Lieb–Trålande ojämlikhet

Ej att förväxla med ojämlikheten Araki–Lieb–Thirring .

Inom matematik och fysik ger Lieb-Thirring-ojämlikheter en övre gräns för summorna av potenser för de negativa egenvärdena för en Schrödinger-operator i termer av potentialens integraler. De är uppkallade efter EH Lieb och WE Thirring .

Ojämlikheterna är användbara i studier av kvantmekanik och differentialekvationer och innebär, som en följd, en nedre gräns för den kinetiska energin hos $N$ kvantmekaniska partiklar som spelar en viktig roll i beviset på materiens stabilitet .

Uttalande av ojämlikheterna

För Schrödinger-operatorn $-\Delta +V(x)=-\nabla ^{2}+V(x)$ på ${\ displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ med realvärderad potential $V(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ talen $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq 0$ anger den (inte nödvändigtvis ändliga) sekvensen av negativa egenvärden. Sedan, för $\gamma$ och $n$ som uppfyller ett av villkoren

${\begin{aligned}\gamma \geq {\frac {1}{2}}&,\, n=1,\\\gamma >0&,\,n=2,\\\gamma \geq 0&,\,n\geq 3,\end{aligned}}$

det finns en konstant ${\displaystyle L_{\gamma ,n}} ,$ som endast beror på $\gamma$ och $n$ , så att

$\sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\leq L_{ \gamma ,n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{ n}x$

 

 

 

 

()

där $V(x)_{-}:=\max(-V(x),0)$ är den negativa delen av potentialen $V$ . Fallen $\gamma >1/2,n=1$ samt $\gamma >0,n\geq 2$ bevisades av EH Lieb och WE Thirring 1976 och användes i deras bevis på materiens stabilitet. I fallet $\gamma =0,n\geq 3$ är den vänstra sidan helt enkelt antalet negativa egenvärden, och bevis gavs oberoende av M. Cwikel, EH Lieb och GV Rozenbljum . Den resulterande $\gamma =0$ ojämlikheten kallas alltså även Cwikel–Lieb–Rosenbljum-bunden. Det återstående kritiska fallet $\gamma =1/2,n=1$ visade sig hålla av T. Weidl Villkoren för $\gamma$ och $n$ är nödvändiga och kan inte kopplas av.

Lieb–Trädande konstanter

Semiklassisk approximation

Lieb-Thirring-ojämlikheterna kan jämföras med den halvklassiska gränsen. Det klassiska fasrummet består av par $(p,x)\in \mathbb {R} ^{2n}.$ Identifiera momentumoperatorn $-\mathrm {i} \nabla$ med $p$ och anta att varje kvanttillstånd ingår i en volym $(2\pi )^{n}$ i det $2n$ -dimensionella fasutrymmet, den semi-klassiska approximationen

$\sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\approx {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big (}p^{2}+V(x){\big )}_{-} ^{\gamma }\mathrm {d} ^{n}p\mathrm {d} ^{n}x=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x$

härleds med konstanten

$L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }=(4\pi )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\Gamma (\gamma +1) }{\Gamma (\gamma +1+{\frac {n}{2}})}}\,.$

Medan den semi-klassiska approximationen inte behöver några antaganden på ${\displaystyle \gamma >0},$ gäller Lieb–Thirring-olikheterna endast för lämplig $\gamma$ .

Weylasymptotik och skarpa konstanter

Många resultat har publicerats om bästa möjliga konstant $L_{\gamma ,n}$ i ( 1 ) men detta problem är fortfarande delvis öppet. Den semiklassiska approximationen blir exakt i gränsen för stor koppling, det vill säga för potentialer $\beta V$ Weyl - asymptotikerna

$\lim _{ \beta \to \infty }{\frac {1}{\beta ^{\gamma +{\frac {n}{2}}}}}\mathrm {tr} (-\Delta +\beta V)_{ -}^{\gamma }=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma + {\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x$

håll. Detta innebär att $L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\leq L_{\gamma ,n}$ . Lieb och Thirring kunde visa att $L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ för $\gamma \geq 3/2,n=1$ . M. Aizenman och EH Lieb bevisade att för fast dimension $n$ förhållandet $L_{\gamma ,n}/L_{\gamma ,n}^{ \mathrm {cl} }$ är en monoton , icke-ökande funktion av $\gamma$ . Därefter ${\displaystyle L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }} också hålla$ för alla $n$ när $\gamma \geq 3/2$ av A. Laptev och T. Weidl. För $\gamma =1/2,\,n=1$ D. Hundertmark, EH Lieb och LE Thomas bevisade att den bästa konstanten ges av ${\displaystyle L_{1/2,1}=2L_{1/2,1}^{\mathrm {cl} }=$ .

