Itererad gräns

I multivariabelkalkyl är en itererad gräns en gräns för en sekvens eller en gräns för en funktion i formen

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty } a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\left(\lim _{n\to \infty}a_{n,m}\right)$ ,

$\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)= \lim _{y\to b}\left(\lim _{x\to a}f(x,y)\right)$ ,

eller andra liknande former.

En itererad gräns definieras endast för ett uttryck vars värde beror på minst två variabler. För att utvärdera en sådan gräns tar man begränsningsprocessen eftersom en av de två variablerna närmar sig något tal, får ett uttryck vars värde bara beror på den andra variabeln, och sedan tar man gränsen när den andra variabeln närmar sig något tal.

Typer av itererade gränser

Detta avsnitt introducerar definitioner av itererade gränser i två variabler. Dessa kan lätt generaliseras till flera variabler.

Itererad sekvensgräns

För varje $n,m\in \mathbf {N}$ , låt $a_{n,m}\in \mathbf {R}$ vara en riktig dubbel sekvens. Sedan finns det två former av itererade gränser, nämligen

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{ n,m}\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ .

Till exempel, låt

$a_{n,m}={\frac {n}{n+m}}$ .

Sedan

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}= \lim _{m\to \infty }1=1$ , och

$\lim _{n\to \infty }\lim _ {m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }0=0$ .

Itererad funktionsgräns

Låt $f:X\times Y\to \mathbf {R}$ . Sedan finns det också två former av itererade gränser, nämligen

$\lim _{y\to b}\lim _{x\to a} f(x,y)\qquad {\text{och}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)$ .

Låt till exempel $f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R}$ såsom den där

$f(x,y)={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$ .

Sedan

$\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{ x^{2}+y^{2}}}=\lim _{y\to 0}0=0$ och

${ \displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x \to 0}1=1}$ .

Gränsen/gränserna för x och/eller y kan också tas i oändlighet, dvs.

$\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \ infty }f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)$ .

Itererad gräns för sekvens av funktioner

För varje $n\in \mathbf {N}$ , låt $f_{n}:X\to \mathbf {R}$ vara en sekvens av funktioner. Sedan finns det två former av itererade gränser, nämligen

$\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_ {n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ .

Låt till exempel $f_{n}:[0,1]\to \mathbf {R}$ så att

$f_{n}(x)=x^{n}$ .

Sedan

$\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to 1}f_{n}(x )=\lim _{n\to \infty }1^{n}=1$ , och

$\lim _{x\ till 1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to 1}0=0$ .

Gränsen i x kan också tas vid oändlighet, dvs.

$\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty } f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ .

Observera att gränsen i n tas diskret, medan gränsen i x tas kontinuerligt.

Jämförelse med andra gränser i flera variabler

Detta avsnitt introducerar olika definitioner av gränser i två variabler. Dessa kan lätt generaliseras till flera variabler.

Begränsning av sekvens

För en dubbelsekvens ${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} } ,$ finns det en annan definition av limit , som vanligtvis kallas dubbelgräns , betecknar med

$L=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m }$ ,

vilket betyder att för alla $\epsilon >0$ finns det $N=N(\epsilon )\in \mathbf {N}$ så att $n,m>N$ innebär $\left|a_{n,m}-L\right|<\epsilon$ .

Följande teorem anger förhållandet mellan dubbelgräns och itererade gränser.

Sats 1 . Om $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$ finns och är lika med L , $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}$ finns för varje stor m , och $\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ finns för varje stort n , sedan $\lim _{m\to \infty }\ lim _{n\to \infty }a_{n,m}$ och $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \ infty }a_{n,m}$ finns också, och de är lika med L , dvs

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{ m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$ .

Till exempel, låt

$a_{n,m}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}$ .

Eftersom $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}= 0$ , $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{m}}$ och ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }={\frac {1}{n}}} ,$ vi har

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_ {n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=0$ .

Denna sats kräver de enskilda gränserna $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}$ och $\lim _{ m\to \infty }a_{n,m}$ för att konvergera. Detta villkor kan inte släppas. Tänk till exempel

$a_{n,m}=(-1)^{m}\left({\frac {1}{n}}+{ \frac {1}{m}}\right)$ .

Då får vi se det

$\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \ end{smallmatrix}}a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=0$ ,

men $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ finns inte.

