Keplers ekvation

För specifika tillämpningar av Keplers ekvation, se Keplers lagar för planetrörelse .

Keplers ekvationslösningar för fem olika excentriciteter mellan 0 och 1

I omloppsmekanik relaterar Keplers ekvation olika geometriska egenskaper hos omloppsbanan av en kropp som är föremål för en central kraft .

Det härleddes av Johannes Kepler 1609 i kapitel 60 i hans Astronomia nova , och i bok V i hans Epitome of Copernican Astronomy (1621) föreslog Kepler en iterativ lösning på ekvationen. Denna ekvation och dess lösning dök dock först upp i Habash al-Hasib al-Marwazis arbete från 900-talet relaterat till problem med parallax. Ekvationen har spelat en viktig roll i historien om både fysik och matematik, särskilt klassisk himlamekanik .

Ekvation

Keplers ekvation är

$M=Ee\sin E$

där $M$ är medelanomali , $E$ är excentrisk anomali och $e$ är excentricitet .

Den 'excentriska anomin' $E$ är användbar för att beräkna positionen för en punkt som rör sig i en Kepler-bana. Som till exempel, om kroppen passerar periastronen vid koordinaterna $x=a(1-e)$ , $y=0$ , vid tiden ${\ displaystyle t=t_{0}}$ , för att sedan ta reda på kroppens position när som helst, beräknar du först medelanomali $M$ från tiden och medelrörelsen $n$ med formeln $M=n(t-t_{0})$ , lös sedan Kepler-ekvationen ovan för att få $E$ , hämta sedan koordinaterna från:

${\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos Ee)\\y&=&b\sin E\end{array}}$

där $a}$ displaystyle är halvstoraxeln , $b$ halvmollaxeln .

Keplers ekvation är en transcendental ekvation eftersom sinus är en transcendental funktion , vilket betyder att den inte kan lösas för $E$ algebraiskt . Numerisk analys och serieexpansion krävs i allmänhet för att utvärdera $E$ .

Alternativa former

Det finns flera former av Keplers ekvation. Varje form är associerad med en specifik typ av omloppsbana. Standard Kepler-ekvationen används för elliptiska banor ( ${\displaystyle 0\leq e<1} )$ . Den hyperboliska Kepler-ekvationen används för hyperboliska banor ( ${\displaystyle e>1} )$ . Den radiella Kepler-ekvationen används för linjära (radiala) banor ( ${\displaystyle e=1} )$ . Barkers ekvation används för paraboliska banor ( ${\displaystyle e=1} )$ .

När $e=0$ är omloppsbanan cirkulär. Att öka $e$ gör att cirkeln blir elliptisk. När $e=1$ finns det tre möjligheter:

• en parabolisk bana,
• en bana som går in eller ut längs en oändlig stråle som utgår från attraktionens centrum,
• eller en bana som går fram och tillbaka längs ett linjesegment från attraktionens centrum till en punkt på något avstånd.

En liten ökning av $e$ över 1 resulterar i en hyperbolisk omloppsbana med en vridningsvinkel på strax under 180 grader. Ytterligare ökningar minskar svängningsvinkeln, och när $e$ går mot oändligheten blir omloppsbanan en rak linje med oändlig längd.

Hyperbolisk Kepler-ekvation

Den hyperboliska Kepler-ekvationen är:

$M=e\sinh HH$

där $H$ är den hyperboliska excentriska anomali. Denna ekvation härleds genom att omdefiniera M till att vara kvadratroten av −1 gånger den högra sidan av den elliptiska ekvationen:

$M=i\left(Ee\sin E\right)$

(där $E$ nu är imaginär) och sedan ersätter $E$ med $iH$ .

Radiell Kepler-ekvation

Den radiella Kepler-ekvationen är:

$t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x( 1-x)}}$

där $t$ är proportionell mot tiden och $x$ är proportionell mot avståndet från attraktionens centrum längs strålen. Denna ekvation härleds genom att multiplicera Keplers ekvation med 1/2 och sätta $e$ till 1:

$t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].$

och gör sedan bytet

$E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).$

Omvänt problem

Att beräkna $M$ för ett givet värde på $E$ är enkelt. Men att lösa för $E$ när $M$ ges kan vara betydligt mer utmanande. Det finns ingen lösning i sluten form .

Man kan skriva ett oändligt serieuttryck för lösningen av Keplers ekvation med Lagrange-inversion , men serien konvergerar inte för alla kombinationer av $e$ och $M$ (se nedan).

Förvirring över lösbarheten av Keplers ekvation har funnits i litteraturen i fyra århundraden. Kepler själv uttryckte tvivel på möjligheten att hitta en generell lösning:

Jag är tillräckligt övertygad om att den [Keplers ekvation] inte kan lösas a priori, på grund av bågens och sinusens olika karaktär. Men om jag har fel och någon pekar ut vägen för mig, så blir han i mina ögon den store Apollonius .

