Linjärt osammanhängande

I matematik sägs algebrorna A , B över ett fält k inuti någon fältförlängning $\Omega$ av k vara linjärt disjunkta över k om följande ekvivalenta villkor är uppfyllda :

• (i) Kartan $A\otimes _{k}B\to AB$ inducerad av $(x,y)\mapsto xy$ är injektiv .
• (ii) Varje k - bas för A förblir linjärt oberoende av B .
• (iii) Om $u_{i},v_{j}$ är k -baser för A , B , då produkterna $u_{i}v_{j}$ är linjärt oberoende över k .

Observera att eftersom varje subalgebra av $\Omega$ är en domän , antyder (i) att $A\otimes _{k}B$ är en domän (särskilt reducerad ). Omvänt om A och B är fält och antingen A eller B är en algebraisk förlängning av k och $A\otimes _{k}B$ är en domän så är det ett fält och A och B är linjärt disjunkta . Det finns dock exempel där $A\otimes _{k}B$ är en domän men A och B inte är linjärt disjunkta: till exempel A = B = k ( t ), fältet för rationell fungerar över k .

Man har också: A , B är linjärt disjunkta över k om och endast om delfält av $\Omega$ genererade av $A,B$ , resp. är linjärt disjunkta över k . (jfr Tensorprodukt av fält )

Antag att A , B är linjärt disjunkta över k . Om $A'\subset A$ , $B'\subset B$ är subalgebror, då är $A'$ och $B'$ linjärt disjunkt över k . Omvänt, om några ändligt genererade subalgebror av algebran A , B är linjärt disjunkta, då är A , B linjärt disjunkta (eftersom villkoret endast involverar ändliga uppsättningar av element.)

Se även

• Tensorprodukt av fält

• P.M. Cohn (2003). Grundläggande algebra