Detta beror på att $\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ inte existerar i första hand.

Funktionsgräns

För en funktion med två variabler ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} } ,$ finns det två andra typer av gränser . En är den vanliga gränsen , betecknad med

$L=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ ,

vilket betyder att för alla $\epsilon >0$ finns det $\delta =\delta (\epsilon )>0$ så att $0<{\sqrt {(xa)^{2}+(yb)^{2}}}<\delta$ antyder $\left|f(x,y)-L\right|<\epsilon$ .

denna gräns ska existera kan f ( x , y ) göras så nära L som önskas längs varje möjlig väg som närmar sig punkten ( a , b ). I denna definition är punkten ( a , b ) exkluderad från banorna. Därför påverkar inte värdet av f i punkten ( a , b ), även om det är definierat, gränsen.

Den andra typen är den dubbla gränsen , betecknad med

$L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y )$ ,

vilket betyder att för alla $\epsilon >0$ finns det $\delta =\delta (\epsilon )>0$ så att $0<\left|xa\right|<\delta$ och $0<\left|yb\right|<\delta$ innebär $\left|f(x,y)-L\right|<\epsilon$ .

För att denna gräns ska existera kan f ( x , y ) göras så nära L som önskas längs varje möjlig väg som närmar sig punkten ( a , b ), förutom linjerna x = a och y = b . Med andra ord, värdet på f längs linjerna x = a och y = b påverkar inte gränsen. Detta skiljer sig från den vanliga gränsen där endast punkten ( a , b ) exkluderas. I denna mening är vanlig gräns ett starkare begrepp än dubbel gräns:

Sats 2 . Om $\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ finns och är lika med L , sedan $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$ existerar och är lika med L , dvs

$\lim _{\begin{smallmatrix }x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ .

Båda dessa gränser innebär inte att man först tar en gräns och sedan en annan. Detta står i kontrast till itererade gränser där begränsningsprocessen tas i x -riktningen först och sedan i y -riktningen (eller i omvänd ordning).

Följande teorem anger förhållandet mellan dubbelgräns och itererade gränser:

Sats 3 . Om $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$ finns och är lika med L , $\lim _{x\to a}f(x,y)$ finns för varje y nära b , och $\lim _{y\to b}f(x,y)$ finns för varje x nära a , sedan $\lim _{x \to a}\lim _{y\to b}f(x,y)$ och $\lim _{y\to b}\lim _ {x\to a}f(x,y)$ finns också, och de är lika med L , dvs

$\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\ till b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$ .

Till exempel, låt

$f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\ \0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}$ .

Eftersom $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=1$ , $\lim _{x\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\ text{för}}\quad y\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad y=0\end{cases}}$ och $\lim _{y\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad x=0\end{cases}}$ , vi har

$\lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f( x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1$ .

(Observera att i detta exempel, $\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ existerar inte.)

Detta teorem kräver de enskilda gränserna $\lim _{x\to a}f(x,y)$ och $\ lim _{y\to b}f(x,y)$ existerar. Detta villkor kan inte släppas. Tänk till exempel

$f(x,y)=x\sin \left({\frac {1}{y}}\right)$ .

Då får vi se det

$\lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{ smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0$ ,

men $\lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)$ finns inte.

Detta beror på att $\lim _{y\to 0}f(x,y)$ inte existerar för x nära 0 i första hand.

Genom att kombinera sats 2 och 3 har vi följande följd:

Följd 3.1 . Om $\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ finns och är lika med L , $\lim _{x\to a}f(x,y)$ finns för varje y nära b , och ${\ displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$ finns för varje x nära a , sedan $\lim _{x\to a }\lim _{y\to b}f(x,y)$ och $\lim _{y\to b}\lim _{x\ till a}f(x,y)$ finns också, och de är lika med L , dvs

$\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{ y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ .

Begränsning vid oändlighet av funktion

För en tvåvariabel funktion ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} } ,$ kan vi också definiera den dubbla gränsen vid oändlighet

$L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x ,y)$ ,

vilket betyder att för alla $\epsilon >0$ finns det $M=M(\epsilon )>0$ så att $x>M$ och $y>M$ innebär $\left|f(x,y)-L\right|<\epsilon$ .

