Tannerys teorem

I matematisk analys ger Tannerys teorem tillräckliga förutsättningar för utbyte av gränsen och oändliga summeringsoperationer . Den är uppkallad efter Jules Tannery .

Påstående

Låt ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(n)} och anta$ att $\lim _{n\to \infty }a_{k}(n)=b_{k}$ . Om $|a_{k}(n)|\leq M_{k}$ och $\sum _{k=0}^{\infty }M_{k }<\infty$ , sedan $\lim _{n\to \infty }S_{n}=\summa _{k=0}^{\infty }b_{k}$ .

Bevis

Tannerys sats följer direkt av Lebesgues dominerade konvergenssats tillämpad på sekvensutrymmet $\ell ^{1}$ .

Ett elementärt bevis kan också ges.

Exempel

Tannerys sats kan användas för att bevisa att binomialgränsen och de oändliga seriekarakteriseringarna för exponentialen $e^{x}$ är ekvivalenta. Anteckna det

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{ k=0}^{n}{n \välj k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}.$

Definiera $a_{k}(n)={n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}$ . Vi har det ${\displaystyle |a_{k}(n)|\leq {\frac {|x|^{k}}{k!}}} och$ att ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x|}<\infty } , alltså Tannery$ 's teorem kan tillämpas och

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}} =\summa _{k=0}^{\infty }\lim _{n\to \infty }{n \välj k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=\ summa _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}.$

externa länkar

• Generaliseringar av Tannery's Theorem