Borel–Cantelli lemma

I sannolikhetsteorin är Borel -Cantelli lemmat - en sats om händelseförlopp . I allmänhet är det ett resultat i måttteori . Den är uppkallad efter Émile Borel och Francesco Paolo Cantelli , som gav ett uttalande till lemmat under de första decennierna av 1900-talet. Ett relaterat resultat, ibland kallat det andra Borel-Cantelli-lemmat , är en partiell motsats till det första Borel-Cantelli-lemmat. Lemmat säger att en händelse under vissa förutsättningar har sannolikheten antingen noll eller ett. Följaktligen är det den mest kända av en klass av liknande satser, kända som noll-ett-lagar. Andra exempel inkluderar Kolmogorovs noll-ett lag och Hewitt-Savage noll-ett lag .

Uttalande av lemma för sannolikhetsutrymmen

Låt E ₁ , E ₂ ,... vara ett händelseförlopp i något sannolikhetsutrymme . Borel-Cantelli-lemmat säger:

Borel–Cantelli lemma — Om summan av sannolikheterna för händelserna { E _n } är ändlig

\sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty ,

då är sannolikheten att oändligt många av dem inträffar 0, dvs.

\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.

Här betecknar "lim sup" limit supremum för händelseförloppet, och varje händelse är en uppsättning utfall. Det vill säga, lim sup E _n är uppsättningen av utfall som inträffar oändligt många gånger inom det oändliga händelseförloppet ( E _n ). Explicit,

\limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}.

Mängden lim sup E _n betecknas ibland { E _n io }, där "io" står för "oändligt ofta". Satsen hävdar därför att om summan av sannolikheterna för händelserna E _n är ändlig, så måste mängden av alla utfall som "upprepas" oändligt många gånger inträffa med sannolikheten noll. Observera att inget antagande om oberoende krävs.

Exempel

Antag att ( X _n ) är en sekvens av slumpvariabler med Pr( X _n = 0) = 1/ n ² för varje n . Sannolikheten att X _n = 0 inträffar för oändligt många n är ekvivalent med sannolikheten för skärningspunkten mellan oändligt många [ X _n = 0] händelser. Skärningspunkten mellan oändligt många sådana händelser är en uppsättning utfall som är gemensamma för dem alla. Men summan ΣPr( X _n = 0) konvergerar till $π$ ² /6 ≈ 1,645 < ∞, och så anger Borel–Cantelli Lemma att den uppsättning utfall som är gemensamma för oändligt många sådana händelser inträffar med sannolikhet noll. Därför är sannolikheten för att X _n = 0 inträffar för oändligt många n 0. Nästan säkert (dvs. med sannolikhet 1) är X _n icke noll för alla utom ändligt många n .

Bevis

Låt ( E _n ) vara ett händelseförlopp i något sannolikhetsutrymme .

Händelsesekvensen ${\textstyle \left\{\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right\}_{N=1 }^{\infty }}$ är icke-ökande:

\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\supseteq \bigcup _{n=2}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \bigcup _{n =N}^{\infty }E_{n}\supseteq \bigcup _{n=N+1}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \limsup _{n\to \infty }E_ {n}.

Genom kontinuitet uppifrån,

\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=\lim _{N\to \infty }\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty } E_{n}\höger).

Genom subadditivitet,

\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n} ).

Enligt ursprungligt antagande är ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty .} Som$ serien ${\textstyle \sum _{n =1}^{\infty }\Pr(E_{n})}$ konvergerar,

\lim _{N\to \infty }\sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n}) =0,

såsom krävs.

Allmänna måttutrymmen

För allmänna måttutrymmen har Borel–Cantelli-lemmat följande form:

Borel–Cantelli Lemma för måttutrymmen — Låt μ vara ett (positivt) mått på en mängd X , med σ-algebra F , och låt ( A _n ) vara en sekvens i F . Om

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ,

sedan

\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.

Omvänt resultat

Ett relaterat resultat, ibland kallat det andra Borel-Cantelli-lemmat , är en partiell motsats till det första Borel-Cantelli-lemmat. Lemmat säger: Om händelserna E _n är oberoende och summan av sannolikheterna för E _n divergerar till oändlighet, så är sannolikheten att oändligt många av dem inträffar 1. Det vill säga:

Andra Borel–Cantelli Lemma — Om ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty } och$ händelserna $(E_{n})_{n=1}^{\infty }$ är oberoende, då $\ Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=1.$

Antagandet om oberoende kan försvagas till parvis oberoende , men i så fall är beviset svårare.

