Hotellings lemma

Hotellings lemma är ett resultat inom mikroekonomi som relaterar utbudet av en vara till producentens maximala vinst. Den visades först av Harold Hotelling och används flitigt i företagets teori .

Specifikt står det: Hastigheten för en ökning av maximerad vinst med avseende på en prisökning är lika med nettotillgången av varan. Med andra ord, om företaget gör sina val för att maximera vinsten, då kan valen återvinnas från kunskapen om den maximala vinstfunktionen.

Formellt uttalande

Låt $p$ beteckna ett variabelt pris, och $w$ vara en konstant kostnad för varje ingång. Låt $x:{\mathbb {R} ^{+}}\rightarrow X$ vara en mappning från priset till en uppsättning möjliga indataval $X\subset {\mathbb {R} ^{+}}$ . Låt $f:{\mathbb {R} ^{+}}\rightarrow {\mathbb {R} ^{+}}$ vara produktionsfunktionen och $y(p)\triangleq f(x(p))$ vara nettotillförseln.

Den maximala vinsten kan skrivas av

\pi (p)=\max _{x}p\cdot y(p)-w\cdot x(p).

Sedan anger lemmat att om vinsten $\pi$ är differentierbar vid $p$ , ges det maximerande nettotillgången av

y^{*}(p)={\frac {d\pi (p)}{dp}}.

Bevis för Hotellings lemma

Lemmat är en följd av kuvertsatsen .

Specifikt kan den maximala vinsten skrivas om till ${\displaystyle \pi (p,x^{*})= p\cdot f(x^{*}(p))-w\cdot x^{*}(p)} där$ x $\displaystyle x^{*}}$ är den maximerande ingången som motsvarar $y^{*}$ . På grund av optimaliteten ger första ordningens villkor

{\frac {\partial \pi }{\partial x}}{\bigg |}_{x=x^{*}}=0.

()

Genom att ta derivatan av $p$ vid $x^{*}$ ,

{\frac {d\pi }{dp}}={ \frac {\partial \pi }{\partial x}}{\bigg |}_{x=x^{*}}{\frac {\partial x}{\partial p}}+{\frac {\partial \pi }{\partial p}}={\frac {\partial \pi }{\partial p}}=f(x^{*}(p))=y^{*}(p)

där den andra jämlikheten beror på ( 1 ). QED

Tillämpning av Hotellings lemma

Betrakta följande exempel. Låt utdata $y$ ha pris $p$ och ingångar $x_{1}$ och $x_{2}$ har priser $w_{1}$ och $w_{2}$ . Antag att produktionsfunktionen är $y=x_{1}^{1/3}x_{2}^{1/3}$ . Den omaximerade vinstfunktionen är $\pi (p,w_{1},w_{2 },x_{1},x_{2})=py-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}$ . Från detta kan härledas de vinstmaximerande valen av insatsvaror och funktionen för maximerad vinst, en funktion bara av insats- och produktionspriserna, vilket är

$\pi (p,w_{1},w_{2})={\frac {1}{27}}{\ frac {p^{3}}{w_{1}w_{2}}}$

Hotellings Lemma säger att från funktionen för maximerad vinst kan vi hitta de vinstmaximerande valen av output och input genom att ta partiella derivator:

${\frac {\partial \pi (p,w_{1},w_{2})}{ \partial p}}=y={\frac {1}{9}}{\frac {p^{2}}{w_{1}w_{2}}}$

${\frac {\partial \pi (p,w_{1},w_{ 2})}{\partial w_{1}}}=-x_{1}=-{\frac {1}{27}}{\frac {p^{3}}{w_{1}^{2} w_{2}}}$

${\frac {\partial \pi (p,w_{1},w_{ 2})}{\partial w_{2}}}=-x_{2}=-{\frac {1}{27}}{\frac {p^{3}}{w_{1}w_{2} ^{2}}}$

Notera att Hotellings lemma ger nettotillgångarna , som är positiva för output och negativa för insatsvaror, eftersom vinsten stiger med produktionspriserna och faller med insatspriserna.

Kritik och empiri

En rad kritik har framförts när det gäller användningen och tillämpningen av Hotellings lemma i empiriskt arbete.

C. Robert Taylor påpekar att riktigheten i Hotellings lemma är beroende av att företaget maximerar vinsten, vilket innebär att det producerar vinstmaximerande produktion $y^{*}$ och kostnadsminimerande input $x^ {*}$ . Om ett företag inte producerar på dessa optima, så skulle Hotellings lemma inte hålla.

Se även

Hotelling, H. (1932). "Edgeworths skatteparadox och karaktären av efterfråge- och utbudsfunktioner". Journal of Political Economy . 40 (5): 577–616. doi : 10.1086/254387 . JSTOR 1822600 .
Sakai, Y. (1974). "Ersättnings- och expansionseffekter i produktionsteori: fallet med gemensam produktion". Journal of Economic Theory . 9 (3): 255–274. doi : 10.1016/0022-0531(74)90051-9 .
Takayama, A. (1985). Matematisk ekonomi . New York: Cambridge University Press. s. 141–144. ISBN 978-0-521-31498-5 .
Varian, H. (1992). Mikroekonomisk analys (3:e upplagan). New York: W.W Norton. s. 43–45 . ISBN 978-0-393-95735-8 .