Siegel övre halvutrymme

Inom matematik är Siegels övre halvrymd av grad g (eller släktet g ) (även kallat Siegel övre halvplan ) uppsättningen av g × g symmetriska matriser över de komplexa talen vars imaginära del är positiv bestämd . Det introducerades av Siegel ( 1939 ). Det är det symmetriska utrymmet som är associerat med den symplektiska gruppen Sp(2 g , R ) .

Siegels övre halvrum har egenskaper som ett komplext grenrör som generaliserar egenskaperna hos det övre halvplanet, vilket är Siegels övre halvrum i specialfallet g=1 . Gruppen Sp(2 g , R ) av automorfismer som bevarar grenrörets komplexa struktur är isomorf till den symplektiska gruppen . Precis som den tvådimensionella hyperboliska metriken är den unika (upp till skalning) måtten på det övre halvplanet vars isometrigrupp är den komplexa automorfismgruppen SL(2, R ) = Sp(2, R ) , Siegels övre halva- rymden har bara en måttenhet upp till skalning vars isometrigrupp är Sp(2 g , R ) . Om du skriver en generisk matris Z i Siegel övre Sp(2 g , R ) halvrymden i termer av dess reella och imaginära delar som Z = X + iY , är alla mått med isometrigruppen proportionella mot

$ds^{2}={\text{tr}}(Y^{-1}dZY^{-1}d{\bar {Z}}).$

Siegels övre halvplan kan identifieras med uppsättningen av tama nästan komplexa strukturer som är kompatibla med en symplektisk struktur ${\displaystyle \omega } ,$ på det underliggande $2n$ dimensionella reella vektorutrymmet $V$ , dvs mängden $J\in Hom(V)$ så att $J^{2}=-1$ och $\omega (Jv,v)>0$ för alla vektorer $v\neq 0$

Se även

• Siegel-domän , en generalisering av Siegels övre halva utrymme
• Siegel modulär form , en typ av automorf form definierad på Siegels övre halvutrymme
• Siegel modulär variation , ett modulutrymme konstruerat som en kvot av Siegels övre halvutrymme
• Moduli av abelska sorter

• Bowman, Joshua P. "Några elementära resultat på Siegel Half-plane" (PDF) . .

•    van der Geer, Gerard (2008), "Siegel modular forms and their applications", i Ranestad, Kristian (red.), The 1-2-3 of modular forms , Universitext, Berlin: Springer-Verlag , s. 181–245 , doi : 10.1007/978-3-540-74119-0 , ISBN 978-3-540-74117-6 , MR 2409679

•    Nielsen, Frank (2020), "The Siegel–Klein Disk: Hilbert Geometry of the Siegel Domain" , Entropy , 22 (9): 1019, arXiv : 2004.08160 , doi : 10.3390/e22091019 , PMC 7597112 , PMID 33286788

•     Siegel, Carl Ludwig , der funktionen 33286788 Siegel, Carl Ludwig Mathematische Annalen , 116 : 617–657, doi : 10.1007/BF01597381 , ISSN 0025-5831 , MR 0001251 , S2CID 124337559