Tanaka ekvation

Ej att förväxla med Tanakas formel .

Inom matematiken är Tanakas ekvation ett exempel på en stokastisk differentialekvation som medger en svag lösning men inte har någon stark lösning . Den är uppkallad efter den japanske matematikern Hiroshi Tanaka (Tanaka Hiroshi).

Tanakas ekvation är den endimensionella stokastiska differentialekvationen

$\mathrm {d} X_{t}=\operatörsnamn {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} B_{t},$

₀ drivs av kanonisk Brownsk rörelse B , med initialtillstånd X = 0, där sgn anger teckenfunktionen

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}$

(Observera det okonventionella värdet för sgn(0).) Signumfunktionen uppfyller inte Lipschitz-kontinuitetsvillkoret som krävs för de vanliga satserna som garanterar existens och unikhet hos starka lösningar. Tanaka-ekvationen har ingen stark lösning, dvs en för vilken version B av Brownsk rörelse ges i förväg och lösningen X är anpassad till filtreringen som genereras av B och de initiala förhållandena. Tanaka-ekvationen har dock en svag lösning, en för vilken processen X och versionen av Brownsk rörelse båda specificeras som en del av lösningen, snarare än att den Brownska rörelsen ges a priori . I det här fallet väljer du helt enkelt X som valfri Brownsk rörelse ${\hat {B}}$ och definierar ${\tilde {B}}$ med

${\tilde {B}}_{t}=\int _{0 }^{t}\operatörsnamn {sgn} {\big (}{\hat {B}}_{s}{\big )}\,\mathrm {d} {\hat {B}}_{s}= \int _{0}^{t}\operatörsnamn {sgn} {\big (}X_{s}{\big )}\,\mathrm {d} X_{s},$

dvs

$\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t}=\operatörsnamn {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} X_{t}.$

Därav,

$\mathrm {d} X_{t}=\operatörsnamn {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} {\tilde { B}}_{t},$

och så är X en svag lösning av Tanaka-ekvationen. Dessutom är denna lösning svagt unik, dvs alla andra svaga lösningar måste ha samma lag .

•   Øksendal, Bernt K. (2003). Stokastiska differentialekvationer: En introduktion med tillämpningar (sjätte upplagan). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1 . (Exempel 5.3.2)