Svart–Karasinski modell

Inom finansiell matematik är Black –Karasinski-modellen en matematisk modell av räntornas termstruktur ; se korträntemodell . Det är en enfaktorsmodell eftersom den beskriver ränterörelser som drivna av en enda källa till slumpmässighet. Den tillhör klassen av no-arbitrage-modeller, dvs den kan passa dagens nollkupongsobligationspriser , och i sin mest allmänna form, dagens priser för en uppsättning tak, golv eller europeiska swaptioner . Modellen introducerades av Fischer Black och Piotr Karasinski 1991.

Modell

Modellens huvudtillståndsvariabel är den korta räntan, som antas följa den stokastiska differentialekvationen (under det riskneutrala måttet ):

$d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t }\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}$

där dW _t är en standard Brownsk rörelse . Modellen innebär en log-normalfördelning för den korta räntan och därför är det förväntade värdet på penningmarknadskontot oändligt för varje löptid.

I den ursprungliga artikeln av Fischer Black och Piotr Karasinski implementerades modellen med hjälp av ett binomialträd med variabelt avstånd, men en trinomialträdimplementering är vanligare i praktiken, vanligtvis en log-normal tillämpning av Hull-White gitter .

Ansökningar

Modellen används huvudsakligen för prissättning av exotiska räntederivat såsom amerikanska och bermudanska obligationsoptioner och swaptioner , när dess parametrar har kalibrerats till den aktuella räntestrukturen och till priserna eller implicita volatiliteten för caps , floors eller European swaptions. Numeriska metoder (vanligtvis träd) används i kalibreringsstadiet samt för prissättning. Den kan också användas för att modellera kreditrisk , där Black–Karasinskis korta ränta uttrycker den (stokastiska) intensiteten av fallissemangshändelser som drivs av en Cox-process ; de garanterade positiva räntorna är ett viktigt inslag i modellen här. Nyligen arbete med störningsmetoder i kreditderivat har visat hur analytiska priser bekvämt kan härledas under många sådana omständigheter, såväl som för räntealternativ.

• Black, F.; Karasinski, P. (juli–augusti 1991). "Obligations- och optionsprissättning när korta räntor är lognormala". Financial Analysts Journal . 47 (4): 52–59. doi : 10.2469/faj.v47.n4.52 .
•   Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Räntemodeller – teori och praktik med leende, inflation och kredit (2:a uppl. 2006 uppl.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4 .

externa länkar

• Simon Benninga och Zvi Wiener (1998). Binomial Term Structure Models , Mathematica in Education and Research , Vol. 7 nr 3 1998
• Blanka Horvath, Antoine Jacquier och Colin Turfus (2017). Analytiska optionspriser för Black–Karasinski Short Rate-modellen
• Colin Turfus (2018). Analytisk swaption-prissättning i Black–Karasinski-modellen
• Colin Turfus (2018). Exakt Arrow-Debreu-prissättning för Black–Karasinski Short Rate-modellen
• Colin Turfus (2019). Perturbationsexpansion för Arrow–Debreu-prissättning med Hull-White-räntor och Black–Karasinski-kreditintensitet
• Colin Turfus och Piotr Karasinski (2021). Black-Karasinski-modellen: trettio år senare