— Johannes Kepler

Fourierserieexpansion (med avseende på $M$ ) med Bessel-funktioner är

$E=M+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {2}{m}}J_{m}(mig)\sin(mM),\quad e\leq 1,\ quad M\in [-\pi ,\pi ].$

Med avseende på $e$ är det en Kapteyn-serie .

Omvänd Kepler-ekvation

Den inversa Kepler-ekvationen är lösningen av Keplers ekvation för alla reella värden på $e$ :

$E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{ n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\ frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg ) },&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+} }\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{ \Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1 \end{cases}}$

Att utvärdera detta ger:

$E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5 }+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+ {\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ med }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac { 1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e ^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{ 2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3} +243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases} }$

Dessa serier kan reproduceras i Mathematica med operationen InverseSeries.

0 InverseSeries [ Series [ M - Sin [ M ], { M , , 10 }]]

0 InverseSeries [ Series [ M - e Sin [ M ], { M , , 10 }]]

Dessa funktioner är enkla Maclaurin-serier . Sådana Taylor-serierepresentationer av transcendentala funktioner anses vara definitioner av dessa funktioner. Därför är denna lösning en formell definition av den omvända Kepler-ekvationen. ${\displaystyle E} är$ dock inte en hel funktion av $M$ vid en given icke-noll $e$ . Verkligen derivatan

$\mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E$

går till noll vid en oändlig uppsättning komplexa tal när $e<1,$ som är närmast noll är vid $E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),$ och vid dessa två punkter

$M=Ee\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1} (1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)$

(där invers cosh tas för att vara positiv), och $\mathrm {d} E/\mathrm {d} M$ går till oändlighet vid dessa värden på $M$ . Detta betyder att konvergensradien för Maclaurin-serien är $\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^ {2}}}$ och serien kommer inte att konvergera för värden på $M$ större än detta. Serien kan också användas för det hyperboliska fallet, i vilket fall konvergensradien är $\cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.$ Serien för när $e=1$ konvergerar när $M<2\pi$ .

Även om denna lösning är den enklaste i en viss matematisk mening, , andra lösningar är att föredra för de flesta tillämpningar. Alternativt kan Keplers ekvation lösas numeriskt.

Lösningen för $e\neq 1$ hittades av Karl Stumpff 1968, men dess betydelse erkändes inte.

Man kan också skriva en Maclaurin-serie i $e$ . Denna serie konvergerar inte när $e$ är större än Laplace-gränsen (cirka 0,66), oavsett värdet på $M$ (om inte $M$ är en multipel av 2π ), men den konvergerar för alla $M$ om $e$ är mindre än Laplace-gränsen. Koefficienterna i serien, förutom den första (som helt enkelt är $M$ ), beror på $M$ på ett periodiskt sätt med period 2π .

Invers radiell Kepler-ekvation

Den inversa radiella Kepler-ekvationen ( $e=1$ ) kan också skrivas som:

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({ \frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^ {\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r }})-{\sqrt {rr^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]$

Att utvärdera detta ger:

$x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3 }-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}- {\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3 }}$

För att få detta resultat med Mathematica :

0 InverseSeries [ Series [ ArcSin [ Sqrt [ t ]] - Sqrt [( 1 - t ) t ], { t , , 15 }]]

Numerisk approximation av omvänt problem

För de flesta applikationer kan det omvända problemet beräknas numeriskt genom att hitta roten till funktionen:

$f(E)=Ee\sin(E)-M(t)$

Detta kan göras iterativt via Newtons metod :

$E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}- e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}$

Observera att $E$ och $M$ är i enheter av radianer i denna beräkning. Denna iteration upprepas tills önskad noggrannhet erhålls (t.ex. när $f(E)$ < önskad noggrannhet). För de flesta elliptiska banor är ett initialt värde på $E_{0}=M(t)$ tillräckligt. För banor med ${\displaystyle e>0,8} bör$ ett initialt värde på $E_{0}=\pi$ användas. Om $e$ är identiskt 1, då kan derivatan av $f$ , som är i nämnaren för Newtons metod, komma nära noll, vilket gör derivatbaserade metoder som Newton-Raphson, secant, eller regula falsi numeriskt instabil. I så fall kommer bisektionsmetoden att ge garanterad konvergens, särskilt eftersom lösningen kan avgränsas i ett litet initialintervall. På moderna datorer är det möjligt att uppnå 4 eller 5 siffrors noggrannhet i 17 till 18 iterationer. Ett liknande tillvägagångssätt kan användas för den hyperboliska formen av Keplers ekvation. I fallet med en parabolisk bana används Barkers ekvation .

