Operatör monoton funktion

I linjär algebra är operatorn monoton funktion en viktig typ av verkligt värderad funktion , som först beskrevs av Charles Löwner 1934. Den är nära förbunden med operatorn konkava och operatorkonkava funktioner, och påträffas i operatorteorin och i matristeorin , och ledde till ojämlikheten mellan Löwner och Heinz.

Definition

Se även: Spåra ojämlikhet § Operatör monoton

En funktion $f:I\to \mathbb {R}$ definierad på ett intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ sägs vara operator monoton om närhelst ${ \displaystyle A}$ och $B$ är hermitiska matriser (av valfri storlek/dimension) vars egenvärden alla tillhör domänen av $f$ och vars skillnad $AB$ är en positiv semi -definitiv matris , då nödvändigtvis $f(A)-f(B)\geq 0$ där $f(A)$ och $f(B)$ är värdena för matrisfunktionen inducerade av $f$ (som är matriser av samma storlek som $A$ och $B$ ).

Notation

Denna definition uttrycks ofta med den notation som nu definieras. Skriv $A\geq 0$ för att indikera att en matris $A$ är positiv semidefinitiv och skriv $A\geq B$ för att indikera att skillnaden ${\ displaystyle AB}$ av två matriser $A$ och $B$ uppfyller $AB\geq 0$ (det vill säga $AB$ är positiv semidefinitiv) .

Med $f:I\to \mathbb {R}$ och $A$ som i satsens påstående, värdet av matrisfunktionen $f(A)$ är matrisen (av samma storlek som $A$ ) definierad i termer av dess $A$ s spektralupplösning $A=\summa _{j }\lambda _{j}P_{j}$ av

$$f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,$$

där $\lambda _{j}$ är egenvärdena för $A$ med motsvarande projektorer $P_{j}.$

Definitionen av en monoton operatörsfunktion kan nu omarbetas som:

En funktion $f:I\to \mathbb {R}$ definierad på ett intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ sägs vara operator monoton if (och endast om ) för alla positiva heltal $n,$ och alla $n\times n$ Hermitiska matriser $A$ och $B$ med egenvärden i $I ,$ om $A\geq B$ så $f(A)\geq f(B).$

Se även

• Matrisfunktion – Funktion som mappar matriser till matriser Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Spåra ojämlikhet – ojämlikheter som involverar linjära operatorer på Hilbert-utrymmen Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv

Vidare läsning

•   Schilling, R.; Song, R.; Vondraček, Z. (2010). Bernstein fungerar. Teori och tillämpningar . Studier i matematik. Vol. 37. de Gruyter, Berlin. doi : 10.1515/9783110215311 . ISBN 9783110215311 .
•   Hansen, Frank (2013). "Det snabba spåret till Löwners sats". Linjär algebra och dess tillämpningar . 438 (11): 4557–4571. arXiv : 1112.0098 . doi : 10.1016/j.laa.2013.01.022 . S2CID 119607318 .
• Chansangiam, Pattrawut (2015). "En undersökning om operatörsmonotonicitet, operatörskonvexitet och operatörsmedel" . International Journal of Analysis . 2015 : 1–8. doi : 10.1155/2015/649839 .