Symmetrisk produkt av en algebraisk kurva

I matematik är den n -faldiga symmetriska produkten av en algebraisk kurva C kvotutrymmet för den n -faldiga kartesiska produkten

C × C × ... × C

eller Cn genom gruppverkan av den symmetriska gruppen Sn _på n bokstäver ^som permuterar faktorerna. Den existerar som en jämn algebraisk variant betecknad med Σ ⁿ C . Om C är en kompakt Riemann-yta ^är Σn C därför ett komplext grenrör . Dess intresse i förhållande till kurvornas klassiska geometri är att dess punkter motsvarar effektiva divisorer på C av grad n , det vill säga formella summor av punkter med icke-negativa heltalskoefficienter.

För C den projektiva linjen (säg Riemann-sfären $\mathbb {C}$ ∪ {∞} ≈ S ² ), dess n:te symmetriska produkt Σ ⁿ C kan identifieras med komplext projektivt utrymme $\ mathbb {CP} ^{n}$ av dimension n .

Om G har släktet g ≥ 1 så är Σ ⁿ C nära besläktade med den jakobiska varianten J av C . Mer exakt för n med värden upp till g bildar de en sekvens av approximationer till J underifrån: deras bilder i J under addition på J (se theta-divisor ) har dimension n och fyller upp J , med vissa identifieringar orsakade av speciella divisorer .

För g = n har vi Σ ^g C faktiskt birationellt ekvivalent med J ; Jacobian är en nedblåsning av den symmetriska produkten. Det betyder att på nivån av funktionsfält är det möjligt att konstruera J genom att ta linjärt disjunkta kopior av funktionsfältet för C , och inom deras sammansättning ta det fasta underfältet av den symmetriska gruppen. Detta är källan till André Weils teknik att konstruera J som en abstrakt variation från "birational data". Andra sätt att konstruera J , till exempel som en Picard-variant , är att föredra nu, men det betyder att för alla rationella funktioner F på C

F ( x ₁ ) + ... + F ( x _g )

är vettigt som en rationell funktion på J , för x _i håller sig borta från polerna på F.

För n > g avbildningen från Σ ⁿ C till J genom addition av fibrer det över J ; när n är tillräckligt stort (runt två gånger g ) blir detta ett projektivt rymdknippe ( Picard-knippet ) . Det har studerats i detalj, till exempel av Kempf och Mukai.

Betti-tal och Euler-karaktäristiken för den symmetriska produkten

Låt C vara en jämn projektiv kurva av släktet g över de komplexa talen C . Betti -talen b _i (Σ ⁿ C) för de symmetriska produkterna Σ ⁿ C för alla n = 0, 1, 2, ... ges av genereringsfunktionen

$\sum _ {n=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{2n}b_{i}(\Sigma ^{n}C)y^{n}u^{in}={\frac { (1+y)^{2g}}{(1-uy)(1-u^{-1}y)}}$

och deras Eulerkarakteristika e (ΣnC ⁾ ges av genereringsfunktionen

$\sum _{n=0}^{\infty }e(\Sigma ^{n}C)p^{n}=(1-p)^{2g-2}.$

Här har vi satt u = -1 och y = - p i föregående formel.

Anteckningar

•   Macdonald, IG (1962), "Symmetric products of an algebraic curve", Topology , 1 (4): 319–343, doi : 10.1016/0040-9383(62)90019-8 , MR 0151460
•   Anderson, Greg W. (2002), "Abeliants and their application to an elementary construction of Jacobians", Advances in Mathematics , 172 (2): 169–205, arXiv : math/0112321 , doi : 10.1016/S0001-8708 )00024-5 , MR 1942403