Utgiftsfunktion

Inom mikroekonomi ger utgiftsfunktionen den minsta summa pengar en individ behöver spendera för att uppnå någon nytta, givet en nyttofunktion och priserna på de tillgängliga varorna.

Formellt, om det finns en hjälpfunktion $u$ som beskriver preferenser framför n varor, är utgiftsfunktionen

e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf { R}}\högerpil {\textbf {R}}

säger vilken summa pengar som behövs för att uppnå en nytta $u^{*}$ om de n priserna ges av prisvektorn $p$ . Denna funktion definieras av

e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})} p\cdot x

var

\geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+} ^{n}:u(x)\geq u^{*}\}

är mängden av alla buntar som ger nytta minst lika bra som $u^{*}$ .

Uttryckt på samma sätt, minimerar individen utgifter $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ med förbehåll för den minimala användbarhetsbegränsningen som $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ ger optimala kvantiteter att konsumera av de olika varorna som $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ som funktion av $u^{*}$ och priserna; då är utgiftsfunktionen

e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^ {*}.

Funktioner i utgiftsfunktioner

(Egenskaper för utgiftsfunktionen) Antag att u är en kontinuerlig nyttofunktion som representerar en lokalt icke-mättad preferensrelation º på Rn +. Då är e(p, u)

1. Homogen av grad ett i p: för alla och

\lambda

>0, $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$

2. Kontinuerlig i

p

och

u;

3. Icke-minskande i

p

och strikt ökande i

u

förutsatt

p\gg 0;

4. Konkav i

p

5. Om verktygsfunktionen är strikt kvasikonkav finns Shephards lemma

Bevis

(1) Som i ovanstående förslag, notera att

$e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^ {n}:u(x)\geq u}$ $\lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\ i \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $p\cdot x=\lambda e(p,u )$

(2) Fortsätt på domänen $e$ : ${\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\ högerpil {\textbf {R}}$

(3) Låt $p^{\prime }>p$ och anta $x\in h(p^{\prime },u)$ . Då $u(h)\geq u$ , och $e(p^{\prime },u) =p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x$ . Det följer omedelbart att $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$ .

För det andra påståendet, anta motsatsen att för vissa $u^{\prime }>u$ , ${\displaystyle e(p$ Än, för vissa $x\in h(p,u)$ , $u(x)=u^{\prime }>u$ , vilket motsäger slutsatsen "ingen överflödig nytta" i föregående proposition

(4) Låt $t\in (0,1)$ och anta $x\in h(tp+(1) -t)p^{\prime })$ . Sedan, $p\cdot x\geq e(p,u)$ och $p^{\prime } \cdot x\geq e(p^{\prime },u)$ , så $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ $te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$ .

(5) ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i }}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$

Utgifter och indirekt nytta

Utgiftsfunktionen är inversen av den indirekta nyttofunktionen när priserna hålls konstanta. Dvs för varje prisvektor $p$ och inkomstnivå $I$ :

e(p,v(p,I))\equiv I

Det finns ett dualitetsförhållande mellan utgiftsfunktion och nyttofunktion. Om det ges en specifik regelbunden kvasi-konkav nyttofunktion, är motsvarande pris homogent, och nyttan är monotont ökande utgiftsfunktion, omvänt är det givna priset homogent, och nyttan är monotont ökande utgiftsfunktion kommer att generera den vanliga kvasi-konkava nyttan fungera. Förutom egenskapen att priserna en gång är homogena och nyttan monotont ökar, antar utgiftsfunktionen vanligtvis

(1) är en icke-negativ funktion, dvs $E(P\cdot u)>O;$

(2) För P är det icke-minskande, dvs $E(p^{1}u )>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ ;

(3)E(Pu) är en konkav funktion. Det vill säga ${\displaystyle e(np^{l$ $O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}$

Utgiftsfunktion är en viktig teoretisk metod för att studera konsumentbeteende. Utgiftsfunktionen är mycket lik kostnadsfunktionen i produktionsteorin. Dubbelt med problemet med nyttomaximering är kostnadsminimeringsproblemet

Exempel

Antag att hjälpfunktionen är Cobb-Douglas-funktionen ${ .6}x_{2}^{.4},}$ som genererar efterfrågefunktionerna

x_{1}(p_{1} ,p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {och}}\;\;\;x_{2}(p_ {1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},

där $I$ är konsumentens inkomst. Ett sätt att hitta utgiftsfunktionen är att först hitta den indirekta nyttofunktionen och sedan invertera den. Den indirekta nyttofunktionen $v(p_{1},p_{2},I)$ hittas genom att ersätta kvantiteterna i nyttofunktionen med efterfrågefunktionerna så här:

v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6 }(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {. 4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}*.4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{ -.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,

där $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ Sedan eftersom $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2}, I))=I$ när konsumenten optimerar kan vi invertera den indirekta nyttofunktionen för att hitta utgiftsfunktionen:

e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_ {1}^{.6}p_{2}^{.4}u,

Alternativt kan utgiftsfunktionen hittas genom att lösa problemet med att minimera $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ med förbehåll för begränsningen $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ Detta ger villkorade efterfrågefunktioner $x_{1}^ {*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ och $x_{2}^{*}(p_{1 },p_{2},u^{*})$ och utgiftsfunktionen är därefter

e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_ {1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}

Se även

Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (2007). Mikroekonomisk teori . s. 59–60 . ISBN 0-19-510268-1 .
Mathis, Stephen A.; Koscianski, Janet (2002). Mikroekonomisk teori: ett integrerat tillvägagångssätt . Upper Saddle River: Prentice Hall. s. 132–133. ISBN 0-13-011418-9 .
Varian, Hal R. (1984). Mikroekonomisk analys (andra upplagan). New York: WW Norton. s. 121–123. ISBN 0-393-95282-7 .