Vis-viva ekvation

Inom astrodynamik är vis -viva -ekvationen , även kallad orbital-energi-invarianslag , en av ekvationerna som modellerar rörelsen hos kretsande kroppar . Det är det direkta resultatet av principen om bevarande av mekanisk energi som gäller när den enda kraft som verkar på ett föremål är dess egen vikt.

Vis viva (latin för "levande kraft") är en term från mekanikens historia, och den lever kvar i detta enda sammanhang. Den representerar principen att skillnaden mellan det totala arbetet för de accelererande krafterna i ett system och det för de retarderande krafterna är lika med hälften av det vis viva som ackumulerats eller förlorats i systemet medan arbetet utförs.

Ekvation

För varje keplerisk bana ( elliptisk , parabolisk , hyperbolisk eller radiell ) är vis-viva- ekvationen följande:

${\displaystyle v^{2}=GM\left({2 \over r}-{1 \over a}\right)$

var:

• v är den relativa hastigheten för de två kropparna
• r är avståndet mellan de två kropparnas massacentrum
• a är längden på halvstoraxeln ( a > 0 för ellipser , a = ∞ eller 1/ a = 0 för paraboler och a < 0 för hyperbler )
• G är gravitationskonstanten
• M är den centrala kroppens massa

Produkten av GM kan också uttryckas som standardgravitationsparametern med den grekiska bokstaven μ.

Härledning för elliptiska banor (0 ≤ excentricitet < 1)

I vis-viva-ekvationen anses massan m för den kretsande kroppen (t.ex. en rymdfarkost) vara försumbar i jämförelse med massan M för den centrala kroppen (t.ex. jorden). Den centrala kroppen och den kretsande kroppen kallas också ofta för den primära respektive en partikel. I de specifika fallen av en elliptisk eller cirkulär bana kan vis-viva-ekvationen lätt härledas från bevarande av energi och momentum.

Specifik total energi är konstant genom hela omloppsbanan. Sålunda, genom att använda sänkningarna a och p för att beteckna apoapsis (apogeum) respektive periapsis (perigeum),

$\varepsilon ={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM }{r_{a}}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}$

Ordna om,

${\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {v_{p}^{ 2}}{2}}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}$

Påminner om att för en elliptisk bana (och därmed också en cirkulär bana) hastighets- och radievektorerna är vinkelräta vid apoapsis och periapsis, kräver bevarande av vinkelmomentum specifikt vinkelmomentum h = $displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}={\text{konstant}}}, alltså v p = r a r p v a$ { $frac {r_{a}}{r_{p}}}v_{a}}$ :

${\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {r_{a }^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{ r_{p}}}$

${\frac {1}{2}}\left( {\frac {r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM }{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}$

Isolera den kinetiska energin vid apoapsis och förenkla,

${\frac {1}{2}}v_{a}^{2}= \left({\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}\right)\cdot {\frac {r_{p}^{2}}{r_ {p}^{2}-r_{a}^{2}}}$

${\ displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM\left({\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{a}r_{p}}}\ höger){\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}}$

${\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{ a})}}$

Från geometrin för en ellips, $2a=r_{p}+r_{a}$ där a är längden på halvhuvudaxeln. Således,

${\frac {1} {2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {2a-r_{a}}{r_{a}(2a)}}=GM\left({\frac {1}{r_{a }}}-{\frac {1}{2a}}\right)={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{2a}}$

Genom att ersätta detta med vårt ursprungliga uttryck för specifik orbital energi,

$\varepsilon ={\frac {v^{2} }{2}}-{\frac {GM}{r}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}={ \frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}=-{\frac {GM}{2a}}$

Således kan $\varepsilon =-{\frac {GM}{2a}}$ och vis-viva-ekvationen skrivas

${\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{ 2a}}$

eller

${\displaystyle v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$

Därför kan det bevarade vinkelmomentet L = mh härledas med $r_{a}+r_{p}=2a$ och $r_{a }r_{p}=b^{2}$ ,

där a är halvhuvudaxeln och b är den elliptiska omloppsbanans halva axel , enligt följande -

$v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{a}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a} }\left({\frac {2a-r_{a}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{p}}{r_ {a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{a}}}\right)^{2}$

och växelvis,

$v_{p}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{p}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a} }\left({\frac {2a-r_{p}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{a}}{r_ {p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{p}}}\right)^{2}$

Därför är specifikt vinkelmoment $h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}=b{\sqrt {\ frac {GM}{a}}}$ och

Total rörelsemängd $L=mh=mb{\sqrt {\frac {GM}{a}}}$

Praktiska tillämpningar

Givet den totala massan och skalärerna r och v vid en enda punkt i omloppsbanan, kan man beräkna r och v vid vilken annan punkt som helst i omloppsbanan.

Givet den totala massan och skalärerna r och v vid en enda punkt i omloppsbanan, kan man beräkna den specifika orbitalenergin $\varepsilon \,\!$ , vilket gör att ett objekt som kretsar kring ett större objekt kan klassificeras som att det inte har tillräckligt med energi för att förbli i omloppsbana, och därför vara " suborbital " (en ballistisk missil, till exempel), ha tillräckligt med energi för att vara "omloppsbana", men utan möjlighet att fullfölja en hel omloppsbana ändå eftersom den så småningom kolliderar med den andra kroppen, eller att ha tillräckligt med energi för att komma från och/eller gå till oändligheten (som en meteor, till exempel).

Formeln för flykthastighet kan erhållas från Vis-viva-ekvationen genom att ta gränsen när $a$ närmar sig $\infty$ :

$v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right) \rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$

externa länkar

• Vis-viva ekvationsräknare