Spåra ojämlikhet

Inom matematiken finns det många typer av ojämlikheter som involverar matriser och linjära operatorer på Hilbert-rum . Den här artikeln täcker några viktiga operatorojämlikheter kopplade till spår av matriser.

Grundläggande definitioner

Låt $\mathbf {H} _{n}$ beteckna utrymmet för Hermitian $n\ gånger n$ matriser, $\mathbf {H} _{n}^ {+}$ betecknar mängden som består av positiva halvdefinita $n\times n$ hermitiska matriser och $\mathbf {H} _{n}^{++}$ betecknar uppsättningen av positiva bestämda hermitiska matriser. För operatorer på ett oändligt dimensionellt Hilbert-utrymme kräver vi att de är spårklass och självadjoint , i vilket fall liknande definitioner gäller, men vi diskuterar bara matriser för enkelhetens skull.

För valfri funktion med verkligt värde $f$ på ett intervall $I\subseteq \mathbb {R} ,$ kan man definiera en matrisfunktion $f(A)$ för valfri operator $A\in \mathbf {H} _{n}$ med egenvärden $\lambda$ i $I$ genom att definiera den på egenvärdena och motsvarande projektorer ${ \displaystyle P}$ som

$$f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,$$

givet den spektrala nedbrytningen $A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.$

Operatör monoton

Huvudartikel: Operator monoton funktion

En funktion $f:I\to \mathbb {R}$ definierad på ett intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ sägs vara operator monoton om för alla $n,$ och alla $A,B\in \mathbf {H} _{n}$ med egenvärden i $I,$ gäller följande,

$$A\geq B\implicerar f(A)\geq f(B),$$

där olikheten $A\geq B$ betyder att operatorn $AB\geq 0$ är positiv semidefinitiv. Man kan kontrollera att $f(A)=A^{2}$ i själva verket inte är operator monoton!

Operatör konvex

En funktion $f:I\to \mathbb {R}$ sägs vara operatorkonvex om för alla $n$ och alla $A,B \in \mathbf {H} _{n}$ med egenvärden i $I,$ och $0<\lambda <1$ , följande gäller

$$f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).$$

Observera att operatorn $\lambda A+(1-\lambda )B$ har egenvärden i $I,$ eftersom $A$ och $B$ har egenvärden i $I.$

En funktion $f$ är operatorn konkav om $-f$ är operatorn konvex;=, det vill säga olikheten ovan för $f$ är omvänd.

Ledkonvexitet

En funktion $g:I\times J\to \mathbb {R} ,$ definierade på intervall $I,J\subseteq \mathbb {R}$ sägs vara gemensamt konvex om för alla $n$ och alla $A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}$ med egenvärden i $I$ och alla $B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}$ med egenvärden i $J,$ och valfri $0\leq \lambda \leq 1$ gäller följande

$$g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})~\leq ~\lambda g(A_ {1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).$$

En funktion $g$ är gemensamt konkav om − $g$ är gemensamt konvex, dvs. olikheten ovan för $g$ är omvänd.

Spårningsfunktion

Givet en funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ ges den associerade spårfunktionen på $\mathbf {H} _{n}$ förbi

$$A\mapsto \operatörsnamn {Tr} f(A)=\summa _{j}f(\lambda _{j}),$$

där $A$ har egenvärden $\lambda$ och $\operatorname {Tr}$ står för ett spår av operatorn.

Konvexitet och monotoni hos spårfunktionen

Låt f : ℝ → ℝ vara kontinuerlig, och låt n vara vilket heltal som helst. Sedan, om $t\mapsto f(t)$ är monotont ökande, så ökar också $A\mapsto \operatörsnamn {Tr} f(A)$ på H _n .

På samma sätt, om $t\mapsto f(t)$ är konvex , så är $A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)$ på samma sätt H _n , och den är strikt konvex om f är strikt konvex.

Se bevis och diskussion i t.ex.

Löwner–Heinz teorem

För ${\displaystyle -1\leq p\leq 0} är$ funktionen $f(t)=-t^{p}$ operator monoton och operator konkav .

