Golden–Thompson ojämlikhet

Inom fysik och matematik är Golden -Thompson-ojämlikheten ett spår av olikhet mellan exponentialer av symmetriska och hermitiska matriser som bevisats oberoende av Golden (1965) och Thompson (1965) . Det har utvecklats inom ramen för statistisk mekanik , där det har kommit att ha en särskild betydelse.

Påstående

Golden-Thompson-ojämlikheten säger att för (verkliga) symmetriska eller (komplexa) hermitiska matriser A och B gäller följande spårolikhet :

$\operatörsnamn {tr} \,e^{A+B}\leq \operatörsnamn {tr} \left(e^{A}e^{B}\right).$

Denna ojämlikhet är väl definierad, eftersom kvantiteterna på båda sidor är reella tal. För uttrycket på höger sida av olikheten kan detta ses genom att skriva om det som $\operatorname {tr} (e^{A/2}e ^{B}e^{A/2})$ med den cykliska egenskapen för spåret .

Motivering

Golden-Thompson-ojämlikheten kan ses som en generalisering av ett starkare uttalande för reella tal. Om a och b är två reella tal, så är exponentialen för a+b produkten av exponentialen för a med exponentialen för b :

$e^{a+b}=e^{a}e^{b}.$

Om vi ​​ersätter a och b med pendlingsmatriserna A och B , så gäller samma olikhet ${\displaystyle e^{A+B}=e^{A}e^{B}}.$

Detta förhållande är inte sant om A och B inte pendlar. Faktum är att Petz (1994) bevisade att om A och B är två hermitiska matriser för vilka Golden-Thompson-olikheten verifieras som en likhet, så pendlar de två matriserna. Olikheten mellan Golden och Thompson visar att även om $e^{A+B}$ och $e^{A}e^{B}$ inte är lika, så är de fortfarande förknippad med en ojämlikhet.

Generaliseringar

Golden-Thompson-ojämlikheten generaliserar till varje enhetligt invariant norm. Om A och B är hermitiska matriser och $\|\cdot \|$ är en enhetligt invariant norm, då

$\|e^{A+B}\|\leq \|e^{A/2}e^{B}e^{A/2}\|.$

Standarden Golden–Thompson-olikheten är ett specialfall av ovanstående olikhet, där normen är Schatten-normen med $p=1$ . Eftersom $e^{A+B}$ och $e^{A/2}e^{B}e^{A/2}$ är båda positiva semidefinita matriser , $\operatorname {tr} (e^{A+B})=\|e^{A+B}\ |_{1}$ och $\operatorname {tr} (e^{A/2 }e^{B}e^{A/2})=\|e^{A/2}e^{B}e^{A/2}\|_{1}$ .

Ojämlikheten har generaliserats till tre matriser av Lieb (1973) och vidare till vilket godtyckligt antal hermitiska matriser som helst av Sutter, Berta & Tomamichel (2016) . Ett naivt försök till generalisering fungerar inte: ojämlikheten

$\operatörsnamn {tr} (e^{A+B+C})\leq |\operatörsnamn {tr} (e^{A}e^{B}e^{C})|$

är falskt. För tre matriser tar den korrekta generaliseringen följande form:

$\operatörsnamn {tr} \,e^{A+B+C}\leq \operatörsnamn {tr} \left( e^{A}{\mathcal {T}}_{e^{-B}}e^{C}\right),$

där operatorn ${\mathcal {T}}_{f}$ är derivatan av matrislogaritmen som ges av ${\mathcal {T}}_{f}(g)=\int _{0}^{\infty }\operatörsnamn {d} t\,(f+t)^{- 1}g(f+t)^{-1}$ . Observera att om $f$ och $g$ pendlar , så ${\mathcal {T}}_{f}(g)=gf^ {-1}$ , och olikheten för tre matriser reduceras till originalet från Golden och Thompson.

Bertram Kostant ( 1973 ) använde Kostants konvexitetssats för att generalisera Golden-Thompson-ojämlikheten till alla kompakta Lie-grupper.

•    Bhatia, Rajendra (1997), Matrisanalys , Graduate Texts in Mathematics, vol. 169, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0653-8 , ISBN 978-0-387-94846-1 , MR 1477662
• Cohen, JE; Friedland, S.; Kato, T.; Kelly, F. (1982), "Eigenvalue inequalities for products of matrix exponentials", Linear Algebra and Its Applications , 45 : 55–95, doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7
•   Golden, Sidney (1965), "Lower bounds for the Helmholtz function", Phys. Rev. , Series II, 137 (4B): B1127–B1128, Bibcode : 1965PhRv..137.1127G , doi : 10.1103/PhysRev.137.B1127 , MR 0189691
•    Kostant, Bertram (1973), "Om konvexitet, Weyl-gruppen och Iwasawa-nedbrytningen" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 413–455, doi : 10.24033/asens.1254 , ISSN . 0012-9593 , MR 0364552
• Lieb, Elliott H (1973), "Convex trace functions and the Wigner-Yanase-Dyson conjecture" , Advances in Mathematics , 11 (3): 267–288, doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X
• Petz, D. (1994), A survey of trace inequalities, in Functional Analysis and Operator Theory (PDF) , vol. 30, Warszawa: Banach Center Publications, s. 287–298
•   Sutter, David; Berta, Mario; Tomamichel, Marco (2016), "Multivariate Trace Inequalities", Communications in Mathematical Physics , 352 (1): 37–58, arXiv : 1604.03023 , Bibcode : 2017CMaPh.352...37S , doi : 207-100/2017/8 -5 , S2CID 12081784
•    Thompson, Colin J. (1965), "Inequality with applications in statistical mechanics", Journal of Mathematical Physics , 6 (11): 1812–1813, Bibcode : 1965JMP.....6.1812T , doi : 10.1063/1.72 , IS70 0022-2488 , MR 0189688

externa länkar

• Tao, T. (2010), The Golden–Thompson ojämlikhet
•   Forrester, Peter J; Thompson, Colin J (2014). "The Golden-Thompson ojämlikhet --- historiska aspekter och slumpmässiga matrisapplikationer". Journal of Mathematical Physics . 55 (2): 023503. arXiv : 1408.2008 . Bibcode : 2014JMP....55b3503F . doi : 10.1063/1.4863477 . S2CID 119676709 .