Å andra sidan är det känt att $L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }<L_{\gamma ,n}$ för $1/2\leq \gamma <3/2,n=1$ och för $\gamma <1,d\geq 1$ . I det förra fallet antog Lieb och Thirring att den skarpa konstanten ges av

$L_{\gamma ,1}=2L_{\gamma ,1}^{\mathrm {cl} }\left({\frac {\gamma -{\frac {1}{2}}}{\gamma +{\frac {1}{2}}}}\right)^{\gamma -{\frac {1}{2}}}.$

Det mest kända värdet för den fysiskt relevanta konstanten $L_{1,3}$ är $\pi L_{1,3}^{\mathrm {cl } }/{\sqrt {3}}$ och den minsta kända konstanten i Cwikel–Lieb–Rosenbljum-olikheten är $6.869L_{0,n}^{\mathrm {cl} }$ . En fullständig översikt över de för närvarande mest kända värdena för $L_{\gamma ,n}$ finns i litteraturen.

Kinetiska energiojämlikheter

Lieb-Thirring-olikheten för $\gamma =1$ är ekvivalent med en nedre gräns för den kinetiska energin för en given normaliserad $N}$ displaystyle -partikelvågfunktion $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{Nn})$ i termer av enkroppstätheten. För en antisymmetrisk vågfunktion sådan att

$\psi (x_{ 1},\dots,x_{i},\dots,x_{j},\dots,x_{N})=-\psi (x_{1},\dots,x_{j},\dots,x_{ i},\dots ,x_{N})$

för alla ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N} ,$ definieras enkroppstätheten som

$\rho _{\psi }(x)=N\int _{\mathbb {R} ^{(N-1)n}}|\psi (x,x_{2}\dots ,x_{N })|^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{2}\cdots \mathrm {d} ^{n}x_{N},\,x\in \mathbb {R} ^{n} .$

Lieb–Thirring-olikheten ( 1 ) för $\gamma =1$ är ekvivalent med påståendet att

$\sum _{i=1}^{N}\int _{\mathbb {R} ^{n }}|\nabla _{i}\psi |^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{i}\geq K_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{ \rho _{\psi }(x)^{1+{\frac {2}{n}}}}\mathrm {d} ^{n}x$

 

 

 

 

()

där den skarpa konstanten $K_{n}$ definieras via

$\left(\left(1+{\frac {2}{n}}\right)K_{n}\right)^{1+{\frac {n}{2}}}\left(\ vänster(1+{\frac {n}{2}}\höger)L_{1,n}\höger)^{1+{\frac {2}{n}}}=1\,.$

Ojämlikheten kan utökas till partiklar med spinntillstånd genom att ersätta enkroppstätheten med den spinsummade enkroppstätheten. Konstanten $K_{n}$ måste då ersättas med $K_{n}/q^{2/n}$ där $q$ är antal kvantspinntillstånd tillgängliga för varje partikel ( $q=2$ för elektroner). Om vågfunktionen är symmetrisk, istället för antisymmetrisk, så att

$\psi (x_{1 },\dots,x_{i},\dots,x_{j},\dots,x_{n})=\psi (x_{1},\dots,x_{j},\dots,x_{i} ,\dots ,x_{n})$

för alla ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N} , måste$ konstanten $K_{n}$ ersättas med $K_{n}/N^{2/n}$ . Olikhet ( 2 ) beskriver den minsta kinetiska energi som krävs för att uppnå en given densitet $\rho _{\psi }$ med $N$ -partiklar i $n$ dimensioner. Om $L_{1,3}=L_{1,3}^{\mathrm {cl} }$ visade sig hålla, höger sida av ( 2 ) för $n=3$ vara exakt den kinetiska energitermen i Thomas–Fermi- teorin.

Ojämlikheten kan jämföras med Sobolev-ojämlikheten . M. Rumin härledde den kinetiska energiojämlikheten ( 2 ) (med en mindre konstant) direkt utan användning av Lieb-Thirring-ojämlikheten.