Liknande definitioner kan ges för gränser vid negativ oändlighet.

Följande sats anger förhållandet mellan dubbel gräns i oändligheten och itererade gränser i oändlighet:

Sats 4 . Om $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)$ finns och är lika med L , $\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ finns för varje stort y , och $\lim _{y\to \infty }f(x,y)$ finns för varje stort x , sedan $\lim _ {x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)$ och $\lim _{y\to \ infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ finns också, och de är lika med L , dvs

$\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y )=\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)$ .

Till exempel, låt

$f(x,y)={\frac {x\sin y}{xy+y}}$ .

Eftersom $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}(x,y)= 0$ , $\lim _{x\to \infty }f(x,y)={\frac {\sin y}{y}}$ och ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)=0} ,$ vi har

$\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0$ .

Återigen kräver denna sats de enskilda gränserna $\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ och ${ \displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$ finns. Detta villkor kan inte släppas. Tänk till exempel

$f(x,y)={\frac {\cos x}{y}}$ .

Då får vi se det

$\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\ till \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0$ ,

men $\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ finns inte.

Detta beror på att $\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ inte existerar för fix y i första hand.

Ogiltiga konverser av satserna

Motsatserna till satser 1, 3 och 4 håller inte, dvs existensen av itererade gränser, även om de är lika, antyder inte existensen av den dubbla gränsen. Ett motexempel är

$f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}$

nära punkten (0, 0). Å ena sidan,

$\lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x ,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0$ .

Å andra sidan, den dubbla gränsen $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f (x,y)$ finns inte. Detta kan ses genom att ta gränsen längs vägen ( x , y ) = ( t , t ) → (0,0), vilket ger

$\lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t\to 0\end{ smallmatrix}}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1} {2}}$ ,

och längs vägen ( x , y ) = ( t , t ² ) → (0,0), vilket ger

$\lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t^{2}\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t^{2})=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{3}}{t^{2}+t^{4}} }=0$ .

Moore-Osgood-satsen för utbyte av gränser

I exemplen ovan kan vi se att växlingsgränser kan eller inte kan ge samma resultat. Ett tillräckligt villkor för utbyte av gränser ges av Moore-Osgood-satsen . Kärnan i utbytbarheten beror på enhetlig konvergens .

Växlande gränser för sekvenser

Följande teorem tillåter oss att byta två gränser för sekvenser.

Sats 5 . Om $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=b_{m}$ jämnt (i m ), och $\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=c_{n}$ för varje stort n , sedan både $\lim _{ m\to \infty }b_{m}$ och $\lim _{n\to \infty }c_{n}$ finns och är lika med den dubbla gränsen, dvs

$\lim _{m\to \infty }\lim _ {n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix} n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$ .

Bevis . Genom den enhetliga konvergensen finns det för alla $\epsilon >0$$N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N}$ så att för alla $m\in \mathbf {N}$ , $n,k>N_{1}$ innebär $\left|a_{n,m}-a_{k,m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Som $m\to \infty$ , har vi ${\displaystyle \left|c_{n}-c_{k}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}} , vilket betyder att$ c $\displaystyle c_{n}}$ är en Cauchy sekvens som konvergerar till en gräns $L$ . Dessutom, som $k\to \infty$ , har vi $\left|c_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Å andra sidan, om vi tar $k\to \infty$ först, har vi $\left|a_{n,m}-b_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Genom punktvis konvergens, för alla $\epsilon >0$ och $n>N_{1}$ , finns det $N_{2 }(\epsilon ,n)\in \mathbf {N}$ så att $m>N_{2}$ innebär $\left|a_{n,m}-c_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Sedan för det fasta $n$ , $m>N_{2}$ innebär $\left|b_{m}-L\right|\leq \left|b_{m}-a_{n,m}\right|+\left|a_{n,m}-c_{n }\right|+\left|c_{n}-L\right|\leq \epsilon$ .

Detta bevisar att $\lim _{m\to \infty }b_{m}=L=\lim _{n\to \infty }c_{ n}$ .

Dessutom, genom att ta $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ser vi att denna gräns också är lika med $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$ .

En följd handlar om utbytbarheten av oändlig summa .

