Weber modulär funktion

I matematik är Webers modulära funktioner en familj av tre funktioner f , f ₁ och f ₂ , studerade av Heinrich Martin Weber .

Definition

Låt $q=e^{2\pi i\tau }$ där τ är ett element i det övre halvplanet . Då är Weber-funktionerna

${\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1+q^ {n-1/2})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}}=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {\eta {\big (}{\frac {\tau +1}{2}}{ \big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\ prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{ \eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{24}}\ prod _{n>0}(1+q^{n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end {Justerat}}$

Dessa är också definitionerna i Dukes papper "Fortsatta fraktioner och modulära funktioner" . Funktionen $\eta (\tau )$ är Dedekind eta-funktionen och $(e^{2\pi i\tau })^{\alpha }$ ska tolkas som $e^{2\pi i\tau \alpha }$ . Beskrivningarna som $\eta$ kvoter antyder omedelbart

${\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2 }}.$

Transformationen τ → –1/ τ fixerar f och byter ut f ₁ och f ₂ . Så det 3-dimensionella komplexa vektorrummet med basen f , f ₁ och f ₂ påverkas av gruppen SL ₂ ( Z ).

Alternativ oändlig produkt

Alternativt, låt $q=e^{\pi i\tau }$ vara nomen ,

${\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{ 2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\ tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q ^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\ mathfrak {f}}_{2}(q)&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{12}}\prod _{n>0}(1+q^{2n })={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}$

Formen på den oändliga produkten har ändrats något. Men eftersom eta-kvotienterna förblir desamma, då ${\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i }(q)$ så länge tvåan använder namnet $q=e^{\pi i\tau }$ . Nyttan med den andra formen är att visa samband och konsekvent notation med Ramanujan G- och g-funktionerna och Jacobi theta-funktionerna , som båda konventionellt använder nomen.

Relation till Ramanujan G- och g-funktionerna

Fortfarande använder nomen $q=e^{\pi i\tau }$ , definiera Ramanujan G- och g-funktionerna som

${\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^ {2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2 \tau )}},\\2^{1/4}g_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{ 2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}$

Eta-kvoterna gör sin koppling till de två första Weber-funktionerna omedelbart uppenbara. Antag i nomen $\tau ={\sqrt {-n}}.$ Sedan,

${\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&={\mathfrak {f}}(q)={\mathfrak {f}}(\tau ),\\2^{ 1/4}g_{n}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)={\mathfrak {f}}_{1}(\tau ).\end{aligned}}$

Ramanujan hittade många relationer mellan $G_{n}$ och $g_{n}$ vilket antyder liknande relationer mellan ${\mathfrak {f}}(q)$ och ${\mathfrak {f}}_{1}(q)$ . Till exempel hans identitet,

$(G_{n}^{8}-g_{n}^{8})(G_{n}\,g_ {n})^{8}={\tfrac {1}{4}},$

leder till

${\big [}{\mathfrak {f}}^{8}(q)-{\mathfrak {f}}_{1}^{8}(q){\big ]}{\big [ }{\mathfrak {f}}(q)\,{\mathfrak {f}}_{1}(q){\big ]}^{8}={\big [}{\sqrt {2}}{ \big ]}^{8}.$

För många värden på n tabellerade Ramanujan även $G_{n}$ för udda n , och $g_{n}$ för jämnt n . Detta ger automatiskt många explicita utvärderingar av ${\mathfrak {f}}(q)$ och ${\mathfrak {f}}_{1}(q)$ . Använd till exempel $\tau ={\sqrt {-5}},\,{\sqrt {-13}},\,{\sqrt {-37}}$ , som är några av de kvadratfria diskriminanterna med klass nummer 2,

${\begin{aligned}G_{5 }&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{13}&=\left({\frac {3 +{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{37}&=\left(6+{\sqrt {37}}\right)^{1/ 4},\end{aligned}}$

och man kan enkelt få ${\mathfrak {f}}(\tau )=2^{1/4}G_{n}$ från dessa, liksom mer komplicerade exempel som finns i Ramanujans anteckningsböcker.

Relation till Jacobi theta-funktioner

Argumentet för de klassiska Jacobi theta-funktionerna är traditionellt nomen $q=e^{\pi i\tau },$

${\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[2pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\;=\;{\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}$

Dela dem med $\eta (\tau )$ , och notera även att ${\displaystyle \eta (\tau )=e^ {\frac {-\pi i}{\,12}}\eta (\tau +1)} ,$ då är de bara kvadrater av Weberfunktionerna ${\mathfrak {f}}_ {i}(q)$

${\begin{aligned}{\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{2}(q)^{ 2},\\[4pt]{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2 },\\[4pt]{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}(q)^{2},\end{ Justerat}}$

med jämna nedsänkta theta-funktioner avsiktligt listade först. Genom att använda den välkända Jacobi-identiteten med jämna prenumerationer på LHS,

$\theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4};$

därför,

${\mathfrak {f}}_{2}(q)^{8}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{8}={\mathfrak {f}}(q )^{8}.$

Relation till j-funktion

Kubikekvationens tre rötter

$j(\tau )={\frac {(x-16)^{3}}{x}}$

där j ( τ ) är j-funktionen ges av $x_{i}={\mathfrak {f }}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{ 24}$ . Också eftersom,

$j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4} (q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4 }(q){\Big )}^{8}}}$

och att använda definitionerna av Weber-funktionerna i termer av Jacobi theta-funktionerna, plus det faktum att ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}_{1 }(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}(q)^{2}={\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}{\ frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}=2} ,$ sedan

$j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^ {16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}=\left({\frac {{\mathfrak {f}} (q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(q)^{16}}{2}} \right)^{3}$

eftersom ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)} och$ har samma formler i termer av Dedekind eta-funktionen $\eta (\tau )$ .

Se även

• Ramanujan–Sato-serien, nivå 4

• Duke, William (2005), Fortsatt bråk och modulära funktioner (PDF) , Bull. Amer. Matematik. Soc. 42
•   Weber, Heinrich Martin (1981) [1898], Lehrbuch der Algebra (på tyska), vol. 3 (3:e upplagan), New York: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971-4
•   Yui, Noriko; Zagier, Don (1997), "On the singular values ​​of Weber modular functions", Mathematics of Computation , 66 (220): 1645–1662, doi : 10.1090/S0025-5718-97-00854-5 , 5 MR 80311