Abelisk integral

Inom matematiken är en abelsk integral , uppkallad efter den norske matematikern Niels Henrik Abel , en integral i formens komplexa plan

$\int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,$

där $R(x,w)$ är en godtycklig rationell funktion av de två variablerna $x$ och $w$ , som är relaterade av ekvationen

$F(x,w)=0,$

där $F(x,w)$ är ett irreducerbart polynom i $w$ ,

$F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w ^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),$

vars koefficienter $\varphi _{j}(x)$ , $j=0,1,\ldots ,n$ är rationella funktioner av ${\ displaystil x}$ . Värdet av en abelsk integral beror inte bara på integrationsgränserna, utan också på vägen längs vilken integralen tas; det är alltså en funktion med flera värden av $z$ .

Abeliska integraler är naturliga generaliseringar av elliptiska integraler , som uppstår när

$F(x,w)=w^{2}-P(x),\,$

där $P\left(x\right)$ är ett polynom av grad 3 eller 4. Ett annat specialfall av en abelsk integral är en hyperelliptisk integral , där $P(x)$ , i formeln ovan, är ett polynom med grad som är större än 4.

Historia

Teorin om abelska integraler har sitt ursprung i en artikel av Abel publicerad 1841. Denna artikel skrevs under hans vistelse i Paris 1826 och presenterades för Augustin-Louis Cauchy i oktober samma år. Denna teori, som senare utvecklades fullt ut av andra, var en av 1800-talsmatematikens krona på verket och har haft en stor inverkan på utvecklingen av modern matematik. I ett mer abstrakt och geometriskt språk ingår det i begreppet abelsk variation , eller mer exakt i det sätt som en algebraisk kurva kan kartläggas till abelska varieteter. Abeliska integraler kopplades senare till den framstående matematikern David Hilberts 16 :e problem , och de fortsätter att anses vara en av de främsta utmaningarna inom samtida matematik.

Modern utsikt

I teorin om Riemann-ytor är en abelsk integral en funktion relaterad till den obestämda integralen av en differential av det första slaget . Antag att vi får en Riemann-yta $S$ och på den en differentiell 1-form $\omega$ som överallt är holomorf på $S$ , och fixera en punkt $P_{ 0}$ på $S$ , varifrån man ska integrera. Vi kan betrakta

$\int _{P_{0}}^{P}\omega$

som en funktion med flera värden $f\left(P\right)$ , eller (bättre) en ärlig funktion av den valda vägen $C$ ritad på $S$ från $P_{0}$ till $P$ . Eftersom $S$ i allmänhet kommer att multipliceras bör man ange ${\displaystyle C} ,$ men värdet kommer i själva verket bara att bero på homologiklassen för $C$ .

I fallet med $S$ en kompakt Riemann-yta av genus 1, dvs en elliptisk kurva , sådana funktioner är de elliptiska integralerna . Logiskt sett bör därför en abelsk integral vara en funktion som $f$ .

Sådana funktioner introducerades först för att studera hyperelliptiska integraler , dvs för fallet där $S$ är en hyperelliptisk kurva . Detta är ett naturligt steg i teorin om integration till fallet med integraler som involverar algebraiska funktioner ${\displaystyle {\sqrt {A}}} ,$ där $A$ är ett polynom med grad $>4$ . De första stora insikterna i teorin gavs av Abel; den formulerades senare i termer av den jakobianska varianten $J\left(S\right)$ . Val av $P_{0}$ ger upphov till en standard holomorf funktion

$S\to J(S)$

av komplexa grenrör . Den har den definierande egenskapen att de holomorfa 1-formerna på ${\displaystyle S\to J(S)} ,$ av vilka det finns g oberoende sådana om g är släktet till S , dra tillbaka till en bas för differentialerna av det första slaget på S .

Anteckningar

• Abel, Niels H. (1841). "Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes" . Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France ( på franska). Paris. s. 176–264.
• Appell, Paul ; Goursat, Édouard (1895). Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (på franska). Paris: Gauthier-Villars.
• Bliss, Gilbert A. (1933). Algebraiska funktioner . Providence: American Mathematical Society .
• Forsyth, Andrew R. (1893). Funktionsteori för en komplex variabel . Providence: Cambridge University Press .
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978). Principer för algebraisk geometri . New York: John Wiley & Sons .
• Neumann, Carl (1884). Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abel'schen Integrale (2:a uppl.). Leipzig: BG Teubner .