Restitutionskoefficient

En studsande boll fångad med en stroboskopisk blixt med 25 bilder per sekund: Om man ignorerar luftmotståndet , ger kvadratroten av förhållandet mellan höjden av en studs och den föregående studsen restitutionskoefficienten för bollen/ytans påverkan.

Restitutionskoefficienten ( COR , även betecknad med e ), är förhållandet mellan den slutliga och initiala relativa hastigheten mellan två objekt efter att de kolliderar . Det sträcker sig normalt från 0 till 1 där 1 skulle vara en perfekt elastisk kollision . En perfekt oelastisk kollision har en koefficient på 0, men ett 0-värde behöver inte vara perfekt oelastiskt. Den mäts i Leeb rebound hårdhetstest , uttryckt som 1000 gånger COR, men det är bara en giltig COR för testet, inte som en universell COR för materialet som testas.

Värdet är nästan alltid mindre än 1 på grund av att initial translationell kinetisk energi går förlorad till rotationskinetisk energi, plastisk deformation och värme. Det kan vara mer än 1 om det finns en energivinst under kollisionen från en kemisk reaktion , en minskning av rotationsenergin eller en annan intern energiminskning som bidrar till hastigheten efter kollisionen .

$${\text{Restitutionskoefficient }}(e)={\frac {\left|{\text{Relativ hastighet efter kollision}}\right|}{\left|{\text{Relativ hastighet före kollision} }\right|}}$$

Matematiken utvecklades av Sir Isaac Newton 1687. Den är också känd som Newtons experimentella lag.

Ytterligare detaljer

Islagslinje – Det är linjen längs vilken e definieras eller i frånvaro av tangentiell reaktionskraft mellan kolliderande ytor, delas islagskraften längs denna linje mellan kroppar. Under fysisk kontakt mellan kroppar under sammanstötning dess linje längs normal normal till par av ytor i kontakt med kolliderande kroppar. Därför e som en dimensionslös endimensionell parameter.

Värdeintervall för e – behandlas som en konstant

e är vanligtvis ett positivt, reellt tal mellan 0 och 1:

• e = 0 : Detta är en perfekt oelastisk kollision.
• 0 < e < 1 : Detta är en oelastisk kollision i verkligheten, där viss kinetisk energi försvinner.
• e = 1 : Detta är en perfekt elastisk kollision, där ingen kinetisk energi försvinner, och föremålen studsar från varandra med samma relativa hastighet som de närmade sig.
• e < 0 : En COR mindre än noll skulle representera en kollision där objektens separationshastighet har samma riktning (tecken) som stängningshastigheten, vilket innebär att objekten passerade genom varandra utan att helt kopplas in. Detta kan också ses som en ofullständig överföring av momentum. Ett exempel på detta kan vara ett litet, tätt föremål som passerar genom ett stort, mindre tätt - t.ex. en kula som passerar genom ett mål.
• e > 1 : Detta skulle representera en kollision där energi frigörs, till exempel kan nitrocellulosabiljardbollar bokstavligen explodera vid islagspunkten. Dessutom har några nya artiklar beskrivit superelastiska kollisioner där det hävdas att COR kan ta ett värde som är större än ett i ett specialfall av snedkollisioner. Dessa fenomen beror på förändringen av returbanan orsakad av friktion. Vid sådana kollisioner frigörs kinetisk energi i någon form av explosion. Det är möjligt att $e=\infty$ för en perfekt explosion av ett stel system.

Parade objekt

COR är en egenskap hos ett par objekt i en kollision, inte ett enda objekt. Om ett givet objekt kolliderar med två olika objekt, skulle varje kollision ha sin egen COR. När ett föremål beskrivs ha en restitutionskoefficient, som om det vore en inneboende egenskap utan hänvisning till ett andra föremål, antas det vara mellan identiska sfärer eller mot en perfekt styv vägg.

En perfekt styv vägg är inte möjlig men kan approximeras av ett stålblock om man undersöker COR för sfärer med mycket mindre elasticitetsmodul. Annars kommer COR att stiga och sedan falla baserat på kollisionshastigheten på ett mer komplicerat sätt.

