Minskad massa

I fysik är den reducerade massan den "effektiva" tröghetsmassan som uppträder i tvåkroppsproblemet i Newtons mekanik . Det är en kvantitet som gör att tvåkroppsproblemet kan lösas som om det vore ett enkroppsproblem . Observera dock att massan som bestämmer gravitationskraften inte reduceras . I beräkningen kan en massa ersättas med den reducerade massan, om detta kompenseras genom att den andra massan ersätts med summan av båda massorna. Den reducerade massan betecknas ofta med $\mu$ ( mu ), även om standardgravitationsparametern också betecknas med $\mu$ (liksom ett antal andra fysiska storheter ). Den har måtten massa och SI-enhet kg.

Ekvation

Med tanke på två kroppar, den ena med massan m ₁ och den andra med massan m ₂ , är det ekvivalenta enkroppsproblemet, med en kropps position i förhållande till den andra som det okända, det för en enda massakropp

$\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\ cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,$

där kraften på denna massa ges av kraften mellan de två kropparna.

Egenskaper

Den reducerade massan är alltid mindre än eller lika med massan av varje kropp:

$\mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}\!\,$

och har den reciproka tillsatsegenskapen:

${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2} }}\,\!$

som genom omarrangemang motsvarar hälften av det harmoniska medelvärdet .

I det speciella fallet att $m_{1}=m_{2}$ :

${\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}\,\!$

Om $m_{1}\gg m_{2}$ så $\mu \approx m_{2}$ .

Härledning

Ekvationen kan härledas enligt följande.

Newtonsk mekanik

Huvudartikel: Newtonsk mekanik

Med hjälp av Newtons andra lag är kraften som utövas av en kropp (partikel 2) på en annan kropp (partikel 1):

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}$

Kraften som partikel 1 utövar på partikel 2 är:

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}$

Enligt Newtons tredje lag är kraften som partikel 2 utövar på partikel 1 lika med och motsatt kraften som partikel 1 utövar på partikel 2:

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

Därför:

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{ 2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}$

Den relativa accelerationen a _rel mellan de två kropparna ges av:

$\mathbf {a} _{ \rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ höger)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1} ={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}$

Observera att (eftersom derivatan är en linjär operator) är den relativa accelerationen $\mathbf {a} _{\rm {rel}}$ lika med accelerationen av separationen $\mathbf {x} _{\rm {rel}}$ mellan de två partiklarna.

${ \displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2 }}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}}$

Detta förenklar beskrivningen av systemet till en kraft (eftersom ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}} ),$ en koordinat $\mathbf {x} _{\rm {rel}}$ , och en massa $\mu$ . Således har vi reducerat vårt problem till en enda frihetsgrad, och vi kan dra slutsatsen att partikel 1 rör sig med avseende på positionen för partikel 2 som en enskild partikel med massa lika med den reducerade massan, μ {\displaystyle \ $}$ .

Lagrangemekanik

Huvudartikel: Lagrangian mekanik

Alternativt ger en lagrangisk beskrivning av tvåkroppsproblemet en lagrangian av

${\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1 }\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \över 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(| \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,$

där ${\mathbf {r} }_{i}$ är positionsvektorn för massan $m_{i}$ (av partikel $i$ ). Den potentiella energin V är en funktion då den endast är beroende av det absoluta avståndet mellan partiklarna. Om vi ​​definierar

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

och låta masscentrum sammanfalla med vårt ursprung i denna referensram, dvs

$m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$ ,

sedan

$\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2 }=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.$

Att sedan ersätta ovan ger en ny Lagrangian

${\mathcal {L}}={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r ),$

var

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

är den reducerade massan. På så sätt har vi reducerat tvåkroppsproblemet till problemet med en kropp.

Ansökningar

Reducerad massa kan användas i en mängd tvåkroppsproblem, där klassisk mekanik är tillämplig.

Tröghetsmoment för två punktmassor i en linje

Två punktmassor som roterar runt massans centrum.

I ett system med två punktmassor $m_{1}$ och $m_{2}$ så att de är kolinjära, de två avstånden $r_{1}$ och $r_{2}$ till rotationsaxeln kan hittas med

$$r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$$

$$r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$$

där $R$ är summan av båda avstånden $R=r_{1}+r_{2}$ .

Detta gäller för en rotation runt massans centrum. Tröghetsmomentet runt denna axel kan sedan förenklas till

$$I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{ 2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1} +m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.$$

Kollisioner av partiklar

Vid en kollision med en restitutionskoefficient e kan förändringen i kinetisk energi skrivas som

$\Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\rm {rel}}^{2}(e ^{2}-1)$ ,

där v _rel är kropparnas relativa hastighet före kollision .

För typiska tillämpningar inom kärnfysik, där en partikels massa är mycket större än den andra, kan den reducerade massan approximeras som systemets mindre massa. Gränsen för formeln för reducerad massa när en massa går till oändligheten är den mindre massan, så denna approximation används för att underlätta beräkningar, speciellt när den större partikelns exakta massa inte är känd.

Rörelse av två massiva kroppar under deras gravitationsattraktion

När det gäller den potentiella gravitationsenergin

$V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,$

vi finner att positionen för den första kroppen i förhållande till den andra styrs av samma differentialekvation som positionen för en kropp med den reducerade massan som kretsar kring en kropp med en massa som är lika med summan av de två massorna, eftersom

$m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu \!\,$

Icke-relativistisk kvantmekanik

Betrakta elektronen (massan m _e ) och protonen (massan m _p ) i väteatomen . De kretsar runt varandra kring ett gemensamt masscentrum, ett tvåkroppsproblem. För att analysera elektronens rörelse, ett enkroppsproblem, ersätter den reducerade massan elektronmassan

$m_{e}\rightarrow {\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}$

och protonmassan blir summan av de två massorna

$m_{p}\högerpil m_{e}+m_{p}$

Denna idé används för att sätta upp Schrödinger-ekvationen för väteatomen.

Andra användningsområden

"Reducerad massa" kan också hänvisa mer allmänt till en algebraisk term av formen

$x^{*}={1 \över {1 \över x_{1}}+{1 \över x_{ 2}}}={x_{1}x_{2} \över x_{1}+x_{2}}\!\,$

som förenklar en formekvation

$\ {1 \over x^{*}}=\summa _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+{1 \ över x_{2}}+\cdots +{1 \över x_{n}}.\!\,$

Den reducerade massan används vanligtvis som ett förhållande mellan två systemelement parallellt, såsom resistorer ; oavsett om dessa är inom de elektriska, termiska, hydrauliska eller mekaniska domänerna. Ett liknande uttryck uppträder i de tvärgående vibrationerna hos balkar för elasticitetsmodulerna. Detta förhållande bestäms av de fysiska egenskaperna hos elementen samt kontinuitetsekvationen som länkar dem.

Se även

• Mittpunktsram
• Momentum bevarande
• Definiera ekvation (fysik)
• Harmonisk oscillator
• Chirp mass , en relativistisk motsvarighet som används i den post-newtonska expansionen

externa länkar

• Minskad massa på hyperfysik