Följd 5.1 . Om $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}$ konvergerar enhetligt (i m ), och $\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}$ konvergerar för varje stort n , sedan $\sum _{m=1}^{\infty }\summa _{n=1}^{\infty }a_{n,m}=\summa _{n =1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}$ .

Bevis . Direkt tillämpning av sats 5 på $S_{k,\ell }=\sum _{m=1}^{k}\summa _{n=1}^{\ell }a_{n,m}$ .

Växlande gränser för funktioner

Liknande resultat gäller för multivariabla funktioner.

Sats 6 . Om $\lim _{x\to a}f(x,y)=g(y)$ jämnt (i y ) på $Y\setminus \{b\}$ , och $\lim _{y\to b}f(x,y)=h (x)$ för varje x nära a , sedan både $\lim _{y\to b}g(y)$ och $\ lim _{x\to a}h(x)$ finns och är lika med dubbelgränsen, dvs

$\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x \to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y )$ .

A och b här kan möjligen vara oändligt .

Bevis . Med den enhetliga gränsen för existens, för alla $\epsilon >0$ finns det $\delta _{1}(\epsilon )>0$ så att för alla $y\in Y\setminus \{b\}$ , $0<\left|xa\right|<\delta _{1}$ och $0<\left|wa\right|<\delta _{1}$ innebär $\left|f(x,y)-f(w,y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Som $y\to b$ , har vi $\left|h(x)-h(w)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ . Enligt Cauchy-kriteriet existerar ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)} och är lika$ med ett tal $L$ . Dessutom, som $w\to a$ , har vi $\left|h(x)-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Å andra sidan, om vi tar $w\to a$ först, har vi $\left|f(x,y)-g(y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Genom att det finns en punktvis gräns, för alla $\epsilon >0$ och $x$ nära $a$ , finns det $\delta _ {2}(\epsilon ,x)>0$ så att $0<\left|yb\right|<\delta _{2}$ innebär $\left|f(x,y)-h(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Sedan för det fasta $x$ , $0<\left|yb\right|<\delta _{2}$ innebär $\left|g(y)-L\right|\leq \left|g(y)-f(x,y)\right|+\left|f(x,y)-h(x )\höger|+\vänster|h(x)-L\höger|\leq \epsilon$ .

Detta bevisar att $\lim _{y\to b}g(y)=L=\lim _{x\to a} h(x)$ .

Genom att ta $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ ser vi att denna gräns också är lika med $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$ .

Observera att denna sats inte antyder existensen av $\lim _{(x,y)\to (a,b)}f( x,y)$ . Ett motexempel är $f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}$ nära (0,0).

Växlande gränser för sekvenser av funktioner

En viktig variant av Moore-Osgood-satsen är specifikt för sekvenser av funktioner.

Sats 7 . Om $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ jämnt (i x ) på $X\setminus \{a\}$ , och $\lim _{x\to a}f_{n}(x)=L_{ n}$ för varje stort n , sedan både $\lim _{x\to a}f(x)$ och $\lim _{n \to \infty }L_{n}$ finns och är lika, dvs

$\lim _ {n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ .

A-et här kan möjligen vara oändligt.

Bevis . Genom den enhetliga konvergensen, för alla $\epsilon >0$ finns det $N(\epsilon )\in \mathbf {N}$ så att för alla $x\in D\setminus \{a\}$ , $n,m>N$ innebär $\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Som $x\to a$ har vi ${\displaystyle \left|L_{n}-L_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}} , vilket betyder att$ L $\displaystyle L_{n}}$ är en Cauchy sekvens som konvergerar till en gräns $L$ . Dessutom, som $m\to \infty$ , har vi $\left|L_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Å andra sidan, om vi tar $m\to \infty$ först, har vi $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Genom att det finns en punktvis gräns, för alla $\epsilon >0$ och $n>N$ , finns det $\delta (\epsilon ,n )>0$ så att $0<\left|xa\right|<\delta$ innebär $\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$ .

Sedan för det fasta $n$ , $0<\left|xa\right|<\delta$ innebär $\left|f(x)-L\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-L_ {n}\right|+\left|L_{n}-L\right|\leq \epsilon$ .

Detta bevisar att $\lim _{x\to a}f(x)=L=\lim _{n\to \infty }L_ {n}$ .