Samband med bevarande av energi och momentum

Vid en endimensionell kollision är de två nyckelprinciperna: bevarande av energi (bevarande av kinetisk energi om kollisionen är perfekt elastisk) och bevarande av (linjär) rörelsemängd. En tredje ekvation kan härledas från dessa två, vilket är restitutionsekvationen enligt ovan. När du löser problem kan två av de tre ekvationerna användas. Fördelen med att använda restitutionsekvationen är att den ibland ger ett bekvämare sätt att närma sig problemet.

Låt $m_{1}$ , $m_{2}$ vara massan av objekt 1 respektive objekt 2. Låt $u_{1}$ , $u_{2}$ vara initialhastigheten för objekt 1 respektive objekt 2. Låt $v_{1}$ , $v_{2}$ vara sluthastigheten för objekt 1 respektive objekt 2.

$${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2 }^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2 }\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}$$

Från den första ekvationen,

$$m_{1}\left(u_{1}^{2}-v_{1}^{2} \right)=m_{2}\left(v_{2}^{2}-u_{2}^{2}\right)$$

$$m_{1}\left(u_{1}+v_{ 1}\right)\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}+u_{2}\right)\left(v_{2}-u_{ 2}\right)$$

Från den andra ekvationen,

$$m_{1}\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_ {2}-u_{2}\right)$$

Efter delning,

$$u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}$$

$$u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})$$

$${\frac {\left|v_{1}-v_{2}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1$$

Ekvationen ovan är restitutionsekvationen, och restitutionskoefficienten är 1, vilket är en perfekt elastisk kollision.

Sportutrustning

Se även: Studsboll § Sportbestämmelser

Golfklubbförare med tunn ansikte använder en "trampolineffekt" som skapar körningar på längre avstånd som ett resultat av böjning och efterföljande frigöring av lagrad energi som ger bollen större impuls. USGA ( Amerikas styrande golforgan) testar förare för COR och har satt den övre gränsen till 0,83. COR är en funktion av hastigheten för klubbhuvudets hastighet och minskar när klubbhuvudets hastighet ökar. I rapporten sträcker sig COR från 0,845 för 90 mph till så lågt som 0,797 vid 130 mph. Ovan nämnda "studsmattaeffekt" visar detta eftersom den minskar kollisionens stresshastighet genom att öka tiden för kollisionen. Enligt en artikel (som behandlar COR i tennisracketar ), "[för benchmarkvillkoren är den använda restitutionskoefficienten 0,85 för alla racketar, vilket eliminerar variablerna för strängspänning och ramstyvhet som skulle kunna lägga till eller subtrahera från koefficienten för återbetalning."

Internationella bordtennisförbundet specificerar att bollen ska studsa upp 24–26 cm när den tappas från en höjd av 30,5 cm på ett standardstålblock och därmed ha en COR på 0,887 till 0,923.

En basketbolls COR betecknas genom att kräva att bollen ska studsa till en höjd av mellan 960 och 1160 mm när den tappas från en höjd av 1800 mm, vilket resulterar i en COR mellan 0,73–0,80.

Ekvationer

I fallet med en endimensionell kollision som involverar två objekt, objekt A och objekt B, ges restitutionskoefficienten av:

$$C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}- u_{\text{b}}\right|}},$$

var:

• $v_{\text{a}}$ är den slutliga hastigheten för objekt A efter nedslaget
• $v_{\text{b}}$ är den slutliga hastigheten för objekt B efter nedslaget
• $u_{\text{a}}$ är den initiala hastigheten för objekt A före nedslaget
• $u_{\text{b}}$ är den initiala hastigheten för objekt B före nedslaget

Även om $C_{R}$ inte uttryckligen beror på föremålens massor, är det viktigt att notera att sluthastigheterna är massberoende. För två- och tredimensionella kollisioner av stela kroppar används hastigheterna de komponenter som är vinkelräta mot tangentlinjen/planet i kontaktpunkten, dvs längs kollisionslinjen.

