Baumslag–Solitar grupp

Ett ark av Cayley-grafen för Baumslag–Solitar-gruppen BS(1, 2) . Röda kanter motsvarar a och blå kanter motsvarar b .

Arken i Cayley-grafen för Baumslag-Solitar-gruppen BS(1, 2) passar ihop till ett oändligt binärt träd .

Visualisering som jämför arket och det binära trädet Cayley-grafen för ${\text{BS}}(1,2)$ . Röda och blå kanter motsvarar $a$ respektive b $\displaystyle b} .$

Inom det matematiska området gruppteori är Baumslag –Solitar-grupperna exempel på två-generatorer en-relator-grupper som spelar en viktig roll i kombinatorisk gruppteori och geometrisk gruppteori som (mot)exempel och testfall. De ges av grupppresentationen

$\left\langle a,b\ :\ ba^{m}b^{-1}=a^{n}\right\rangle .$

För varje heltal m och n betecknas Baumslag–Solitar-gruppen BS( m , n ) . Relationen i presentationen kallas för Baumslag–Solitar-relationen .

Några av de olika BS( m , n ) är välkända grupper. BS(1, 1) är den fria abelska gruppen på två generatorer , och BS(1, −1) är den grundläggande gruppen i Klein-flaskan .

Grupperna definierades av Gilbert Baumslag och Donald Solitar 1962 för att ge exempel på icke- Hopfianska grupper . Grupperna innehåller resterande ändliga grupper, Hopfianska grupper som inte är resterande ändliga och icke-Hopfianska grupper.

Linjär representation

Definiera

$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\qquad B={\begin{pmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{pmatrix }}.$

Matrisgruppen G som genereras av A och B är en homomorf bild av BS( m , n ) , via homomorfismen inducerad av

$a\mapsto A,\qquad b\mapsto B.$

Det är värt att notera att detta i allmänhet inte kommer att vara en isomorfism. Till exempel om BS( m , n ) inte är restfinit (dvs. om det inte är så att | m | = 1 , | n | = 1 , eller | m | = | n | ) kan det inte vara isomorft till en ändlig genererad linjär grupp , som är känd för att vara resterande ändlig genom en sats av Anatolij Maltsev .

Se även

• Binär plattsättning

Anteckningar

• DJ Collins (2001) [1994], "Baumslag–Solitar group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Gilbert Baumslag och Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups , Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199–201. MR 0142635