Materiens stabilitet

(för mer information, läs sidan för materiens stabilitet)

Den kinetiska energiojämlikheten spelar en viktig roll i beviset på materiens stabilitet som presenteras av Lieb och Thirring. Hamiltonianen under övervägande beskriver ett system av $N$ -partiklar med $q$ spinntillstånd och $M$ fixerade kärnor på platserna $\displaystyle R_{j}\in \ mathbb {R} ^{3}}$ { med laddningar $Z_{j}>0$ . Partiklarna och kärnorna interagerar med varandra genom den elektrostatiska Coulomb-kraften och ett godtyckligt magnetfält kan införas. Om partiklarna i fråga är fermioner (dvs. vågfunktionen $\psi$ är antisymmetrisk), så gäller den kinetiska energiojämlikheten ( 2 ) med konstanten $K_{n}/ q^{2/n}$ (inte ${\displaystyle K_{n}/N^{2/n}} )$ . Detta är en avgörande ingrediens i beviset på materiens stabilitet för ett system av fermioner. Den säkerställer att grundtillståndsenergin $E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})$ för kan begränsas underifrån med en konstant som endast beror på det maximala antalet kärnladdningar, ${\displaystyle Z_{\max }} ,$ gånger antalet partiklar,

$E_{N,M}(Z_{1},\dots,Z_{M})\geq -C(Z_{\max })(M+N)\,.$

Systemet är då stabilt av det första slaget eftersom marktillståndsenergin är avgränsat underifrån och även stabilt av det andra slaget, dvs energin av minskar linjärt med antalet partiklar och kärnor. I jämförelse, om partiklarna antas vara bosoner (dvs. vågfunktionen $\psi$ är symmetrisk), så gäller den kinetiska energiojämlikheten ( 2 ) endast med konstanten $K_{n}/N^{2/n}$ och för grundtillståndsenergin gäller endast en gräns av formen $displaystyle -CN^{5/3}}$ . Eftersom kraften $5/3$ kan visas vara optimal, är ett system av bosoner stabilt av det första slaget men instabilt av det andra

Generaliseringar

Om Laplacian $-\Delta =-\nabla ^{2}$ ersätts med $(\mathrm {i} \nabla +A (x))^{2}$ , där $A(x)$ är en magnetfältsvektorpotential i $\mathbb {R} ^{n},$ Lieb– Tröttande ojämlikhet ( 1 ) förblir sann. Beviset för detta påstående använder den diamagnetiska olikheten . Även om alla för närvarande kända konstanter $L_{\gamma ,n}$ förblir oförändrade, är det inte känt om detta är sant i allmänhet för bästa möjliga konstant.

Laplacian kan också ersättas av andra potenser av $-\Delta$ . Speciellt för operatorn ${\displaystyle {\sqrt {-\Delta }}} gäller$ en Lieb–Thirring-olikhet som liknar ( $L_{\gamma ,n}$ ) med en annan konstant och med strömmen på höger sida ersatt av $\gamma +n$ . Analogt gäller en kinetisk ojämlikhet liknande ( 2 ), med $1+2/n$ ersatt av $1+1/n$ , som kan användas för att bevisa stabilitet av materia för den relativistiska Schrödinger-operatorn under ytterligare antaganden om avgifterna $Z_{k}$ .

$) {\displaystyle [0,\infty ) }$ Lieb–Thirring-olikheten ( 1 ) en gräns för avstånden för egenvärdena $\lambda _{j}$ till det väsentliga spektrumet i termer av störningen $V$ . Liknande ojämlikheter kan bevisas för Jacobi-operatörer .

Litteratur

•   Lieb, EH; Seiringer, R. (2010). Materiens stabilitet i kvantmekaniken (1:a upplagan). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521191180 .
•   Hundertmark, D. (2007). "Några bundna tillståndsproblem inom kvantmekaniken". I Fritz Gesztesy; Percy Deift; Cherie Galvez; Peter Perry; Wilhelm Schlag (red.). Spectral Theory and Mathematical Physics: A Festschrift in Honor of Barry Simons 60th Birthday . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 76. Providence, RI: American Mathematical Society. s. 463–496. Bibcode : 2007stmp.conf..463H . ISBN 978-0-8218-3783-2 .