För ett objekt som studsar från ett stationärt mål, definieras $C_{R}$ som förhållandet mellan objektets hastighet efter nedslaget och det före nedslaget:

$$C_{R}={\frac {v}{u}},$$

var

• $v$ är objektets hastighet efter nedslaget
• $u$ är objektets hastighet före nedslaget

I ett fall där friktionskrafter kan försummas och föremålet tappas från vila på en horisontell yta, motsvarar detta:

$$C_{R}={\sqrt {\frac {h}{H}}},$$

var

• $h$ är studshöjden
• $H$ är fallhöjden

Restitutionskoefficienten kan ses som ett mått på i vilken utsträckning mekanisk energi bevaras när ett föremål studsar från en yta. _I fallet med ett föremål som studsar från ett stationärt mål, är förändringen i gravitationspotentialenergin , Ep , under anslagets förlopp väsentligen noll; sålunda $C_{R}$ en jämförelse mellan den kinetiska energin, Ek , för objektet omedelbart före nedslaget med den omedelbart efter nedslaget _:

$$C_{R}={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (efter påverkan)}}}{E_{\text{k, (före påverkan)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}} mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={ \frac {v}{u}}$$

I de fall där friktionskrafter kan försummas (nästan varje studentlaboratorium i detta ämne), och föremålet tappas från vila på en horisontell yta, motsvarar ovanstående en jämförelse mellan objektets E p vid _fallhöjd med det i studshöjden. I detta fall är förändringen i Ek noll (objektet är i huvudsak i vila under stötens gång och är också i vila vid spetsen av studsen) _; Således:

$$C_{R}={\sqrt {\frac {E_{\text{p , (vid studshöjd)}}}{E_{\text{p, (vid fallhöjd)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac { h}{H}}}$$

Hastigheter efter påverkan

Ekvationerna för kollisioner mellan elastiska partiklar kan modifieras för att använda COR, och blir därmed tillämpliga på oelastiska kollisioner också, och alla möjligheter däremellan.

$$v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{ a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}} -u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$$

och

$$v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{ a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}} -u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$$

var

• $v_{\text{a}}$ är sluthastigheten för det första objektet efter nedslaget
• $v_{\text{b}}$ är sluthastigheten för det andra objektet efter nedslaget
• $u_{\text{a}}$ är initialhastigheten för det första objektet före nedslaget
• $u_{\text{b}}$ är initialhastigheten för det andra objektet före nedslaget
• $m_{\text{a}}$ är massan av det första objektet
• $m_{\text{b}}$ är massan av det andra objektet

Härledning

Ovanstående ekvationer kan härledas från den analytiska lösningen till det ekvationssystem som bildas av definitionen av COR och lagen om bevarande av momentum (som gäller för alla kollisioner). Genom att använda notationen ovanifrån där $u$ representerar hastigheten före kollisionen och $v$ efter, ger:

$${\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a} }v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_ {\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}$$

Att lösa momentumkonserveringsekvationen för $v_{\text{a}}$ och definitionen av restitutionskoefficienten för $v_{\text{b}}$ ger:

$$\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {m_{ \text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{ m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b }})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}}$$

Därefter, substitution i den första ekvationen för $v_{\text{b}}$ och sedan upplösning för $v_{\text{a}}$ ger:

$${\begin {aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}} C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}} }}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text {b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_ {\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\höger]\\&\\&{\frac {m_ {\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text {b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned }}$$

En liknande härledning ger formeln för $v_{\text{b}}$ .

COR-variation på grund av föremålsform och kollisioner utanför centrum

När kolliderande föremål inte har en rörelseriktning som är i linje med deras tyngdpunkter och islagspunkt, eller om deras kontaktytor vid den punkten inte är vinkelräta mot den linjen, en del energi som skulle ha varit tillgänglig för stolpen -skillnaden i kollisionshastighet kommer att gå förlorad till rotation och friktion. Energiförluster till vibrationer och det resulterande ljudet är vanligtvis försumbara.

