Hopp lemma

Inom matematiken anger Hopf -lemmat , uppkallat efter Eberhard Hopf , att om en kontinuerlig verkligt värderad funktion i en domän i det euklidiska rummet med tillräckligt jämn gräns är harmonisk i det inre och värdet av funktionen vid en punkt på gränsen är större än värdena på närliggande punkter inuti domänen, så är derivatan av funktionen i riktning mot den utåtriktade normalen strikt positiv. Lemmat är ett viktigt verktyg i bevisningen av maximiprincipen och i teorin om partiella differentialekvationer . Hopf-lemmat har generaliserats för att beskriva beteendet hos lösningen på ett elliptiskt problem när det närmar sig en punkt på gränsen där dess maximum uppnås.

I det speciella fallet med Laplacian hade Hopf-lemmat upptäckts av Stanisław Zaremba 1910. I den mer allmänna miljön för elliptiska ekvationer hittades det oberoende av Hopf och Olga Oleinik 1952, även om Oleiniks verk inte är så allmänt känt som Hopf's i västerländska länder. Det finns även tillägg som tillåter domäner med hörn.

Uttalande för harmoniska funktioner

Låt Ω vara en avgränsad domän i R ⁿ med jämn gräns. Låt f vara en reellt värderad funktion som är kontinuerlig vid slutningen av Ω och harmonisk på Ω. Om x är en gränspunkt så att f ( x ) > f ( y ) för alla y i Ω tillräckligt nära x , då den (ensidiga) riktningsderivatan av f i riktning mot den utåtriktade normalen till gränsen vid x är strikt positivt.

Bevis för harmoniska funktioner

Om man subtraherar en konstant kan man anta att f ( x ) = 0 och f är strikt negativ vid inre punkter nära x . Eftersom gränsen för Ω är jämn finns det en liten kula i Ω vars stängning är tangent till gränsen vid x och skär gränsen endast vid x . Det räcker då att kontrollera resultatet med Ω ersatt av denna boll. Skalning och översättning räcker det att kontrollera resultatet för enhetskulan i R ⁿ , förutsatt att f ( x ) är noll för någon enhetsvektor x och f ( y ) < 0 om | y | < 1.

Genom Harnacks ojämlikhet tillämpas på − f

\displaystyle {-f(rx)\geq -{1-r \over (1+r)^{ n-1}}f(0),}

för r < 1. Därav

\displaystyle {{f(x)-f(rx) \over 1-r}={-f(rx) \over 1-r}\geq -{1 \over (1+r)^{n- 1}}f(0)>-{f(0) \över 2^{n-1}}>0.}

Därför begränsas riktningsderivatan vid x nedanför av den strikt positiva konstanten på höger sida.

Allmän diskussion

Betrakta en andra ordningens, enhetligt elliptisk operator av formuläret

Lu=a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u,\qquad x\in \Omega .

Här är $\Omega$ en öppen, avgränsad delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ .

Den svaga maximiprincipen säger att en lösning av ekvationen $Lu=0$ i $\Omega$ uppnår sitt maximala värde vid stängningen ${\overline {\Omega }$ någon gång på gränsen $\partial \Omega$ . Låt $x_{0}\in \partial \Omega$ vara en sådan punkt, då nödvändigtvis

{\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})\geq 0,

där $\partial /\partial \nu$ anger den yttre normalderivatan . Detta är helt enkelt en konsekvens av det faktum att $u(x)$ måste vara icke-minskande när $x$ närmar sig $x_{0}$ . Hopf Lemma stärker denna observation genom att bevisa att vi, under milda antaganden om $\Omega$ och $L$ , har

{\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0.

Ett exakt uttalande av Lemma är följande. Antag att $\Omega$ är ett begränsat område i $\mathbb {R} ^{2}$ och låt $L$ vara operatorn som beskrivs ovan. Låt $u$ vara av klass $C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }} )$ och tillfredsställer differentialolikheten

Lu\geq 0,\qquad {\textrm {in}}~\Omega .

Låt $x_{0}\in \partial \Omega$ ges så att $0\leq u(x_{0} )=\max _{x\in {\overline {\Omega }}}u(x)$ . Om (i) $\Omega$ är $C^{2}$ vid $x_{0}$ , och (ii) $c\leq 0$ , då antingen är $u$ en konstant, eller ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0} ,$ där $\nu$ är den utåtriktade enhetens normala, enligt ovan.

Ovanstående resultat kan generaliseras i flera avseenden. Regularitetsantagandet på $\Omega$ kan ersättas med ett inre bollvillkor: lemmat gäller förutsatt att det finns en öppen boll $B\subset \Omega$ med $x_{0}\in \partial B$ . Det är också möjligt att överväga funktioner $c$ som har positiva värden, förutsatt att $u(x_{0})=0$ . För bevis och annan diskussion, se referenserna nedan.

Se även

Hopp maximal princip

Evans, Lawrence (2000), Partiella differentialekvationer , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0772-2
Fraenkel, LE (2000), An Introduction to Maximum Principles and Symmetry in Elliptic Problems , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-461955
Krantz, Steven G. (2005), Geometric Function Theory: Explorations in Complex Analysis , Springer, s. 127–128, ISBN 0817643397
Taylor, Michael E. (2011), Partiella differentialekvationer I. Basic theory , Applied Mathematical Sciences, vol. 115 (2nd ed.), Springer, ISBN 9781441970541 (Hopf-lemmat hänvisas till som "Zarembas princip" av Taylor.)

externa länkar