Sinusformade planvågslösningar av den elektromagnetiska vågekvationen

Sinusformade planvågslösningar är speciella lösningar på den elektromagnetiska vågekvationen .

Den allmänna lösningen av den elektromagnetiska vågekvationen i homogena, linjära, tidsoberoende media kan skrivas som en linjär överlagring av plana vågor med olika frekvenser och polarisationer .

Behandlingen i den här artikeln är klassisk men på grund av generaliteten i Maxwells ekvationer för elektrodynamik kan behandlingen omvandlas till den kvantmekaniska behandlingen med endast en omtolkning av klassiska storheter (bortsett från den kvantmekaniska behandlingen som behövs för laddnings- och strömtätheter) .

Max Plancks teorier och Albert Einsteins tolkningar av dessa teorier och andra experiment. Kvantgeneraliseringen av den klassiska behandlingen kan hittas i artiklarna om fotonpolarisering och fotondynamik i dubbelslitsexperimentet.

Förklaring

Experimentellt kan varje ljussignal sönderdelas i ett spektrum av frekvenser och våglängder associerade med sinusformade lösningar av vågekvationen. Polariserande filter kan användas för att bryta ner ljus i dess olika polarisationskomponenter. Polarisationskomponenterna kan vara linjära , cirkulära eller elliptiska .

Plana vågor

Den plana sinusformade lösningen för en elektromagnetisk våg som rör sig i z-riktningen är

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}E_{x}^ {0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right )\\0\end{pmatrix}}=E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right){\hat {\mathbf {x} }}\ ;+\;E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right){\hat {\mathbf {y} }}$$

för det elektriska fältet och

$$c\,\mathbf {B} (\mathbf {r } ,t)={\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}-E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\0\ end{pmatrix}}=-E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right){\hat {\mathbf {x} }}\;+\; E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right){\hat {\mathbf {y} }}$$

för magnetfältet, där k är vågnumret ,

$$\omega =ck$$

$\omega$ är vågens vinkelfrekvens , och $c$ är ljusets hastighet . Hattarna på vektorerna indikerar enhetsvektorer i x-, y- och z-riktningarna. r = ( x , y , z ) är positionsvektorn (i meter).

Den plana vågen parametriseras av amplituderna

Elektromagnetisk strålning kan föreställas som en självutbredning transversell oscillerande våg av elektriska och magnetiska fält. Detta diagram visar en plan linjärt polariserad våg som fortplantar sig från höger till vänster. Magnetfältet (märkt M) är i ett horisontellt plan och det elektriska fältet (märkt E) är i ett vertikalt plan.

$$E_{x}^{0}=\left|\mathbf {E} \right|\cos \theta$$

$$E_{y}^{0}=\left|\mathbf {E} \right|\sin \theta$$

och faser

$$\alpha _{x},\alpha _{y}$$

var

$$\theta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \tan ^{-1}\left({E_{y}^{0} \over E_{x}^{0} }\höger).$$

och

$$\left|\mathbf {E} \right|^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(E_{x}^{0}\right)^{ 2}+\left(E_{y}^{0}\right)^{2}.$$

Polarisationstillståndsvektor

Huvudartikel: Jones kalkyl

Jones vektor

All polarisationsinformation kan reduceras till en enda vektor, kallad Jones-vektorn , i xy-planet. Denna vektor, även om den härrör från en rent klassisk behandling av polarisering, kan tolkas som en kvanttillståndsvektor . Sambandet med kvantmekanik görs i artikeln om fotonpolarisering .

Vektorn kommer ut från planvågslösningen. Den elektriska fältlösningen kan skrivas om i komplex notation som

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=|\mathbf {E} |\operatörsnamn {Re} \left[|\psi \rangle e^{i(kz-\omega t)}\right]$$

var

$$|\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def } }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{i \alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}$$

är Jones-vektorn i xy-planet. Notationen för denna vektor är bra–ket-notationen för Dirac , som normalt används i ett kvantsammanhang. Kvantnotationen används här i väntan på tolkningen av Jones-vektorn som en kvanttillståndsvektor.

Dual Jones vektor

Jones-vektorn har en dubbel given av

$$\langle \psi |\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}^{*}&\psi _{y}^{* }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{-i\alpha _{x}}&\sin(\theta )e^{-i\alpha _{y} }\end{pmatrix}}.$$

Normalisering av Jones vektorn

Linjär polarisering.

En Jones-vektor representerar en specifik våg med en specifik fas, amplitud och polarisationstillstånd. När man använder en Jones-vektor helt enkelt för att indikera ett polarisationstillstånd, är det vanligt att den normaliseras . Det kräver att den inre produkten av vektorn med sig själv är enhet:

$$\langle \psi |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}^{*}& \psi _{y}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}=1.$$

En godtycklig Jones-vektor kan helt enkelt skalas för att uppnå denna egenskap. Alla normaliserade Jones-vektorer representerar en våg med samma intensitet (inom ett speciellt isotropiskt medium). Även givet en normaliserad Jones-vektor kommer multiplikation med en ren fasfaktor att resultera i en annan normaliserad Jones-vektor som representerar samma polarisationstillstånd.

Polariseringstillstånd

Huvudartikel: Polarisation (vågor)

Elliptisk polarisering.

Linjär polarisering

Huvudartikel: Linjär polarisering

I allmänhet är vågen linjärt polariserad när fasvinklarna $\alpha _{x},\alpha _{y}$ är lika,

$$\alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .$$

Detta representerar en våg polariserad i en vinkel $\theta$ med avseende på x-axeln. I så fall kan Jones-vektorn skrivas

$$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}e^{i\alpha }.$$

Elliptisk och cirkulär polarisation

Huvudartikel: Elliptisk polarisering

Det allmänna fallet där det elektriska fältet inte är begränsat till en riktning utan roterar i x - y -planet kallas elliptisk polarisation . Tillståndsvektorn ges av

$$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^ {i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }{\begin{pmatrix}\cos (\theta )\\\sin(\theta )e^{i\Delta \alpha }\end{pmatrix}}.$$

I specialfallet $\Delta \alpha =0$ reduceras detta till linjär polarisering.

Cirkulär polarisation motsvarar specialfallen av $\theta =\pm \pi /4$ med $\Delta \alpha =\pi /2$ . De två cirkulära polarisationstillstånden ges således av Jones-vektorerna:

$$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }{\frac {1}{ \sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}.$$

Se även

• Fourier-serier
• Tvärläge
• Tvärgående våg
• Teoretisk och experimentell motivering för Schrödinger-ekvationen
• Maxwells ekvationer
• Elektromagnetisk vågekvation
• Matematiska beskrivningar av det elektromagnetiska fältet
• Polarisering från en atomär övergång: linjär och cirkulär

•   Jackson, John D. (1998). Klassisk elektrodynamik (3:e upplagan). Wiley. ISBN 0-471-30932-X .