Shephards lemma

Shephards lemma är ett viktigt resultat inom mikroekonomi som har tillämpningar i företagets teori och i konsumenternas val . Lemmat anger att om indifferenskurvor för utgifts- eller kostnadsfunktionen är konvexa , så är kostnadsminimeringspunkten för en given vara ( $\displaystyle i}$ { ) med pris $p_{i}$ unik. Tanken är att en konsument kommer att köpa en unik idealisk mängd av varje vara för att minimera priset för att få en viss nytta med tanke på priset på varor på marknaden .

Lemmat är uppkallat efter Ronald Shephard som gav ett bevis med avståndsformeln i sin bok Theory of Cost and Production Functions (Princeton University Press, 1953). Motsvarande resultat i kontexten av konsumentteori härleddes först av Lionel W. McKenzie 1957. Den anger att de partiella derivatorna av utgiftsfunktionen med avseende på priserna på varor är lika med Hicksianska efterfrågefunktioner för de relevanta varorna. Liknande resultat hade redan erhållits av John Hicks (1939) och Paul Samuelson (1947).

Definition

I konsumentteorin anger Shephards lemma att efterfrågan på en viss vara $i$ för en given nyttonivå $u$ och givna priser $\mathbf {p}$ , är lika med derivatan av utgiftsfunktionen med avseende på priset på den relevanta varan :

h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u )}{\partial p_{i}}}

där $h_{i}(\mathbf {p} ,u)$ är Hicksian efterfrågan på goda ${\displaystyle i} ,$ e $\displaystyle e(\ mathbf {p} ,u)}$ är utgiftsfunktionen , och båda funktionerna är i termer av priser (en vektor $\mathbf {p}$ ) och nytta $u$ .

På samma sätt, i teorin om företaget , ger lemmat en liknande formulering för den villkorade faktorn efterfrågan för varje insatsfaktor: derivatan av kostnadsfunktionen $c(\mathbf {w} ,y)$ med avseende på faktorpriset:

x_{i}(\mathbf {w} ,y)={\frac {\partial c(\mathbf {w} ,y )}{\partial w_{i}}}

där $x_{i}(\mathbf {w} ,y)$ är den villkorliga faktorn efterfrågan på input ${\displaystyle i} ,$ c $\displaystyle c( \mathbf {w} ,y)}$ är kostnadsfunktionen, och båda funktionerna är i termer av faktorpriser (en vektor $\mathbf {w}$ ) och utdata $y$ .

Även om Shephards originalbevis använde distansformeln, använder moderna bevis för Shephards lemma kuvertsatsen .

Bevis för det differentierbara fallet

Beviset anges för två-bra fall för att underlätta notationen. Utgiftsfunktionen $e(p_{1},p_{2},u)$ är värdefunktionen för det begränsade optimeringsproblemet som kännetecknas av följande Lagrangian:

{\mathcal {L}}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_ {2}+\lambda (uU(x_{1},x_{2}))

Genom enveloppsatsen derivatorna av värdefunktionen $e(p_{1},p_{2},u)$ med avseende på parametern $p_{ 1}$ är:

{\frac {\partial e}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}} {\partial p_{1}}}=x_{1}^{h}

där $x_{1}^{h}$ är minimeraren (dvs. Hicksian demand-funktionen för god 1). Detta fullbordar beviset.

Ansökan

Shephards lemma ger ett samband mellan utgifts- (eller kostnads-) funktioner och Hicksian efterfrågan. Lemmat kan återuttryckas som Roys identitet , vilket ger ett samband mellan en indirekt nyttofunktion och en motsvarande Marshallsk efterfrågefunktion .

Se även

Vidare läsning

Beavis, Brian; Dobbs, Ian M. (1990). "En introduktion till dualitetsteori" . Optimerings- och stabilitetsteori för ekonomisk analys . New York: Cambridge University Press. s. 117–133. ISBN 0-521-33605-8 .