Kollidering av olika material och praktisk mätning

När ett mjukt föremål träffar ett hårdare föremål kommer det mesta av energin som är tillgänglig för hastigheten efter kollisionen att lagras i det mjuka föremålet. COR kommer att bero på hur effektivt det mjuka föremålet är för att lagra energin i kompression utan att förlora den till värme och plastisk deformation. En gummikula kommer att studsa bättre från betong än en glaskula, men COR för glas-på-glas är mycket högre än gummi-på-gummi eftersom en del av energin i gummi går förlorad till värme när det komprimeras. När en gummikula kolliderar med en glaskula kommer COR att vara helt beroende av gummit. Av denna anledning är det bäst att bestämma COR för ett material när det inte finns identiskt material för kollision genom att använda ett mycket hårdare material.

Eftersom det inte finns något perfekt styvt material, har hårda material som metaller och keramik sin COR teoretiskt bestämd genom att ta hänsyn till kollisionen mellan identiska sfärer. I praktiken kan en 2-bolls Newtons vagga användas, men en sådan uppsättning är inte gynnsam för att snabbt testa prover.

Leeb rebound-hårdhetstestet är det enda allmänt tillgängliga testet relaterat till att bestämma COR. Den använder en spets av volframkarbid, en av de hårdaste ämnen som finns tillgängliga, som tappas på testprover från en specifik höjd. Men formen på spetsen, slaghastigheten och volframkarbiden är alla variabler som påverkar resultatet som uttrycks i termer av 1000*COR. Det ger inte en objektiv COR för materialet som är oberoende av testet.

En omfattande studie av restitutionskoefficienter beroende på materialegenskaper (elastic moduli, reologi), slagriktning, friktionskoefficient och adhesiva egenskaper hos stötande kroppar finns i Willert (2020).

Förutsäga utifrån materialegenskaper

COR är inte en materialegenskap eftersom den förändras med materialets form och kollisionens särdrag, men den kan förutsägas utifrån materialegenskaper och kollisionshastigheten när detaljerna för kollisionen förenklas. För att undvika komplikationerna av rotations- och friktionsförluster kan vi överväga det ideala fallet med ett identiskt par sfäriska föremål, som kolliderar så att deras massacentrum och relativa hastighet är i linje.

Många material som metaller och keramik (men inte gummi och plast) antas vara perfekt elastiska när deras sträckgräns inte närmar sig under stöten. Stötenergin lagras teoretiskt endast i fjädereffekten av elastisk kompression och resulterar i e = 1. Men detta gäller endast vid hastigheter mindre än ca 0,1 m/s till 1 m/s. Det elastiska området kan överskridas vid högre hastigheter eftersom all kinetisk energi är koncentrerad vid islagspunkten. Specifikt överskrids vanligtvis sträckgränsen i en del av kontaktytan, vilket förlorar energi till plastisk deformation genom att inte stanna kvar i det elastiska området. För att ta hänsyn till detta uppskattar följande COR genom att uppskatta procentandelen av den initiala stötenergin som inte gick förlorad till plastisk deformation. Ungefärligt delar den hur lätt en volym av materialet kan lagra energi i kompression ( ${\displaystyle 1/{\text{elastic modulus}}})$ med hur väl den kan hålla sig inom elasticitetsområdet ( ${\displaystyle 1/{\text{avkastningsstyrka}}} )$ :

$$\displaystyle \%{\text{slagenergi tillgänglig för restitution}}\propto {\frac {\text{sträckgräns}}{\text{elastic modul}}}}$$

För en given materialdensitet och hastighet resulterar detta i:

$$\displaystyle {\text{restitutionskoefficient}}\propto {\sqrt {\frac {\text{sträckgräns}}{\text{elastic modul}}}}}$$

En hög sträckgräns tillåter att mer av materialets "kontaktvolym" stannar i det elastiska området vid högre energier. En lägre elasticitetsmodul tillåter en större kontaktyta att utvecklas under stöten så att energin fördelas till en större volym under ytan vid kontaktpunkten. Detta hjälper till att förhindra att sträckgränsen överskrids.

