Slumpmässigt dynamiskt system

Inom det matematiska fältet av dynamiska system är ett slumpmässigt dynamiskt system ett dynamiskt system där rörelseekvationerna har ett inslag av slumpmässighet. Slumpmässiga dynamiska system kännetecknas av ett tillståndsrum S , en uppsättning kartor $\Gamma$ från S in i sig själv som kan ses som mängden av alla möjliga rörelseekvationer, och en sannolikhetsfördelning Q på mängden $\Gamma$ som representerar det slumpmässiga valet av karta. Rörelse i ett slumpmässigt dynamiskt system kan informellt ses som ett tillstånd $X\in S$ som utvecklas enligt en följd av kartor slumpmässigt valda enligt fördelningen Q .

Ett exempel på ett slumpmässigt dynamiskt system är en stokastisk differentialekvation ; i detta fall bestäms fördelningen Q typiskt av brustermer . Den består av ett basflöde , "bruset" och ett dynamiskt samcykelsystem på det "fysiska " fasutrymmet . Ett annat exempel är diskreta tillstånd slumpmässigt dynamiskt system; några elementära motsättningar mellan Markov-kedjan och slumpmässiga dynamiska systembeskrivningar av en stokastisk dynamik diskuteras.

Motivering 1: Lösningar till en stokastisk differentialekvation

Låt $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$ vara ett $d$ -dimensionellt vektorfält , och låt $\varepsilon >0$ . Antag att lösningen $X(t,\omega ;x_{0})$ till den stokastiska differentialekvationen

$\left\{{\begin{matrix}\mathrm {d} X=f(X)\,\mathrm {d} t+\varepsilon \,\mathrm {d} W(t);\\X( 0)=x_{0};\end{matris}}\höger.$

existerar för all positiv tid och något (litet) intervall av negativ tid beroende på $\omega \in \Omega$ , där $W:\mathbb {R} \ gånger \Omega \to \mathbb {R} ^{d}$ betecknar en $d$ -dimensionell wienerprocess ( Brownsk rörelse ). Implicit använder detta uttalande det klassiska Wiener- sannolikhetsutrymmet

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ):=\left(C_{0}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{d}),{\ mathcal {B}}(C_{0}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{d})),\gamma \right).$

I detta sammanhang är Wienerprocessen koordinatprocessen.

Definiera nu en flödeskarta eller ( lösningsoperator ) $\varphi :\mathbb {R} \times \Omega \times \mathbb {R} ^{d}\to \ mathbb {R} ^{d}$ av

$\varphi (t,\omega ,x_{0}):=X(t,\omega ;x_{0})$

(när den högra sidan är väldefinierad ). Då $\varphi$ (eller, mer exakt, paret ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},\varphi )} )$ en (lokal, vänstersidig) slumpmässigt dynamiskt system. Processen att generera ett "flöde" från lösningen till en stokastisk differentialekvation leder till att vi studerar lämpligt definierade "flöden" på egen hand. Dessa "flöden" är slumpmässiga dynamiska system.

Motiv 2: Anslutning till Markov Chain

Ett iid slumpmässigt dynamiskt system i det diskreta rummet beskrivs av en triplett $(S,\Gamma ,Q)$ .

• $S$ är tillståndsutrymmet, $\{s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n}\}$ .
• $\Gamma$ är en familj av kartor över $S\rightarrow S$ . Varje sådan karta har en $n\times n$ matrisrepresentation, kallad deterministisk övergångsmatris . Det är en binär matris men den har exakt en post 1 i varje rad och nollor annars.
• $Q$ är sannolikhetsmåttet för $\sigma$ -fältet för $\Gamma$ .

Det diskreta slumpmässiga dynamiska systemet kommer enligt följande,

1. Systemet är i något tillstånd $x_{0}$ i $S$ , en karta $\alpha _{1}$ i $\Gamma$ väljs enligt sannolikhetsmått $Q$ och systemet går till tillståndet $x_{1}=\alpha _{1}(x_{0})$ i steg 1.
2. Oberoende av tidigare kartor väljs en annan karta $\alpha _{2}$ enligt sannolikhetsmåttet $Q$ och systemet går till tillståndet ${\ displaystyle x_{2}=\alpha _{2}(x_{1})}$ .
3. Proceduren upprepas.

Slumpvariabeln $X_{n}$ är konstruerad med hjälp av sammansättning av oberoende slumpmässiga kartor, $X_{n}= \alpha _{n}\circ \alpha _{n-1}\circ \dots \circ \alpha _{1}(X_{0})$ . Tydligen är ${\displaystyle X_{n}} en$ Markov-kedja .