En följd är kontinuitetsteoremet för enhetlig konvergens enligt följande:

Följd 7.1 . Om $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ jämnt (i x ) på ${\ displaystyle X}$ , och $f_{n}(x)$ är kontinuerliga vid $x=a\in X$ , sedan $f( x)$ är också kontinuerlig vid $x=a$ .

Med andra ord är den enhetliga gränsen för kontinuerliga funktioner kontinuerlig.

Bevis . Enligt sats 7, $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\ lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=f(a)$ .

En annan följd handlar om utbytbarheten mellan gräns och oändlig summa .

Följd 7.2 . Om $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$ konvergerar enhetligt (i x ) på $X \setminus \{a\}$ , och $\lim _{x\to a}f_{n}(x)$ finns för varje stort n , sedan $\lim _{x\to a}\summa _{n=0}^{\infty }f_{ n}(x)=\summa _{n=0}^{\infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)$ .

Bevis . Direkt tillämpning av sats 7 på $S_{k}(x)=\summa _{n=0}^{k}f_{n}(x )$ nära $x=a$ .

Ansökningar

Summan av oändliga poster i en matris

Betrakta en matris av oändliga poster

${\begin{bmatrix}1&-1&0&0&\cdots \\0&1&-1&0&\cdots \&\cdots \&\cdots vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$ .

Anta att vi skulle vilja hitta summan av alla poster. Om vi ​​summerar det kolumn för kolumn först, kommer vi att finna att den första kolumnen ger 1, medan alla andra ger 0. Därför är summan av alla kolumner 1. Men om vi summerar det rad för rad först, kommer den att finna att alla rader ger 0. Därför är summan av alla rader 0.

Förklaringen till denna paradox är att den vertikala summan till oändligheten och den horisontella summan till oändligheten är två begränsande processer som inte kan utbytas. Låt $S_{n,m}$ vara summan av poster upp till poster ( n , m ). Då har vi $\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }S_{n,m}=1$ , men $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }S_{n,m}=0$ . I detta fall, den dubbla gränsen $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}S_{ n,m}$ existerar inte, och därför är detta problem inte väldefinierat.

Integration över obegränsat intervall

Genom integrationssatsen för enhetlig konvergens , när vi väl har $konvergerar {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ enhetligt på $X$ , gränsen i n och en integration över ett begränsat intervall $[a,b]\subseteq X$ kan bytas ut:

$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{ b}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x$ .

En sådan egenskap kan dock misslyckas för en felaktig integral över ett obegränsat intervall $[a,\infty )\subseteq X$ . I det här fallet kan man lita på Moore-Osgood-satsen.

Betrakta $L=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^ {2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {x^{2} }{e^{x}-1}}\mathrm {d} x$ som ett exempel.

Vi expanderar först integranden som ${\frac {x^{2}}{e^ {x}-1}}={\frac {x^{2}e^{-x}}{1-e^{-x}}}=\summa _{k=0}^{\infty }x ^{2}e^{-kx}$ för $x\in [0,\infty )$ . (Här x =0 ett begränsningsfall.)

Man kan bevisa genom kalkyl att för $x\in [0,\infty )$ och $k\geq 1$ har vi $x^{2}e^{-kx}\leq {\frac {4}{e^{2}k^{2}}}$ . Enligt Weierstrass M-test konvergerar $\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}$ enhetligt på $[0,\infty )$ .

Sedan genom integrationssatsen för enhetlig konvergens, ${\ displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm { d} x=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x}$ .

För att ytterligare byta ut gränsen $\lim _{b\to \infty }$ med den oändliga summeringen $\sum _{k=0}^{\infty$ } Moore-Osgood-satsen kräver att den oändliga serien är enhetligt konvergent.

Observera att $\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx }\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x={\frac {2}{k^{3} }}$ . Återigen, genom Weierstrass M-test, $\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2 }e^{-kx}$ konvergerar enhetligt på $[0,\infty )$ .

Sedan enligt Moore-Osgoods sats, $L=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2} e^{-kx}=\summa _{k=0}^{\infty }\lim _{b\to \infty}\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx }=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{k^{3}}}=2\zeta (3)$ . (Här är Riemann zeta-funktionen .)

Se även

• Gräns ​​för en sekvens
• Gräns ​​för en funktion
• Enhetlig konvergens
• Utbyte av begränsande operationer