För ${\displaystyle 0\leq p\leq 1} är$ funktionen $f(t)=t^{p}$ operator monoton och operator konkav.

För ${\displaystyle 1\leq p\leq 2} är$ funktionen $f(t)=t^{p}$ operatorkonvex. Dessutom,

$f(t)=\log(t)$ är operatorkonkav och operator monoton, medan

$f(t) =t\log(t)$ är operatorn konvex.

Det ursprungliga beviset för denna sats beror på K. Löwner som gav ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att f ska vara operator monoton. Ett elementärt bevis för satsen diskuteras i och en mer allmän version av den i.

Kleins ojämlikhet

För alla hermitiska n × n matriser A och B och alla differentierbara konvexa funktioner f : ℝ → ℝ med derivata f ' , eller för alla positivdefinita hermitiska n × n matriser A och B , och alla differentierbara konvexa funktioner f :(0, ∞) → ℝ, följande ojämlikhet gäller,

$\operatörsnamn {Tr} [f(A)-f(B)-(AB)f'(B)]\geq 0~.$

I båda fallen, om f är strikt konvex, gäller likhet om och endast om A = B . Ett populärt val i applikationer är f ( t ) = t log t , se nedan.

Bevis

Låt $C=AB$ så att, för $\displaystyle t\in (0,1)}$ ,

$B+tC=(1-t)B+tA$ ,

varierar från $B$ till $A$ .

Definiera

$F(t)=\operatörsnamn {Tr} [f(B+tC)]$ .

Genom konvexitet och monotoni hos spårfunktioner är $F(t)}$$t\in (0,1)$ konvex, och så för alla ,

$F(0)+t(F(1)-F(0))\geq F(t)$ ,

vilket är,

$F(1)-F(0)\geq {\frac {F(t)-F(0)}{t}}$ ,

och i själva verket är den högra sidan monoton avtagande i $t$ .

Att ta gränsen $t\to 0$ ger,

$F(1)-F(0)\geq F'(0)$ ,

vilket med omarrangemang och substitution är Kleins ojämlikhet:

$\mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(AB)f'( B)]\geq 0$

Observera att om $f(t)$ är strikt konvex och $C\neq 0$ , så är $F(t)$ strikt konvex. Det sista påståendet följer av detta och det faktum att ${\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}$ är monotont avtagande i $t$ .

Golden–Thompson ojämlikhet

Huvudartikel: Golden–Thompson ojämlikhet

1965 upptäckte S. Golden och CJ Thompson det oberoende av varandra

För alla matriser $A,B\in \mathbf {H} _{n}$ ,

$\operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.$

Denna olikhet kan generaliseras för tre operatorer: för icke-negativa operatorer $A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}$ ,

$\operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatörsnamn {Tr} A(B+t)^{-1 }C(B+t)^{-1}\,\operatörsnamn {d} t.$

Peierls–Bogoliubov ojämlikhet

Låt $R,F\in \mathbf {H} _{n}$ vara sådan att Tr e ^R = 1. Definiera g = Tr Fe ^R , har vi

$\operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.$

Beviset för denna ojämlikhet följer av ovanstående i kombination med Kleins ojämlikhet . Ta f ( x ) = exp( x ), A = R + F , och B = R + gI .

Gibbs variationsprincip

Låt $H$ vara en självadjoint operator så att $e^{-H}$ är spårklass . Sedan för alla $\gamma \geq 0$ med $\operatorname {Tr} \gamma =1,$

$\operatorname {Tr} \gamma H+\operatörsnamn {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatörsnamn {Tr} e^{-H},$

med likhet om och endast om $\gamma =\exp(-H)/\operatörsnamn {Tr} \exp(-H).$

Liebs konkavitetssats

Följande teorem bevisades av EH Lieb i. Det bevisar och generaliserar en gissning av EP Wigner, MM Yanase och FJ Dyson. Sex år senare gavs andra bevis av T. Ando och B. Simon, och flera fler har givits sedan dess.