Omvänt, kan, och hur, en given MC representeras av sammansättningarna av iid slumpmässiga transformationer? Ja, det kan det, men inte unikt. Beviset för existens liknar Birkhoff–von Neumanns teorem för dubbelstokastisk matris .

Här är ett exempel som illustrerar existensen och icke-unikheten.

Exempel: Om tillståndsutrymmet $S=\{1,2\}$ och mängden transformationer $\Gamma$ uttryckt i termer av deterministiska övergångsmatriser. Sedan en Markov-övergångsmatris $M=\left({\begin{array}{cc}0.4&0.6\\0.7&0.3\end{array}}\right)$ kan representeras av följande sönderdelning med min-max-algoritmen, $M=0.6\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.3\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\ end{array}}\right)+0.1\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right).$

Under tiden kan en annan nedbrytning vara $M=0.18\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}}\right)+0.28\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\ end{array}}\right)+0.42\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.12\left({\begin{array}{cc}1&0 \\0&1\end{array}}\right).$

Formell definition

Formellt består ett slumpmässigt dynamiskt system av ett basflöde, "bruset", och ett samcykeldynamiskt system på det "fysiska" fasutrymmet. I detalj.

Låt $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ vara ett sannolikhetsutrymme , brusutrymmet . Definiera basflödet $\vartheta :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega$ enligt följande: för varje "tid" $s\in \mathbb {R}$ , låt $\vartheta _{s}:\Omega \to \Omega$ vara en måttbevarande mätbar funktion :

$\mathbb {P} (E)=\mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))$ för alla $E\in {\mathcal {F}}$ och $s\in \mathbb {R}$ ;

Antag också det

1. ${\displaystyle \vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Omega }:\Omega \to \Omega } ,$ identitetsfunktionen på Ω $\displaystyle \Omega }$ ;
2. för alla $s,t\in \mathbb {R}$ , $\vartheta _{s}\circ \vartheta _{t}= \vartheta _{s+t}$ .

Det vill säga, $\vartheta _{s}$ , $s\in \mathbb {R}$ , bildar en grupp av måttbevarande transformationer av bruset $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ . För ensidiga slumpmässiga dynamiska system skulle man endast överväga positiva index $s$ ; för diskreta slumpmässiga dynamiska system skulle man endast överväga heltalsvärde $s$ ; i dessa fall skulle kartorna $\vartheta _{s}$ endast bilda en kommutativ monoid istället för en grupp.

Även om det är sant i de flesta tillämpningar är det vanligtvis inte en del av den formella definitionen av ett slumpmässigt dynamiskt system att kräva att det måttbevarande dynamiska systemet $(\Omega ,{\mathcal {F }},\mathbb {P} ,\vartheta )$ är ergodisk .

Låt nu $(X,d)$ vara ett fullständigt separerbart metriskt utrymme , fasutrymmet . Låt $\varphi :\mathbb {R} \times \Omega \times X\to X$ vara a $({\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}}(X),{\mathcal {B}}( X))$ -mätbar funktion så att

1. för alla $\omega \in \Omega$ , $\varphi (0,\omega )=\mathrm {id} _{X} :X\to X$ , identitetsfunktionen på $X$ ;
2. för (nästan) alla $\omega \in \Omega$ , $(t,x)\mapsto \varphi (t,\omega ,x)$ är kontinuerlig ;
3. $\varphi$ uppfyller (rå) cocycle-egenskapen : för nästan alla $\omega \in \Omega$ ,

$\varphi (t,\vartheta _{s}(\omega ))\circ \varphi (s,\omega )=\varphi (t+s,\omega ).$

I fallet med slumpmässiga dynamiska system som drivs av en wienerprocess ${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to X} ,$ basflödet $\vartheta _{s}:\Omega \to \Omega$ skulle ges av

$W(t,\vartheta _{s}(\omega ))=W(t+s ,\omega )-W(s,\omega )$ .

Detta kan läsas som att $\vartheta _{s}$ "startar bruset vid tidpunkten $s$ istället för tid 0". Således kan cocycle-egenskapen läsas som att den utvecklar initialtillståndet $x_{0}$ med lite brus $\omega$ i $s$ sekunder och sedan genom $t$ sekunder med samma brus (som startat från märket $s$ sekunder) ger samma resultat som att utveckla $x_{0}$ till $(t+s)$ sekunder med samma ljud.

Attraktorer för slumpmässiga dynamiska system

Begreppet attraherande för ett slumpmässigt dynamiskt system är inte lika enkelt att definiera som i det deterministiska fallet. Av tekniska skäl är det nödvändigt att "spola tillbaka tiden", som i definitionen av en pullbackattraktor . Dessutom är atttraktorn beroende av realiseringen $\omega$ av bruset.

Se även

• Kaosteori
• Diffusionsprocess
• Stokastisk kontroll