Roys identitet

Roys identitet (uppkallad efter den franske ekonomen René Roy ) är ett viktigt resultat inom mikroekonomi som har tillämpningar i konsumentval och företagets teori . Lemma relaterar den vanliga (marshalliska) efterfrågefunktionen till derivatorna av den indirekta nyttofunktionen . Närmare bestämt, betecknar den indirekta nyttofunktionen som ${\displaystyle v(p,w),} kan$ den marshallska efterfrågefunktionen för god $i$ beräknas som

$x_{i}^{m}(p,w)=-{\frac {\frac {\partial v}{\ partiell p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}$

där $p$ är prisvektorn för varor och $w$ är inkomst .

Härledning av Roys identitet

Roys identitet omformulerar Shephards lemma för att få en marshallsk efterfrågefunktion för en individ och en vara ( $i$ ) från någon indirekt nyttofunktion.

Det första steget är att överväga den triviala identiteten som erhålls genom att ersätta utgiftsfunktionen med förmögenhet eller inkomst $w$ i den indirekta nyttofunktionen $v(p,w)$ , vid ett verktyg av $u$ :

$v(p,e(p,u))=u$

Detta säger att den indirekta nyttofunktionen utvärderad på ett sådant sätt att den minimerar kostnaden för att uppnå en viss nytta givet en uppsättning priser (en vektor ${\displaystyle p} )$ är lika med den nyttan när den utvärderas till dessa priser.

Att ta derivatan av båda sidor av denna ekvation med avseende på priset på en enda vara $p_{i}$ (med nyttonivån konstant) ger:

${\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p ,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0$ .

Omarrangering ger önskat resultat:

$-{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac { \partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}( p,u)=x_{i}(p,e(p,u))$

med den näst sista jämlikheten som följer av Shephards lemma och den sista jämlikheten från en grundläggande egenskap hos Hicksian efterfrågan .

Alternativt bevis med hjälp av kuvertsatsen

För enkelhets skull, överväg fallet med två varor. Den indirekta hjälpfunktionen $v(p_{1},p_{2},w)$ är värdefunktionen för det begränsade optimeringsproblemet som kännetecknas av följande Lagrangian:

${\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\ lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})$

Enligt enveloppsatsen är derivatorna av värdefunktionen $v(p_{1},p_{2},w)$ med avseende på parametrarna:

${\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}$

${\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda$

där $x_{1}^{m}$ är maximeraren (dvs. den marshallska efterfrågefunktionen för gott 1). Därav:

$-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac { \partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}$

Ansökan

Detta ger en metod för att härleda den marshallska efterfrågefunktionen för en vara för vissa konsumenter från den indirekta nyttofunktionen hos den konsumenten. Det är också grundläggande för att härleda Slutsky-ekvationen .

•   Roy, René (1947). "La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens". Econometrica . 15 (3): 205–225. JSTOR 1905479 .