Tillbakadragare

I matematik kan atttraktorn för ett slumpmässigt dynamiskt system löst betraktas som en uppsättning till vilken systemet utvecklas efter tillräckligt lång tid . Grundidén är densamma som för ett deterministiskt dynamiskt system , men kräver noggrann behandling eftersom slumpmässiga dynamiska system nödvändigtvis är icke- autonoma . Detta kräver att man överväger begreppet en pullback-attraktion eller attraktion i pullback-bemärkelse .

Upplägg och motivation

Betrakta ett slumpmässigt dynamiskt system $\varphi$ på ett fullständigt separerbart metriskt utrymme $(X,d)$ , där bruset väljs från ett sannolikhetsutrymme ${ \displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ med basflöde $\vartheta :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega$ .

En naiv definition av en attraktion ${\mathcal {A}}$ för detta slumpmässiga dynamiska system skulle vara att kräva att för varje initialtillstånd $x_{0}\in X$ , $\varphi (t,\omega )x_{0}\to {\mathcal {A}}$ som $t\to +\infty$ . Denna definition är alldeles för begränsad, särskilt i dimensioner högre än en. En mer rimlig definition, som bygger på idén om en omega-gränsuppsättning , skulle vara att säga att en punkt $a\in X$ ligger i atttraktorn ${\mathcal {A}}$ om och bara om det finns ett initialvillkor, $x_{0}\in X$ , och det finns en sekvens av gånger $t_{n}\to +\infty$ Så att

$d\left(\varphi (t_{n},\omega )x_{0},a\right)\to 0$ som ${ \displaystyle n\to \infty }$ .

Detta är inte alltför långt ifrån en fungerande definition. Vi har dock ännu inte beaktat effekten av bruset $\omega$ , vilket gör systemet icke-autonomt (dvs. det beror explicit på tid). Av tekniska skäl blir det nödvändigt att göra följande: istället för att se $t$ sekunder in i "framtiden", och betrakta gränsen som $t\to +\infty$ , en " spolar tillbaka" bruset $t$ sekunder in i "det förflutna", och utvecklar systemet genom $t$ sekunder med samma initiala tillstånd. Det vill säga att man är intresserad av pullback-gränsen

$\lim _{t\to +\infty }\varphi (t,\vartheta _{-t}\omega )$ .

Så, till exempel, i pullback-bemärkelsen, är omega-gränsen för en (möjligen slumpmässig) mängd $B(\omega )\subseteq X$ den slumpmässiga mängden

$\Omega _{B}(\omega ):=\left\{x\in X\left|\exists t_{n}\to +\infty ,\exists b_{n}\in B(\vartheta _{-t_{n}}\omega )\mathrm {\,st\,} \varphi (t_{n},\vartheta _{-t_{n}}\omega )b_{n}\to x\mathrm {\,as\,} n\to \infty \right.\right\}.$

På motsvarande sätt kan detta skrivas som

$\Omega _{B}(\omega )=\bigcap _{t\geq 0}{\overline {\bigcup _{s\geq t}\varphi (s,\vartheta _{-s}\omega )B(\vartheta _{-s}\omega )}}.$

Viktigt, i fallet med ett deterministiskt dynamiskt system (ett utan brus), sammanfaller pullback-gränsen med den deterministiska framåtgränsen, så det är meningsfullt att jämföra deterministiska och slumpmässiga omega-gränsuppsättningar, attraktionsfaktorer och så vidare.

Flera exempel på pullback-attraktorer för icke-autonoma dynamiska system presenteras analytiskt och numeriskt.

Definition

Pullbackattraktorn (eller slumpmässig global attraktion ) ${A}}(\omega )}$ mathcal för ett slumpmässigt dynamiskt system är en $\mathbb {P}$ - nästan säkert unik slumpmässig ställ så att

1. ${\mathcal {A}}(\omega )$ är en slumpmässig kompakt mängd : ${\mathcal {A}}(\omega )\subseteq X$ är nästan säkert kompakt och $\omega \mapsto \mathrm {avstånd} (x,{\mathcal {A}}(\omega ))$ är en $({\mathcal {F}},{\mathcal {B}}(X))$ - mätbar funktion för varje $x\in X$ ;
2. ${\mathcal {A}}(\omega )$ är invariant : för alla ${\displaystyle \varphi (t ,\omega )({\mathcal {A}}(\omega ))={\mathcal {A}}(\vartheta _{t}\omega )} nästan säkert$ ;
3. ${\mathcal {A}}(\omega )$ är attraktiv : för alla deterministiska gränsade mängder $B\subseteq X$ ,

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\mathrm {avstånd} \left (\varphi (t,\vartheta _{-t}\omega )(B),{\mathcal {A}}(\omega )\right)=0} nästan säkert$ .

Det finns ett litet missbruk av notation i ovanstående: den första användningen av "dist" hänvisar till Hausdorff-halvavståndet från en punkt till en uppsättning,

$\mathrm {avstånd} (x,A):=\inf _{a\in A}d(x, a),$

Den andra användningen av "avstånd" hänvisar till Hausdorff-halvavståndet mellan två uppsättningar.

$\mathrm {avstånd} (B,A):=\sup _{b\in B}\inf _{a\in A}d(b,a).$

Som noterats i föregående avsnitt, i frånvaro av brus, sammanfaller denna definition av attraktion med den deterministiska definitionen av attraktionen som den minimala kompakta invarianta mängden som attraherar alla avgränsade deterministiska uppsättningar.

Satser som relaterar omega-gränsuppsättningar till atttraktorer

Attraktionen som en förening av omega-gränsuppsättningar

Om ett slumpmässigt dynamiskt system har en kompakt slumpmässigt absorberande uppsättning $K$ , så ges den slumpmässiga globala atttraktorn av

${\mathcal {A}}(\omega )={\overline {\bigcup _{B}\Omega _{B}(\omega )} },$

där unionen tas över alla avgränsade mängder $B\subseteq X$ .

Avgränsa attraktionen inom en deterministisk uppsättning

Crauel (1999) bevisade att om basflödet $\vartheta$ är ergodiskt och $D\subseteq X$ är en deterministisk kompakt mängd med

$\mathbb {P} \left({\mathcal {A}}(\cdot )\subseteq D\right)>0,$

då ${\mathcal {A}}(\omega )=\Omega _{D}(\omega )$$\mathbb {P}$ -nästan säkert .

• Crauel, H., Debussche, A., & Flandoli, F. (1997) Random attractors. Journal of Dynamics and differentialekvationer . 9 (2) 307–341.
• Crauel, H. (1999) Globala slumpmässiga atttraktorer bestäms unikt genom att attrahera deterministiska kompakta uppsättningar. Ann. Matta. Pura Appl. 4 176 57–72
• Chekroun, MD, E. Simonnet och M. Ghil , (2011). Stokastisk klimatdynamik: Slumpmässiga attraherande faktorer och tidsberoende invarianta mått. Physica D. 240 (21), 1685–1700.