kort, fet wienerkorv i 2 dimensioner

Inom det matematiska sannolikhetsområdet är wienerkorven ett område av spåret av en Brownsk rörelse upp till en tid t , som ges genom att ta alla punkter inom ett fast avstånd från Brownsk rörelse. Den kan visualiseras som en korv med fast radie vars mittlinje är Brownsk rörelse. Wienerkorven fick sitt namn efter Norbert Wiener av MD Donsker och SR Srinivasa Varadhan ( 1975 ) på grund av dess relation till Wienerprocessen ; namnet är också en ordlek på wienkorv , eftersom "Wiener" är tyska för "wiennese".

Wienerkorven är en av de enklaste icke-markovska funktionerna i Brownsk rörelse. Dess tillämpningar inkluderar stokastiska fenomen inklusive värmeledning . Det beskrevs först av Frank Spitzer ( 1964 ), och det användes av Mark Kac och Joaquin Mazdak Luttinger ( 1973 , 1974 ) för att förklara resultaten av ett Bose-Einstein-kondensat , med bevis publicerade av MD Donsker och SR Srinivasa Varadhan ( 1975 ) .

Definitioner

Wienerkorven W _δ ( t ) med radien δ och längden t är den setvärde slumpmässiga variabeln på Brownska banor b (i något euklidiskt utrymme) definierad av

$W_{\delta }(t)({b})$ är uppsättningen punkter inom ett avstånd δ från någon punkt b ( x ) av banan b med 0≤ x ≤ t .

Volym av wienerkorven

Det har varit mycket arbete med volymens beteende ( Lebesgue-mått) | W ₅ ( t )| av wienerkorven när den blir tunn (δ→0); genom omskalning motsvarar detta i huvudsak att studera volymen då korven blir lång ( t →∞).

Spitzer (1964) visade att i 3 dimensioner är det förväntade värdet på korvens volym

$E(|W_{\delta }(t)|)=2\pi \delta t+4\delta ^{2}{\sqrt {2\pi t}}+4\pi \delta ^{3}/3.$

I dimension d är minst 3 volymen av wienerkorven asymptotisk mot

$\delta ^{d-2}\pi ^{d/2}2t/\Gamma ((d-2) /2)$

som t tenderar till oändligheten. I dimensionerna 1 och 2 ersätts denna formel av ${\sqrt {8t/\pi }}$ och $2{\pi }t/\log (t)$ respektive. Whitman (1964) , en elev av Spitzer, visade liknande resultat för generaliseringar av wienerkorvar med tvärsnitt som ges av mer allmänna kompakta set än bollar .

• Donsker, MD ; Varadhan, SRS (1975), "Asymptotics for the Wiener sausage", Communications on Pure and Applied Mathematics , 28 (4): 525–565, doi : 10.1002/cpa.3160280406
• Hollander, F. den (2001) [1994], "Wiener sausage" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Kac, M .; Luttinger, JM (1973), "Bose-Einstein-kondensation i närvaro av föroreningar", J. Math. Phys. , 14 (11): 1626–1628, Bibcode : 1973JMP....14.1626K , doi : 10.1063/1.1666234 , MR 0342114
•   Kac, M .; Luttinger, JM (1974), "Bose-Einstein-kondensation i närvaro av föroreningar. II", J. Math. Phys. , 15 (2): 183–186, Bibcode : 1974JMP....15..183K , doi : 10.1063/1.1666617 , MR 0342115
•    Simon, Barry (2005), Funktionell integration och kvantfysik , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3 , MR 2105995 Speciellt kapitel 22.
•   Spitzer, F. (1964), "Electrostatic capacity, heat flow and Brownian motion", Probability Theory and Related Fields , 3 (2): 110–121, doi : 10.1007/BF00535970 , S2CID 198179345
•   Spitzer, Frank (1976), Principles of random walks , Graduate Texts in Mathematics , vol. 34, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, sid. 40, MR 0171290 (Reprint av 1964 års upplaga)
•    Sznitman, Alain-Sol (1998), Brownsk rörelse, hinder och slumpmässiga medier , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-11281-6 , ISBN 3-540-345 , MR 1717054 En avancerad monografi som täcker wienerkorven.
• Whitman, Walter William (1964), Some Strong Laws for Random Walks and Brownian Motion , PhD-avhandling, Cornell U.