En mer exakt teoretisk utveckling visar att materialets hastighet och densitet också är viktig när man förutsäger COR vid måttliga hastigheter snabbare än elastisk kollision (större än 0,1 m/s för metaller) och långsammare än stor permanent plastisk deformation (mindre än 100 m) /s). En lägre hastighet ökar koefficienten genom att det krävs mindre energi för att absorberas. En lägre densitet innebär också att mindre initial energi behöver absorberas. Densiteten istället för massan används eftersom sfärens volym tar ut med volymen av den påverkade volymen vid kontaktytan. På så sätt påverkar inte sfärens radie koefficienten. Ett par kolliderande sfärer av olika storlekar men av samma material har samma koefficient som nedan, men multiplicerat med ${\textstyle \left({\frac {R_{1}}{R_{ 2}}}\höger)^{{3}/{8}}}$

Genom att kombinera dessa fyra variabler kan en teoretisk uppskattning av restitutionskoefficienten göras när en boll tappas på en yta av samma material.

• e = restitutionskoefficient
• S _y = dynamisk sträckgräns (dynamisk "elastisk gräns")
• E ′ = effektiv elasticitetsmodul
• ρρ = densitet
• v = hastighet vid islag
• μ = Poissons förhållande

$$frac {S_$$

$$E'={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}$$

Denna ekvation överskattar den faktiska COR. För metaller gäller det när v är ungefär mellan 0,1 m/s och 100 m/s och i allmänhet när:

$$0,001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1$$

Vid långsammare hastigheter är COR högre än ovanstående ekvation förutsäger, och når teoretiskt e=1 när ovanstående fraktion är mindre än $10^{-6}$ m/s. Den ger följande teoretiska restitutionskoefficient för solida sfärer som tappats 1 meter ( v = 4,5 m/s). Värden större än 1 indikerar att ekvationen har fel. Sträckgräns användes istället för dynamisk sträckgräns.

Metaller och keramik:	Förutspådd COR, t.ex
kisel	1,79
Aluminiumoxid	0,45 till 1,63
kiselnitrid	0,38 till 1,63
kiselkarbid	0,47 till 1,31
högsta amorfa metall	1,27
volframkarbid	0,73 till 1,13
rostfritt stål	0,63 till 0,93
magnesiumlegeringar	0,5 till 0,89
titanlegering klass 5	0,84
aluminiumlegering 7075-T6	0,75
glas (läsk-lime)	0,69
glas (borosilikat)	0,66
nickellegeringar	0,15 till 0,70
zinklegeringar	0,21 till 0,62
gjutjärn	0,3 till 0,6
kopparlegeringar	0,15 till 0,55
titan klass 2	0,46
volfram	0,37
aluminiumlegeringar 3003 6061, 7075-0	0,35
zink	0,21
nickel	0,15
koppar	0,15
aluminium	0,1
leda	0,08

COR för plast och gummi är högre än deras faktiska värden eftersom de inte beter sig så idealiskt elastiskt som metaller, glas och keramik på grund av uppvärmning under kompression. Så följande är bara en guide till rangordning av polymerer.

Polymerer (överskattade jämfört med metaller och keramik):

• polybutadien (golfbollsskal)
• butylgummi
• EVA
• silikonelastomerer
• polykarbonat
• nylon
• polyeten
• Teflon
• polypropen
• magmuskler
• akryl
• SÄLLSKAPSDJUR
• polystyren
• PVC

För metaller är området för hastigheter som denna teori kan tillämpas på cirka 0,1 till 5 m/s, vilket är ett fall på 0,5 mm till 1,25 meter (sidan 366).

Se även

• Studsboll
• Kollision
• Dämpningskapacitet
• Elasticitet

Anförda verk

• Cross, Rod (2006). "En bolls studs" (PDF) . Fysiska institutionen, University of Sydney, Australien . Hämtad 2008-01-16 . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
•   Walker, Jearl (2011). Fundamentals Of Physics (9:e upplagan). David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. ISBN 978-0-470-56473-8 .

externa länkar

• Wolfram Artikel om COR
• Bennett & Meepagala (2006). "Restitutionskoefficienter" . Fysikens faktabok .
• Chris Heckers fysikintroduktion
• "Få en extra studs" av Chelsea Wald
• FIFAs kvalitetskoncept för fotbollar – Uniform Rebound
• Bowley, Roger (2009). "Restitutionskoefficient" . Sextio symboler . Brady Haran för University of Nottingham .