Ram (linjär algebra)

Den här artikeln handlar om en generalisering av baser till linjärt beroende uppsättningar av vektorer. För en linjärt oberoende uppsättning vektorer, se k-frame .

I linjär algebra är en ram av ett inre produktrum en generalisering av en bas för ett vektorrum till mängder som kan vara linjärt beroende . I terminologin för signalbehandling tillhandahåller en ram ett redundant, stabilt sätt att representera en signal . Ramar används i feldetektering och korrigering och design och analys av filterbanker och mer allmänt inom tillämpad matematik , datavetenskap och teknik .

Definition och motivation

Motiverande exempel: beräkna en bas från en linjärt beroende uppsättning

Antag att vi har en uppsättning vektorer $\{\mathbf {e} _{k}\}$ i vektorrymden V och vi vill uttrycka ett godtyckligt element $\mathbf { v} \in V$ som en linjär kombination av vektorerna ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}} ,$ det vill säga vi vill hitta koefficienterna $c_{ k}$ sådan att

$\mathbf {v} =\summa _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}$

Om mängden $\{\mathbf {e} _{k}\}$ inte sträcker sig över $V$ , så finns inte sådana koefficienter för varje sådan $\mathbf { v}$ . Om $\{\mathbf {e} _{k}\}$ spänner över $V$ och även är linjärt oberoende , bildar denna uppsättning en bas för $V$ , och koefficienterna $c_{k}$ bestäms unikt av $\mathbf {v}$ . Om däremot $\{\mathbf {e} _{k}\}$ spänner över $V$ men inte är linjärt oberoende, blir frågan om hur man bestämmer koefficienterna mindre uppenbar, i synnerhet om $V$ är av oändlig dimension.

Med tanke på att $\{\mathbf {e} _{k}\}$ spänner över $V$ och är linjärt beroende, är en strategi att ta bort vektorer från mängden tills den blir linjärt oberoende och utgör en grund. Det finns några problem med denna plan:

1. Att ta bort godtyckliga vektorer från uppsättningen kan göra att den inte kan sträcka sig över $V$ innan den blir linjärt oberoende.
2. Även om det är möjligt att ta fram ett specifikt sätt att ta bort vektorer från mängden tills den blir en bas, kan detta tillvägagångssätt bli omöjligt i praktiken om mängden är stor eller oändlig.
3. I vissa applikationer kan det vara en fördel att använda fler vektorer än nödvändigt för att representera $\mathbf {v}$ . Det betyder att vi vill hitta koefficienterna $c_{k}$ utan att ta bort element i $\{\mathbf {e} _{k}\}$ . Koefficienterna $c_{k}$ kommer inte längre att bestämmas unikt av $\mathbf {v}$ . Därför kan vektorn $\mathbf {v}$ representeras som en linjär kombination av $\{\mathbf {e} _{k}\}$ på mer än ett sätt.

Formell definition

Låt V vara ett inre produktrum och $\{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ vara en uppsättning vektorer i $V$ . Dessa vektorer uppfyller ramvillkoret om det finns positiva reella tal A och B så att $0<A\leq B<\infty$ och för varje $\mathbf {v}$ i V ,

$A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf { e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.$

En uppsättning vektorer som uppfyller ramvillkoret är en ram för vektorrummet.

Siffrorna A och B kallas för de nedre respektive övre ramgränserna . Ramgränserna är inte unika eftersom nummer mindre än A och större än B också är giltiga ramgränser. Den optimala nedre gränsen är det högsta av alla nedre gränser och den optimala övre gränsen är infimum för alla övre gränser.

En ram kallas överfullständig (eller redundant ) om den inte är en grund för vektorrummet.

Analysoperatör

Operatören som avbildar $\mathbf {v} \in V$ till en sekvens av koefficienter $c_{k}$ kallas analysoperatorn för ramen. Det definieras av:

$\mathbf {T} :V\to \ell ^{2},\quad \mathbf { v} \mapsto \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} },\quad c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle$

Genom att använda denna definition kan vi skriva om ramvillkoret som

$A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \ mathbf {v} \right\|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}$

där de vänstra och högra normerna anger normen i $V$ och den mellersta normen är $\ell ^{2}$ normen.

Syntesoperator

Adjointoperatorn $\mathbf {T} ^{*}$ för analysoperatorn kallas syntesoperatorn för ramen.