För alla $m\times n$ matriser $K$ , och alla $q$ och $r$ så att $0\leq q\ leq 1$ och $0\leq r\leq 1$ , med $q+r\leq 1$ den reellt värderade kartan på ${\ displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}} ges$ av

$F(A,B,K)=\operatörsnamn {Tr} (K^{*}A^{q}KB^ {r})$

• är gemensamt konkav i $(A,B)$
• är konvex i $K$ .

Här står ${\displaystyle K^{*}} för$ adjointoperatorn för $K.$

Liebs teorem

För en fast hermitisk matris ${\displaystyle L\in \mathbf {H} _{n}} ,$ funktionen

$f(A)=\operatörsnamn {Tr} \exp\{L+\ln A\}$

är konkav på $\mathbf {H} _{n}^{++}$ .

Satsen och beviset beror på EH Lieb, Thm 6, där han får denna sats som en följd av Liebs konkavitetssats. Det mest direkta beviset beror på H. Epstein; se MB Ruskai papers, för en genomgång av detta argument.

Andos konvexitetssats

T. Andos bevis på Liebs konkavitetsteorem ledde till följande betydande komplement till den:

För alla $m\times n$ matriser $K$ , och alla $1\leq q\leq 2$ och $0\leq r\leq 1$ med $qr\geq 1$ , den reellt värderade kartan på $\mathbf {H} _{m}^{++ }\times \mathbf {H} _{n}^{++}$ ges av

$(A,B)\mapsto \operatörsnamn {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r} )$

är konvex.

Gemensam konvexitet av relativ entropi

För två operatorer $A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}$ definiera följande karta

$R(A\parallel B):=\operatörsnamn {Tr} (A\log A)-\operatörsnamn {Tr} (A\log B).$

För densitetsmatriser $\rho$ och $\sigma$ , kartan $R(\rho \parallel \sigma )=S(\ rho \parallel \sigma )$ är Umegakis relativa kvantentropi .

Observera att icke-negativiteten för $R(A\parallel B)$ följer av Kleins olikhet med $f(t)=t\log t$ .

Påstående

Kartan $R(A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{++}\times \mathbf { H} _{n}^{++}\rightarrow \mathbf {R}$ är gemensamt konvex.

Bevis

För alla $0<p<1$$} (B^ {1-p}A^{p})}$ Ap är gemensamt konkav, enligt Liebs konkavitetssats , och därmed

${\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}($

är konvex. Men

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 1}{\frac$

och konvexiteten bevaras i gränsen.

Beviset beror på G. Lindblad.

Jensens operatör och spåra ojämlikheter

Operatörsversionen av Jensens ojämlikhet beror på C. Davis.

En kontinuerlig, reell funktion $f$ på ett intervall $I$ uppfyller Jensens Operator Inequality om följande gäller

$f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k }A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},$

för operatorer $\{A_{k}\}_{k}$ med $\sum _{k}A_{k}^{*} A_{k}=1$ och för självtillslutande operatorer $\{X_{k}\}_{k}$ med spektrum på $I$ .

Se för bevis för följande två satser.

Jensens spår av ojämlikhet

Låt f vara en kontinuerlig funktion definierad på ett intervall I och låt m och n vara naturliga tal. Om f är konvex har vi då olikheten

$\operatörsnamn {Tr} {\ Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \ operatornamn {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}{\Bigr )},$

för alla ( X ₁ , ... , X _n ) självadjoinerande m × m matriser med spektra som ingår i I och alla ( A ₁ , ... , A _n ) av m × m matriser med

$\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.$

Omvänt, om ovanstående olikhet är uppfylld för vissa n och m , där n > 1, så är f konvex.

Jensens operatör ojämlikhet

För en kontinuerlig funktion $f$ definierad på ett intervall $I$ är följande villkor likvärdiga:

• $f$ är operatorn konvex.
• För varje naturligt tal $n$ har vi olikheten

$f{\Bigl (}\sum _{k=1}^ {n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{ k})A_{k},$

för alla $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ avgränsade, självtillslutande operatorer på ett godtyckligt Hilbert-utrymme ${\mathcal {H} }$ med spektra som ingår i $I$ och alla $(A_{1},\ldots ,A_{n})$ på ${\mathcal { H}}$ med $\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.$

• $f(V^{*}XV)\leq V^{*}f(X)V$ för varje isometri $V$ på ett oändligt dimensionellt Hilbertrum ${\mathcal {H}}$ och

varje självadjoint operator $X$ med spektrum i $I$ .

