Kritisk Potts-modell i tre tillstånd

med tre tillstånd , även känd som $\mathbb {Z} _{3}$ parafermion CFT , är en konform fältteori i två dimensioner. Det är en minimal modell med central laddning ${\displaystyle c=4/$ 5 Det anses vara den enklaste minimala modellen med en icke-diagonal partitionsfunktion i Virasoro-tecken , såväl som den enklaste icke-triviala CFT med W-algebra som symmetri.

Egenskaper

Den kritiska tre-tillståndsmodellen Potts har en central laddning på ${\displaystyle c=4/5} ,$ tillhör därför den diskreta familjen av enhetliga minimalmodeller med central laddning mindre än en Dessa konforma fältteorier är helt klassificerade och för det mesta väl förstådda.

Den modulära partitionsfunktionen för den kritiska Potts-modellen med tre tillstånd ges av

$Z=|\chi _{1,1}+\chi _{4,1}|^{2}+|\chi _{2,1}+\chi _{3,1}|^ {2}+2|\chi _{4,3}|^{2}+2|\chi _{3,3}|^{2}$

Här $\chi _{r,s}(q)\equiv {\textrm {Tr}}_{(r ,s)}(q^{L_{0}-c/24})$ hänvisar till Virasoro-tecknet, hittat genom att ta spåret över Verma-modulen som genereras från Virasoros primära operator märkt med heltal $r ,s$ . Märkningen $(r,s)$ är en standardkonvention för primära operatorer för $c<1$ minimalmodellerna.

Dessutom är den kritiska tre-tillståndsmodellen Potts symmetrisk inte bara under Virasoro-algebra, utan också under en förstorad algebra som kallas W-algebra som inkluderar Virasoro-algebra såväl som några spin-3-strömmar. De lokala holomorfa W-primärerna ges av $1,\epsilon ,\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1 },\psi _{2}$ . De lokala antiholomorfa W-primärerna ges på liknande sätt av $1,{\bar {\epsilon }},{\bar {\sigma } }_{1},{\bar {\sigma }}_{2},{\bar {\psi }}_{1},{\bar {\psi }}_{2}$ med samma skalningsmått . Varje fält i teorin är antingen en kombination av ett holomorft och antiholomorft W-algebra primära fält, eller en avkomling av ett sådant fält genererat genom att agera med W-algebrageneratorer. Vissa primärer i Virasoro-algebra, såsom $(3,1)$ primära, är inte primära i W-algebra.

Chiral W-primärer i den kritiska 3-tillståndsmodellen Potts

Primär	Dimensionera	$\mathbb {Z} _{3}$ laddning	Kac-etikett
$1$	0	0	(1,1)+(4,1)
$\epsilon$	2/5	0	(2,1)+(3,1)
$\psi _{1}$	2/3	1	(1,3)
$\psi _{2}$	2/3	-1	(1,3)
$\sigma _{1}$	1/15	1	(3,3)
$\sigma _{2}$	1/15	-1	(3,3)

Partitionsfunktionen är diagonal när den uttrycks i termer av W-algebra-tecken (där spår tas över irreducerbara representationer av W-algebra, istället för över irreducible representationer av Virasoro-algebra). Eftersom $\chi _{1}=\chi _{1,1}+\chi _{4,1}$ och ${\displaystyle \chi _{\epsilon }=\chi _{2,1}+\chi _{3,1}} ,$ vi kan skriva

$Z=|\chi _{1}|^{2}+|\chi _{\epsilon }|^{2}+|\chi _{\psi _{1}}|^{2} +|\chi _{\psi _{2}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{1}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{2}}| ^{2}$

Operatörerna $\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}$ debiteras under verkan av en global $\mathbb {Z} _{3}$ symmetri. Det vill säga, under en global global $\mathbb {Z} _{3}$ -transformation, tar de upp faserna $\sigma _{a}\ till e^{2\pi ia/3}\sigma _{a}$ och $\psi _{a}\to e^{2\pi ia/ 3}\psi _{a}$ för $a=1,2$ . Sammanslagningsreglerna som styr operatörens produktexpansioner som involverar dessa fält respekterar verkan av denna $\mathbb {Z} _{3}$ transformation. Det finns också en laddningskonjugationssymmetri som växlar $\sigma _{1}\leftrightarrow \sigma _{2},\psi _{1}\leftrightarrow \psi _{ 2}$ . Ibland används notationen $\sigma ,\sigma ^{\dolk },\psi ,\psi ^{\dolk }$ i litteraturen istället för $\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}$ .

$c=4/5$ två modulärt invarianta konforma fältteorier som finns med central laddning Den andra sådana teorin är den tetrakritiska Ising-modellen, som har en diagonal partitionsfunktion i termer av Virasoro-tecken. Det är möjligt att erhålla den kritiska Potts-modellen med tre tillstånd från den tetrakritiska Ising-modellen genom att applicera en $\mathbb {Z} _{2}$ orbifoldstransformation på den senare.