$\mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\to V,\ quad \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\mapsto \mathbf {v} ,\quad \mathbf {v} =\summa _{k}c_{k}\mathbf {e } _{k}$

Motivation för den nedre rambunden

Vi vill att vilken vektor som helst $v\in V$ kan rekonstrueras från koefficienterna $\{\langle v,\mathbf {e} _{k }\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }$ . Detta är uppfyllt om det finns en konstant $A>0$ så att vi för alla ${\displaystyle x,y\in V} har:$

$A\|xy\|^{2}\leq \|Tx-Ty\|^{2}$

Genom att sätta $v=xy$ och tillämpa linjäriteten för analysoperatorn får vi att detta villkor är ekvivalent med:

$A\|v\|^{2}\leq \|Tv\|^{2}$

för alla $v\in V$ som är exakt det nedre rambundna villkoret.

Historia

På grund av de olika matematiska komponenterna som omger ramar, har ramteori rötter i harmonisk och funktionell analys , operatorteori , linjär algebra och matristeori .

Fouriertransformen har använts i över ett sekel som ett sätt att bryta ner och expandera signaler . Fouriertransformen maskerar emellertid nyckelinformation om emissionsögonblicket och varaktigheten av en signal. 1946 kunde Dennis Gabor lösa detta med en teknik som samtidigt reducerade brus, gav motståndskraft och skapade kvantisering samtidigt som viktiga signalegenskaper kapades in. Denna upptäckt markerade den första samlade ansträngningen mot ramteori.

Ramvillkoret beskrevs först av Richard Duffin och Albert Charles Schaeffer i en artikel från 1952 om icke-harmoniska Fourier-serier som ett sätt att beräkna koefficienterna i en linjär kombination av vektorerna för en linjärt beroende spännmängd (i deras terminologi, ett " Hilbert-rum" ram"). På 1980-talet använde Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies och Yves Meyer ramar för att analysera wavelets . Idag är ramar förknippade med wavelets, signal- och bildbehandling och datakomprimering .

Förhållande till baser

En ram uppfyller en generalisering av Parsevals identitet , nämligen ramvillkoret, samtidigt som normekvivalensen mellan en signal och dess koefficientsekvens upprätthålls.

Om mängden $\{\mathbf {e} _{k}\}$ är en ram av V , spänner den över V . Annars skulle det finnas minst en icke-noll $\mathbf {v} \in V$ som skulle vara ortogonal mot alla $\mathbf {e} _{k}$ . Om vi ​​infogar $\mathbf {v}$ i ramvillkoret får vi

$A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq 0\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2};$

därför $A\leq 0$ , vilket är ett brott mot de initiala antagandena på den nedre ramgränsen.

Om en uppsättning vektorer spänner över V , är detta inte ett tillräckligt villkor för att kalla uppsättningen en ram. Som ett exempel, betrakta $V=\mathbb {R} ^{2}$ med punktprodukten och den oändliga mängden $\{\mathbf {e} _{k }\}$ ges av

$\left\{(1,0),\,(0,1),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\,\left (0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.$

Denna uppsättning spänner över V men eftersom ${\displaystyle \sum _{k}\left|\langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right|^{ 2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty } ,$ vi kan inte välja en ändlig övre ramgräns B . Följaktligen är uppsättningen $\{\mathbf {e} _{k}\}$ inte en ram.

Ansökningar

Vid signalbehandling tolkas varje vektor som en signal. I denna tolkning är en vektor uttryckt som en linjär kombination av ramvektorerna en redundant signal. Med hjälp av en ram är det möjligt att skapa en enklare, glesare representation av en signal jämfört med en familj av elementära signaler (det vill säga att representera en signal strikt med en uppsättning linjärt oberoende vektorer kanske inte alltid är den mest kompakta formen) . Ramar ger därför robusthet . Eftersom de tillhandahåller ett sätt att producera samma vektor inom ett utrymme, kan signaler kodas på olika sätt. Detta underlättar feltolerans och motståndskraft mot en signalförlust. Slutligen kan redundans användas för att mildra brus , vilket är relevant för återställning, förbättring och rekonstruktion av signaler.

Vid signalbehandling är det vanligt att anta att vektorrummet är ett Hilbert-utrymme .

Speciella fall

Täta ramar

En ram är en tät ram om A = B ; med andra ord, ramen tillfredsställer en generaliserad version av Parsevals identitet . Till exempel är föreningen av k disjunkta ortonormala baser i ett vektorrum en tät ram med A = B = k . En tight frame är en Parseval-ram (kallas ibland en normaliserad ram ) om A = B = 1. Varje ortonormal bas är en Parseval-ram, men det omvända är inte alltid sant.

En ram $\{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ för $V$ är tät med rambunden A om och endast om

$v={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{ k}\rangle \mathbf {e} _{k}$

för alla $v\in V$ .

