Prime geodetiska
Inom matematiken är en prime geodetik på en hyperbolisk yta en primitiv sluten geodetik , dvs en geodetisk som är en sluten kurva som spårar ut sin bild exakt en gång. Sådana geodesiker kallas prime geodesics eftersom de bland annat lyder en asymptotisk distributionslag liknande primtalssatsen .
Teknisk bakgrund
Vi presenterar kortfattat några fakta från hyperbolisk geometri som är till hjälp för att förstå primär geodesik.
Hyperboliska isometrier
Betrakta Poincarés halvplansmodell H av 2-dimensionell hyperbolisk geometri . Givet en fuchsisk grupp , det vill säga en diskret undergrupp Γ av PSL(2, R ) , verkar Γ på H via linjär fraktionerad transformation . Varje element i PSL(2, R ) definierar i själva verket en isometri av H , så Γ är en grupp isometrier av H .
Det finns då 3 typer av transformation: hyperbolisk, elliptisk och parabolisk. (De loxodromiska transformationerna är inte närvarande eftersom vi arbetar med reella tal .) Då har ett element γ av Γ 2 distinkta reella fixpunkter om och endast om γ är hyperboliskt. Se Klassificering av isometrier och Fixed points of isometries för mer information.
Sluten geodetik
Betrakta nu kvotytan M =Γ\ H . Följande beskrivning hänvisar till den övre halvplansmodellen av det hyperboliska planet . Detta är en hyperbolisk yta, i själva verket en Riemann-yta . Varje hyperboliskt element h av Γ bestämmer en sluten geodetisk av Γ\ H : först, genom att ansluta den geodetiska halvcirkeln som förenar de fixerade punkterna av h , får vi en geodetisk på H som kallas axeln för h , och genom att projicera denna geodetiska till M , vi få en geodetisk på Γ\ H .
Denna geodetiska är stängd eftersom 2 punkter som är i samma omloppsbana under inverkan av Γ projicerar till samma punkt på kvoten, per definition.
Det kan visas att detta ger en 1-1 överensstämmelse mellan slutna geodesiker på Γ\ H och hyperboliska konjugationsklasser i Γ. De primära geodetikerna är då de geodesiker som spårar ut sin bild exakt en gång - algebraiskt motsvarar de primitiva hyperboliska konjugationsklasser, det vill säga konjugationsklasser {γ} så att γ inte kan skrivas som en icke-trivial potens av ett annat element i Γ.
Tillämpningar av prime geodetik
Vikten av prime geodesics kommer från deras förhållande till andra grenar av matematiken, särskilt dynamiska system , ergodisk teori och talteori , såväl som Riemann ytor själva. Dessa applikationer överlappar ofta flera olika forskningsområden.
Dynamiska system och ergodisk teori
I dynamiska system representerar den slutna geodetiken det geodetiska flödets periodiska banor .
Talteori
I talteorin har olika "primtal geodetiska satser" bevisats som är mycket lika till andan till primtalssatsen . För att vara specifik låter vi π( x ) beteckna antalet slutna geodesiker vars norm (en funktion relaterad till längden) är mindre än eller lika med x ; sedan π( x ) ∼ x /ln( x ). Detta resultat krediteras vanligtvis Atle Selberg . I sin 1970 Ph.D. avhandling visade Grigory Margulis ett liknande resultat för ytor med variabel negativ krökning, medan han i sin 1980 Ph.D. avhandling, Peter Sarnak bevisade en analog till Chebotarevs densitetsteorem .
Det finns andra likheter med talteorin - feluppskattningar förbättras på ungefär samma sätt som feluppskattningar av primtalsteoremet förbättras. Det finns också en Selberg zeta-funktion som formellt liknar den vanliga Riemanns zeta-funktionen och delar många av dess egenskaper.
Algebraiskt kan prime geodesics lyftas till högre ytor på ungefär samma sätt som prime ideal i ringen av heltal i ett talfält kan delas (faktoriseras) i en Galois-förlängning . Se Täckkarta och uppdelning av främsta ideal i Galois-tillägg för mer information.
Riemanns ytteori
Sluten geodetik har använts för att studera Riemann-ytor; faktiskt, en av Riemanns ursprungliga definitioner av släktet av en yta var i termer av enkla stängda kurvor. Sluten geodetik har varit avgörande för att studera egenvärdena för laplaciska operatorer , aritmetiska fuchsiska grupper och Teichmüller-rum .