Exempel

The infinite monkey theorem , att oändligt slumpmässigt skrivande, med sannolikhet 1, så småningom producerar varje finit text (som Shakespeares verk), motsvarar påståendet att ett (inte nödvändigtvis rättvist) mynt som kastas oändligt ofta så småningom kommer upp Heads . Detta är ett specialfall av det andra Lemma.

Lemmat kan appliceras för att ge ett täckande sats i R ⁿ . Specifikt ( Stein 1993 , Lemma X.2.1), om Ej är en samling av _Lebesgue mätbara delmängder av en kompakt mängd i Rn så ^att

\sum _{j}\mu (E_{j})=\infty ,

sedan finns det en sekvens F _j av translaterar

F_{j}=E_{j}+x_{j}

Så att

\lim \sup F_{j}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k =n}^{\infty }F_{k}=\mathbb {R} ^{n}

förutom en uppsättning mått noll.

Bevis

Antag att ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty }$ och händelserna $(E_{n})_{n=1}^{\infty }$ är oberoende. Det räcker att visa händelsen att E _n inte inträffade för oändligt många värden på n har sannolikheten 0. Detta är bara för att säga att det räcker för att visa att

1-\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=0.

Noterar att:

{\begin{aligned}1-\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})&=1-\Pr \left(\{E_{n}{\text{io}}\} \right)=\Pr \left(\{E_{n}{\text{io}}\}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\left(\bigcap _{N=1 }^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)^{c}\right)=\Pr \left(\bigcup _{N=1}^{\ infty }\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\liminf _{n\to \infty }E_{n}^ {c}\right)=\lim _{N\to \infty }\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)\end{aligned }}

, det räcker att visa:

{\textstyle \Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right )=0}

. Eftersom

(E_{n})_{n=1}^{\infty }

är oberoende:

{\begin{aligned}\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)&=\prod _{n=N}^{ \infty }\Pr(E_{n}^{c})\\&=\prod _{n=N}^{\infty }(1-\Pr(E_{n})).\end{aligned} }

Konvergenstestet för oändliga produkter garanterar att produkten ovan är 0, om

{\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})

} avviker. Detta fullbordar beviset.

Motsvarighet

Ett annat relaterat resultat är den så kallade motsvarigheten till Borel–Cantelli-lemmat . Det är en motsvarighet till Lemma i den meningen att det ger ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att limsupen ska vara 1 genom att ersätta oberoendeantagandet med det helt andra antagandet att ( A n ) {\displaystyle (A_ $}$ är monotont ökande för tillräckligt stora index. Detta Lemma säger:

Låt $(A_{n})$ vara sådan att $A_{k}\subseteq A_{k+1}$ , och låt ${ \bar {A}}$ betecknar komplementet till $A$ . Då är sannolikheten för att oändligt många $A_{k}$ inträffar (det vill säga minst en $A_{k}$ inträffar) en om och endast om det finns en strikt ökande sekvens av positiva heltal $(t_{k})$ så att

\sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}\mid {\bar {A}}_{t_{k}})=\infty .

Detta enkla resultat kan vara användbart i problem som till exempel de som involverar träffsannolikheter för stokastisk process med valet av sekvensen ${\displaystyle (t_{k})} som$ vanligtvis är essensen.

Kochen–Sten

Låt $A_{n}$ vara en händelseförlopp med ${\textstyle \sum \Pr(A_{n})=\infty }$ och ${\textstyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {\sum _ {1\leq m,n\leq k}\Pr(A_{m}\cap A_{n})}{\left(\summa _{n=1}^{k}\Pr(A_{n}) \right)^{2}}}<\infty ,}$ så finns det en positiv sannolikhet att $A_{n}$ förekommer oändligt ofta.

Se även

Prokhorov, AV (2001) [1994], "Borel–Cantelli lemma" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Feller, William (1961), En introduktion till sannolikhetsteori och dess tillämpning, John Wiley & Sons .
Stein, Elias (1993), Harmonisk analys: Real-variable methods, ortogonality, and oscillatory integrals , Princeton University Press .
Bruss, F. Thomas (1980), "A counterpart of the Borel Cantelli Lemma", J. Appl. Probab. , 17 : 1094-1101 .
Durrett, Rick. "Sannolikhet: Teori och exempel." Duxbury avancerade serie, tredje upplagan, Thomson Brooks/Cole, 2005.

externa länkar

Planet Math Proof Se för ett enkelt bevis på Borel Cantelli Lemma