Lika normram

En ram är en lika normram (kallas ibland en enhetlig ram eller en normaliserad ram ) om det finns en konstant c så att $\|e_{i}\|=c$ för varje i . En lika normram är en enhetsnormram om c = 1. En Parseval (eller tight) enhetsnormram är en ortonormal bas; en sådan ram tillfredsställer Parsevals identitet .

Likkantiga ramar

En ram är en likvinklig ram om det finns en konstant c så att $|\langle e_{i},e_{j}\rangle |=c$ för varje distinkt i och j .

Exakta ramar

En ram är en exakt ram om ingen korrekt delmängd av ramen spänner över det inre produktutrymmet. Varje grund för ett inre produktutrymme är en exakt ram för utrymmet (så en bas är ett specialfall av en ram).

Generaliseringar

En Bessel-sekvens är en uppsättning vektorer som endast uppfyller den övre gränsen för ramvillkoret.

Kontinuerlig ram

Antag att H är ett Hilbert-rum, X ett lokalt kompakt rum , och $\mu$ är ett lokalt ändligt borelmått på X. Då en uppsättning vektorer i H , $\{ f_{x}\}_{x\in X}$ med måttet $\mu$ sägs vara en kontinuerlig ram om det finns konstanter, $0<A\leq B$ så att $A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f ||^{2}$ för alla $f\in H$ .

Exempel

Givet en diskret mängd $\Lambda \subset X$ och ett mått $\mu =\delta _{\Lambda }$ där $\delta _{\Lambda }$ är Dirac-måttet och sedan egenskapen för kontinuerlig ram

$A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f ||^{2}$

minskar till

$A||f||^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda }|\langle f,f_{\lambda }\rangle |^{2}\leq B||f ||^{2}$ .

och vi ser att kontinuerliga ramar verkligen är den naturliga generaliseringen av ramarna som nämns ovan.

Precis som i det diskreta fallet kan vi definiera analys, syntes och ramoperatorer när vi arbetar med kontinuerliga ramar.

Kontinuerlig analysoperatör

Givet en kontinuerlig ram ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}} är$ den kontinuerliga analysoperatorn operatoravbildningen $\{ f_{x}\}_{x\in X}$ till en sekvens av koefficienter $\langle f,f_{x}\rangle _{x\in X}$ .

Den definieras enligt följande:

$T:H\mapsto L^{2}(X,\mu )$ med $f\to \ langle f,f_{x}\rangle _{x\in X}$ .

Kontinuerlig syntesoperator

Den angränsande operatorn för den kontinuerliga analysoperatorn är den kontinuerliga syntesoperatorn , vilket är kartan

$T^{*}:L^{2}(X,\mu )\mapsto H$ med $a_{x}\to \int _{X}a_{x}f_{x}d\mu (x)$ .

Kontinuerlig ramoperatör

Sammansättningen av den kontinuerliga analysoperatorn och den kontinuerliga syntesoperatorn är känd som den kontinuerliga ramoperatorn . För en kontinuerlig ram $\{f_{x}\}_{x\in X}$ definieras den enligt följande:

$S:H\mapsto H$ av $Sf:=\int _{X}\langle f ,f_{x}\rangle f_{x}d\mu (x)$ .

Kontinuerlig dubbel ram

Givet en kontinuerlig ram $\{f_{x}\}_{x\in X}$ , och en annan kontinuerlig ram $\{g_{x }\}_{x\in X}$ , då sägs $\{g_{x}\}_{x\in X}$ vara en kontinuerlig dubbel ram av $\{f_{x}\}$ om den uppfyller följande villkor för alla $f,h\in H$ :

$\langle f,h\rangle =\int _{X}\langle f,f_{x} \rangle \langle g_{x},h\rangle d\mu (x)$ .

Dubbla ramar

Ramvillkoret innebär att det finns en uppsättning dubbla ramvektorer $\{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}$ med egenskapen som

$\mathbf {v} =\summa _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}$

för någon $\mathbf {v} \in V.$ Detta innebär att en ram tillsammans med sin dubbla ram har samma egenskap som bas och sin dubbla bas när det gäller att rekonstruera en vektor från skalära produkter.

För att konstruera en dubbel ram behöver vi först den linjära mappningen $\mathbf {S} :V\rightarrow V,$ som kallas ramoperatorn , definierad som

$\mathbf {S} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\ mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} .$

Från denna definition av $\mathbf {S}$ och linjäritet i det första argumentet för den inre produkten,

$\langle \mathbf {S} \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{k}\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{ k}\rangle \right|^{2},$

som, när den ersätts i ramvillkoret ojämlikhet, ger

$A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \langle \mathbf {S} \ mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},$

för varje $\mathbf {v} \in V.$

Ramoperatorn $\mathbf {S}$ är självadjoint , positiv definit , och har positiva övre och nedre gränser. Den inversa $\mathbf {S} ^{-1}$ av $\mathbf {S}$ finns och den är också självadjoint, positiv bestämd och har positiv övre och nedre gräns.

