Hopfian grupp
I matematik är en Hopfian-grupp en grupp G för vilken varje epimorfism
- G → G
är en isomorfism . På motsvarande sätt är en grupp Hopfian om och endast om den inte är isomorf till någon av dess rätta kvoter . En grupp G är co-Hopfian om varje monomorfism
- G → G
är en isomorfism. På motsvarande sätt G inte isomorft till någon av dess rätta undergrupper .
Exempel på Hopfian-grupper
- Varje ändlig grupp , genom ett elementärt räkneargument.
- Mer generellt, varje polycyklisk-för-ändlig grupp .
- Vilken ändligt genererad fri grupp som helst .
- Rationalernas grupp Q. _ _
- Vilken ändligt genererad resterande ändlig grupp som helst .
- Vilken ordhyperbolisk grupp som helst .
Exempel på icke-Hopfian grupper
- Kvasicykliska grupper .
- Gruppen R av reella tal .
- Baumslag –Solitar grupp B (2,3).
Egenskaper
Det visades av Collins (1969) att det är ett oavgörligt problem att avgöra, givet en ändlig presentation av en grupp, om gruppen är Hopfian. Till skillnad från obeslutbarheten hos många egenskaper hos grupper är detta inte en konsekvens av Adian–Rabin-satsen , eftersom Hopficity inte är en Markov-egenskap , vilket framgick av Miller & Schupp (1971) .
- Collins, DJ (1969). "Om att känna igen Hopf-grupper". Archiv der Mathematik . 20 (3): 235–240. doi : 10.1007/BF01899291 . S2CID 119354919 .
- Johnson, DL (1990). Presentationer av grupper . London Mathematical Society Studenttexter. Vol. 15. Cambridge University Press . sid. 35. ISBN 0-521-37203-8 .
- Miller, CF; Schupp, PE (1971). "Inbäddningar i hopfianska grupper" . Journal of Algebra . 17 (2): 171. doi : 10.1016/0021-8693(71)90028-7 .
externa länkar