Grundläggande vektorfält

I studiet av matematik och speciellt differentialgeometri är fundamentala vektorfält ett instrument som beskriver det oändliga beteendet hos en smidig Lie -grupphandling på ett jämnt grenrör . Sådana vektorfält finner viktiga tillämpningar i studiet av Lieteori , symplektisk geometri och studiet av Hamiltonska grupphandlingar .

Motivering

Viktigt för tillämpningar inom matematik och fysik är föreställningen om ett flöde på ett grenrör. I synnerhet, om $M$ är ett jämnt grenrör och $X$ är ett jämnt vektorfält , är man intresserad av att hitta integralkurvor till $X$ . Mer exakt, givet $p\in M$ är man intresserad av kurvor $\gamma _{p}:\mathbb {R} \to M$ så att

$\gamma _{p}'(t)=X_{\gamma _{p}(t)},\qquad \gamma _{p}(0)=p,$

för vilka lokala lösningar garanteras av existens- och unikhetssatsen för vanliga differentialekvationer . Om $X$ dessutom är ett komplett vektorfält , så är flödet av ${\displaystyle X},$ definierat som samlingen av alla integralkurvor för $X$ , en diffeomorfism av $M$ . Flödet $\phi _{X}:\mathbb {R} \times M\to M$ givet av ${\displaystyle \phi _{X}(t,p)=\gamma _{p}(t)} är$ i själva verket en åtgärd av den additiva Lie-gruppen $(\mathbb {R} ,+)$ på $M$ .

Omvänt, varje jämn åtgärd $A:\mathbb {R} \times M\to M$ definierar ett komplett vektorfält $X$ via ekvationen

$X_{p}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A(t,p).$

Det är då ett enkelt resultat att det finns en bijektiv överensstämmelse mellan $\mathbb {R}$ åtgärder på $M$ och kompletta vektorfält på $M$ .

På flödesteorin kallas vektorfältet ${\displaystyle X} för$ infinitesimal generator . Intuitivt motsvarar flödets beteende vid varje punkt den "riktning" som indikeras av vektorfältet. Det är en naturlig fråga att fråga sig om man kan etablera en liknande överensstämmelse mellan vektorfält och mer godtyckliga Lie-gruppåtgärder på $M$ .

Definition

Låt $G$ vara en Lie-grupp med motsvarande Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . Låt dessutom $M$ vara ett jämnt grenrör försett med en jämn åtgärd $A:G\times M\to M$ . Beteckna kartan $A_{p}:G\to M$ så att $A_{p}(g)=A(g ,p)$ , kallad omloppskarta för $A$ motsvarande $\displaystyle p}$ . För ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} är$ det fundamentala vektorfältet $X^{\#}$ motsvarande $X$ någon av följande ekvivalenta definitioner :

• $X_{p}^{\#}=d_{e}A_{p}(X)$
• $X_{p}^{\#}=d_{(e,p)}A\left(X,0_{T_{p }M}\höger)$
• $X_{p}^{\#}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A\ vänster(\exp(tX),p\höger)$

där $d$ är differentialen för en jämn karta och $0_{T_{p}M}$ är nollvektorn i vektorrymden $T_{p}M$ .

Kartan ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \Gamma (TM),X\mapsto X^{\#}} kan$ visas som en lögn algebra homomorfism .

Ansökningar

Lögngrupper

Lie-algebra för en Lie-grupp $G$ kan identifieras med antingen vänster- eller högerinvarianta vektorfält på $G$ . Det är ett välkänt resultat att sådana vektorfält är isomorfa till ${\displaystyle T_{e}G} ,$ tangentrymden vid identitet. Faktum är att om vi låter $G$ agera på sig själv via högermultiplikation, är motsvarande fundamentala vektorfält just de vänsterinvarianta vektorfälten.

Hamiltonska gruppaktioner

I motiveringen visades det att det finns en bijektiv överensstämmelse mellan jämna $\mathbb {R}$ -åtgärder och kompletta vektorfält. På liknande sätt finns det en bijektiv överensstämmelse mellan symplektiska handlingar (de inducerade diffeomorfismerna är alla symplektomorfismer ) och fullständiga symplektiska vektorfält .

En närbesläktad idé är Hamiltonian vektorfält . Givet ett symplektiskt grenrör $(M,\omega )$ , säger vi att $X_{H}$ är ett Hamiltonskt vektorfält om det finns en jämn funktion ${ \displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$ tillfredsställande

$dH=\iota _{X_{H}}\omega$

där kartan $\iota$ är inredningsprodukten . Detta motiverar definitionen av en Hamiltonsk gruppåtgärd enligt följande: Om $G$ är en Lie-grupp med Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ och $A :G\times M\to M$ är en gruppåtgärd av $G$ på ett jämnt grenrör $M$ , då säger vi att $A$ är en Hamiltonsk gruppåtgärd om det finns en momentkarta $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ så att för varje $X\in {\mathfrak {g}}$ ,

$d\mu ^{X}=\iota _{X^{\#}}\omega ,$

där $\mu ^{X}:M\to \mathbb {R} ,p\mapsto \langle \mu (p),X\ rangle$ och $X^{\#}$ är det grundläggande vektorfältet för $X$