Den dubbla ramen definieras genom att mappa varje element i ramen med $\mathbf {S} ^{-1}$ :

${\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k}$

För att se att detta är vettigt, låt $\mathbf {v}$ vara ett element av $V$ och låt

$\mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.$

Således

$\mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k})=\mathbf {S} ^{-1}\left(\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}\right)=\ mathbf {S} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {v} ,$

vilket bevisar det

$\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.$

Alternativt kan vi låta

$\mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.$

Genom att infoga ovanstående definition av ${\tilde {\mathbf {e} }}_{k}$ och tillämpa egenskaperna för $\mathbf {S}$ och dess invers,

$\mathbf {u} =\summa _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\summa _{k}\ langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} (\mathbf {S} ^ {-1}\mathbf {v} )=\mathbf {v}$

som visar det

$\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.$

Siffrorna $\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle$ kallas ramkoefficienter . Denna härledning av en dubbel ram är en sammanfattning av avsnitt 3 i artikeln av Duffin och Schaeffer. De använder termen konjugerad ram för vad som här kallas en dubbel ram.

Den dubbla ramen $\{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}$ kallas den kanoniska dualen av $\{\mathbf {e } _{k}\}$ eftersom det fungerar på samma sätt som en dubbel bas till en bas.

När ramen $\{\mathbf {e} _{k}\}$ är överkomplett kan en vektor $\mathbf {v}$ skrivas som en linjär kombination av $\{\mathbf {e} _{k}\}$ på mer än ett sätt. Det vill säga att det finns olika val av koefficienter $\{c_{k}\}$ så att ${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.} Detta ger oss en viss frihet för valet av$ koefficienter $\{c_ {k}\}$ annat än ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle .} Det är nödvändigt att ramen { e k } {\displaystyle \$ { $} _{k}\}}$ är överkomplett för att andra sådana koefficienter $\{c_{k}\}$ ska existera. Om så är fallet finns det ramar $\{\mathbf {g} _{k}\}\neq \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{ k}\}$ för vilket

$\mathbf {v} =\summa _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {g} _{k}\rangle \mathbf {e } _{k}$

för alla $\mathbf {v} \in V.$ Vi kallar $\{\mathbf {g} _{k}\}$ en dubbel ram av $\{\mathbf {e} _{k}\}.$

Kanonisk dualitet är en ömsesidighetsrelation, dvs om ramen $\{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}$ är den kanoniska dubbla ramen för ${\ displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\},}$ sedan $\{\mathbf {e} _{k}\}$ är den kanoniska dubbla ramen för $\{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}.$

Se även

• k -ram
• Biortogonal våg
• Ortogonal våg
• Begränsad isometriegenskap
• Schauder grund
• Harmonisk analys
• Fourieranalys
• Funktionsanalys

Anteckningar

•   Casazza, Peter ; Kutyniok, Gitta ; Philipp, Friedrich (2013). "Introduktion till finita ramteori". Finita ramar: teori och tillämpningar . Berlin: Birkhäuser. s. 1–53. ISBN 978-0-8176-8372-6 .
•    Christensen, Ole (2003). En introduktion till ramar och Riesz-baser . Tillämpad och numerisk övertonsanalys. Birkhäuser. doi : 10.1007/978-0-8176-8224-8 . ISBN 978-1-4612-6500-9 . MR 1946982 .
•    Duffin, Richard James ; Schaeffer, Albert Charles (1952). "En klass av icke-harmoniska Fourier-serier" . Transaktioner från American Mathematical Society . 72 (2): 341–366. doi : 10.2307/1990760 . JSTOR 1990760 . MR 0047179 .
• Kovačević, Jelena; Chebira, Amina (2008). "En introduktion till ramar" (PDF) . Grunder och trender inom signalbehandling . 2 (1): 1–94. doi : 10.1561/2000000006 .
•   Kovacevic, Jelena; Dragotti, Pier Luigi; Goyal, Vivek (2002). "Filtrera bankramexpansioner med raderingar" (PDF) . IEEE-transaktioner på informationsteori . 48 (6): 1439–1450. CiteSeerX 10.1.1.661.2699 . doi : 10.1109/TIT.2002.1003832 .
•   Mallat, Stéphane (2009). A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way (PDF) (3:e upplagan). Akademisk press. ISBN 978-0-12-374370-1 . Hämtad 2020-08-01 .