Iteration med fast punkt

En relaterad metod börjar med att notera att $E=M+e\sin {E}$ . Att upprepade gånger ersätta uttrycket till höger med $E$ till höger ger en enkel fastpunkts iterationsalgoritm för att utvärdera $E(e,M)$ . Denna metod är identisk med Keplers 1621-lösning.

   
      
         
             
     
      funktion  E  (  e  ,  M  ,  n  )  E  =  M  för  k  =  1  till  n  E  =  M  +  e  *  sin  E  nästa  k  returnera  E 

Antalet iterationer, $n$ , beror på värdet på $e$ . Den hyperboliska formen har på liknande sätt $H=e\sinh HM$ .

Denna metod är relaterad till Newtons metodlösning ovan i det

$E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n} )-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})( 1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}$

För att först beställa i de små kvantiteterna $M-E_{n}$ och $e$ ,

$E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}$ .

Se även

• Keplers lagar för planetrörelse
• Kepler problem
• Keplerproblem i allmän relativitetsteori
• Radiell bana

externa länkar

•   Danby, John M.; Burkardt, Thomas M. (1983). "Lösningen av Keplers ekvation. I". Himmelsk mekanik . 31 (2): 95–107. Bibcode : 1983CeMec..31...95D . doi : 10.1007/BF01686811 . S2CID 189832421 .
• Conway, Bruce A. (1986). "En förbättrad algoritm tack vare Laguerre för lösningen av Keplers ekvation". 24:e mötet för flygvetenskap . doi : 10.2514/6.1986-84 .
•   Mikkola, Seppo (1987). "En kubisk approximation för Keplers ekvation" (PDF) . Himmelsk mekanik . 40 (3): 329–334. Bibcode : 1987CeMec..40..329M . doi : 10.1007/BF01235850 . S2CID 122237945 .
•   Nijenhuis, Albert (1991). "Lösa Keplers ekvation med hög effektivitet och noggrannhet". Himmelsmekanik och dynamisk astronomi . 51 (4): 319–330. Bibcode : 1991CeMDA..51..319N . doi : 10.1007/BF00052925 . S2CID 121845017 .
•   Markley, F. Landis (1995). "Keplers ekvationslösare". Himmelsmekanik och dynamisk astronomi . 63 (1): 101–111. Bibcode : 1995CeMDA..63..101M . doi : 10.1007/BF00691917 . S2CID 120405765 .
•   Fukushima, Toshio (1996). "En metod som löser keplers ekvation utan transcendentala funktionsutvärderingar". Himmelsmekanik och dynamisk astronomi . 66 (3): 309–319. Bibcode : 1996CeMDA..66..309F . doi : 10.1007/BF00049384 . S2CID 120352687 .
•   Charles, Edgar D.; Tatum, Jeremy B. (1997). "Konvergensen av Newton-Raphson iteration med Keplers ekvation". Himmelsmekanik och dynamisk astronomi . 69 (4): 357–372. Bibcode : 1997CeMDA..69..357C . doi : 10.1023/A:1008200607490 . S2CID 118637706 .
•   Stumpf, Laura (1999). "Kaotiskt beteende i Newtons iterativa funktion associerad med Keplers ekvation". Himmelsmekanik och dynamisk astronomi . 74 (2): 95–109. doi : 10.1023/A:1008339416143 . S2CID 122491746 .
• Palacios, Manuel (2002). "Kepler-ekvation och accelererad Newton-metod" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 138 (2): 335–346. Bibcode : 2002JCoAM.138..335P . doi : 10.1016/S0377-0427(01)00369-7 .
• Boyd, John P. (2007). "Rootfinding för en transcendental ekvation utan en första gissning: Polynomialisering av Keplers ekvation genom Chebyshev polynomekvation av sinus". Tillämpad numerisk matematik . 57 (1): 12–18. doi : 10.1016/j.apnum.2005.11.010 .
• Pál, András (2009). "En analytisk lösning för Keplers problem" . Månatliga meddelanden från Royal Astronomical Society . 396 (3): 1737–1742. arXiv : 0904.0324 . Bibcode : 2009MNRAS.396.1737P . doi : 10.1111/j.1365-2966.2009.14853.x .
• Esmaelzadeh, Reza; Ghadiri, Hossein (2014). "Lämplig startmotor för att lösa Keplers ekvation" . International Journal of Computer Applications . 89 (7): 31–38. Bibcode : 2014IJCA...89g..31E . doi : 10.5120/15517-4394 .
• Zechmeister, Mathias (2018). "CORDIC-liknande metod för att lösa Keplers ekvation" . Astronomi och astrofysik . 619 : A128. arXiv : 1808.07062 . Bibcode : 2018A&A...619A.128Z . doi : 10.1051/0004-6361/201833162 .

• Keplers ekvation på Wolfram Mathworld