• $Pf(PXP+\lambda (1-P))P\leq Pf(X)P$ för varje projektion ${ \displaystyle P}$ på ett oändligt dimensionellt Hilbert-utrymme ${\mathcal {H}}$ , varje självtillslutande operator $X$ med spektrum i $I$ och varje $\lambda$ i $I$ .

Araki–Lieb–Trålande ojämlikhet

Ej att förväxla med ojämlikheten Lieb-Thirring .

EH Lieb och WE Thirring bevisade följande ojämlikhet 1976: För alla $A\geq 0,$$B\geq 0$ och $r\geq 1,$

$$\operatörsnamn {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatörsnamn {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).$$

År 1990 generaliserade H. Araki ovanstående olikhet till följande: För alla $A\geq 0,$$B\geq 0$ och $q\geq 0,$

$$\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatörsnamn { Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),$$

för $r\geq 1,$ och

$$\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r })^{q})~\leq ~\operatörsnamn {Tr} ((BAB)^{rq}),$$

för $0\leq r\leq 1.$

Det finns flera andra ojämlikheter som ligger nära Lieb-Thirring-olikheten, såsom följande: för alla $A\geq 0,$$B\geq 0$ och $\alpha \in [0,1],$

$$\operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B) ~\leq ~\operatörsnamn {Tr} (B^{2}AB^{2}),$$

och ännu mer allmänt: för alla $A\geq 0,$$B\geq 0,$$r\geq 1/2$ och $c\geq 0,$

$$\operatörsnamn {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatörsnamn {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+ 1})^{r}).$$

Ojämlikheten ovan generaliserar den föregående, vilket kan ses genom att byta ut $A$ mot $B^{2}$ och $B$ med ${\ displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}$ med $\alpha =2c/(2c+2)$ och använda cykliciteten för spåret, vilket leder till

$$\operatörsnamn {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha}B)^{r})~\leq ~\operatörsnamn {Tr} ((B^{2}AB^{ 2})^{r}).$$

Effros sats och dess förlängning

E. Effros bevisade följande teorem.

Om $f(x)$ är en operatorkonvex funktion, och $L$ och $R$ är kommuterande gränsade linjära operatorer, dvs. kommutatorn $[L,R]=LR-RL=0$ , perspektivet

$g(L,R):=f(LR^{-1})R$

är gemensamt konvex, dvs om $L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}$ och $\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}$$[L_{i},R_{i }]=0$ med (i=1,2), $0\leq \lambda \leq 1$ ,

$g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).$

Ebadian et al. senare utökade olikheten till fallet där $L$ och $R$ inte pendlar .

Von Neumanns spår ojämlikhet och relaterade resultat

Von Neumanns spårolikhet , uppkallad efter dess upphovsman John von Neumann , säger att för alla $n\times n$ komplexa matriser $A$ och $B$ med singulära värden $\alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}$ och $\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}$ respektive,

$$|\operatörsnamn {Tr} (AB)|~\leq ~\summa _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{ i}\,,$$

med likhet om och endast om $A$ och $B$ delar singulära vektorer.

En enkel följd av detta är följande resultat: För Hermitian $n\times n$ positiva semidefinita komplexa matriser $A$ och $B$ där nu egenvärdena sorteras minskande ( $a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$ och $b_ {1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$ respektive),

$$\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatörsnamn {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1 }^{n}a_{i}b_{i}\,.$$

Se även

• Lieb – Trålande ojämlikhet
• Schur-Horns sats – Karakteriserar diagonalen av en hermitisk matris med givna egenvärden
• Spåra identitet
• von Neumann entropi – Typ av entropi i kvantteorin

• Scholarpedia primära källa.