Lattice Hamiltonians

Potts konforma fältteorin med kritiska tre tillstånd kan realiseras som teorin om lågenergieffektivitet vid fasövergången av den endimensionella Potts-kvantmodellen i tre tillstånd.

Hamiltonian för kvantmodellen i tre tillstånd Potts ges av

$H=-J(\summa _{\ lange i,j\rangle }(Z_{i}^{\dolk }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dolk })+g\sum _{j}(X_{j}+ X_{j}^{\dolk }))$

Här är $J$ och $g$ positiva parametrar. Den första terminen kopplar frihetsgrader på närmaste grannplatser i gallret. $X$ och $Z$ är $3\times 3$ klockmatriser som uppfyller $X^{3}=Z^{3}= 1$ och kommuteringsrelation på samma plats $ZX=\omega XZ$ där $\omega =-{\frac {1}{2}} +i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ .

Denna Hamiltonian är symmetrisk under varje permutation av de tre $Z$ -egentillstånden på varje plats, så länge som samma permutation görs på varje plats. Således sägs den ha en global $S_{3}$ symmetri. En $\mathbb {Z} _{3}$ undergrupp av denna symmetri genereras av enhetsoperatorn $\prod _{j}X_{j}$ .

I en dimension har modellen två gapade faser, den ordnade fasen och den oordnade fasen. Den ordnade fasen inträffar vid $0<g<1$ och kännetecknas av ett förväntat grundtillståndsvärde som inte är noll för ordningsparametern $Z_{j}$ på vilken plats som helst $j$ . Grundtillståndet i denna fas bryter explicit den globala $S_{3}$ -symmetrin och är således trefaldigt degenererad. Den oordnade fasen inträffar vid $g>1$ och kännetecknas av ett enda grundtillstånd. Mellan dessa två faser finns en fasövergång vid $g=1$ . Vid detta specifika värde på $g$ är Hamiltonian gapfri med en grundtillståndsenergi på ${\displaystyle E_{0}=-({\frac {4 }{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }})JL} ,$ där $L$ är kedjans längd. Med andra ord, inom gränsen för en oändligt lång kedja, är Hamiltonianens lägsta energiegenvärden oändligt nära varandra. Som är fallet för de flesta endimensionella gaplösa teorier, är det möjligt att beskriva lågenergifysiken i 3-tillståndsmodellen Potts med hjälp av en 1+1 dimensionell konform fältteori; i denna speciella gittermodell är den konforma fältteorin ingen mindre än den kritiska tretillståndsmodellen Potts.

Gitteroperatörskorrespondens

Under flödet av renormaliseringsgruppen flödar gitteroperatorer i Potts-kvantmodellen i tre tillstånd till fält i den konforma fältteorin. I allmänhet är det svårt och inte självklart att förstå vilka operatörer som flyter till vilka fält. Analytiska och numeriska argument tyder på en överensstämmelse mellan ett fåtal gitteroperatorer och CFT-fält enligt följande. Gitterindex $j$ mappar till motsvarande fältpositioner $z,{\bar {z}}$ i rum-tid, och icke-universella reella talprefaktorer ignoreras.

• $Z_{j}\sim \Phi _{\sigma _{1},{\bar {\sigma }}_{1}}( z,{\bar {z}})$ , det ${\frac {2}{15}}$ -dimensionella fältet som består av holomorfa och anti-holomorfa delar $\sigma _{1}(z)$ och ${\bar {\sigma }}_{1}({\bar {z}})$
• $Z_{j}^{\dolk }\sim \Phi _{\sigma _{2},{\bar {\sigma }} _{2}}(z,{\bar {z}})$
• $Z_{j}Z_{j+1}^{\dolk }-{\frac {1}{2}}(X_{j}+X_{j+1})+{\textrm {hc}}\sim \Phi _{\epsilon ,{\bar {\epsilon }} }(z,{\bar {z}})$ . Som kan ses i gitterspråket, att lägga till denna operator till varje plats i Hamiltonian har effekten att trimma $g$ bort från 1. Denna operator kallas termisk operator, eftersom i den klassiska statistiska mekaniken analog av kvantgittermodell, inställning av $g$ skulle vara ekvivalent med att ändra temperaturen bort från den kritiska temperaturen.
• ${\displaystyle -Z_{j}Z_ {j+1}^{\dolk }-{\frac {1}{2}}(X_{j}+X_{j+1})+{\textrm {hc}}+{\frac {4}{ 3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}\sim T(z)+{\bar {T}}({\bar {z}})} ,$ dimensionen- 2 stress-energi tensorfält.
• ${\ displaystyle Z_{j}(2-3\omega ^{2}X_{j}-3\omega X_{j}^{2})-2Z_{j}^{\dolk }(Z_{j-1}^ {\dolk }+Z_{j+1}^{\dolk })\sim \psi _{1}(z){\bar {\psi}}_{1}({\bar {z}})}$