Ind-komplettering

I matematik är ind -komplettering eller ind-konstruktion processen att fritt lägga till filtrerade kogränser till en given kategori C. Objekten i denna ind-kompletterade kategori, betecknad Ind( C ), är kända som direkta system , de är funktorer från en liten filtrerad kategori I till C .

Det dubbla konceptet är pro-kompletteringen, Pro( C ).

Definitioner

Filtrerade kategorier

Ytterligare information: Filtrerad kategori

Direkta system beror på begreppet filtrerade kategorier . Till exempel är kategorin N , vars objekt är naturliga tal , och med exakt en morfism från n till m närhelst $n\leq m$ , en filtrerad kategori.

Direkta system

Se även: Direkt gräns § Direktsystem

Ett direktsystem eller ett ind-objekt i en kategori C definieras som en funktion

$F:I\to C$

från en liten filtrerad kategori I till C . Till exempel, om I är kategorin N som nämns ovan, är detta datum ekvivalent med en sekvens

$X_{0}\to X_{1}\to \cdots$

av objekt i C tillsammans med morfismer som visas.

Ind-fullbordandet

Ind-objekt i C bildar en kategori ind- C .

Två ind-objekt

$F:I\to C$

och

${\textstil G:J\to C}$ bestämmer en funktor

I ^op x J $\to$ Sets ,

nämligen funktionären

$\operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).$

Uppsättningen av morfismer mellan F och G i Ind( C ) definieras som colimit för denna funktion i den andra variabeln, följt av gränsen i den första variabeln:

$\operatörsnamn {Hom} _{\operatörsnamn {Ind} {\text{-}}C}(F,G)=\lim _{i}\operatörsnamn {colim} _{j}\operatörsnamn {Hom} _{C}(F(i),G(j)).$

Mer vardagligt betyder detta att en morfism består av en samling kartor $F(i)\to G(j_{i})$ för varje i , där ${\ displaystyle j_{i}}$ är (beroende på i ) tillräckligt stor.

Relation mellan C och Ind( C )

Den sista kategorin I = {*} som består av ett enda objekt * och endast dess identitetsmorfism är ett exempel på en filtrerad kategori. I synnerhet ger vilket som helst objekt X i C upphov till en funktor

$\{*\}\to C,*\mapsto X$

och därför till en funktionär

$C\to \operatörsnamn {Ind} (C),X\mapsto (*\mapsto X).$

Denna funktion är, som en direkt följd av definitionerna, helt trogen. Därför kan Ind( C ) betraktas som en större kategori än C .

Omvänt behöver det i allmänhet inte finnas en naturlig funktion

$\operatorname {Ind} (C)\to C.$

Men om C har alla filtrerade kogränser (även känd som direkta gränser), skickar du ett ind-objekt $F:I\to C$ (för någon filtrerad kategori I ) till dess colimit

$\operatorname {colim} _{I}F(i)$

ger en sådan funktion, som dock i allmänhet inte är en ekvivalens. Således, även om C redan har alla filtrerade kogränser, är Ind( C ) en strikt större kategori än C .

Objekt i Ind( C ) kan ses som formella direkta begränsningar, så att vissa författare också betecknar sådana objekt med

${\text{“}}\varinjlim _{i\in I}{\text{'' }}F(i).$

Denna notation beror på Pierre Deligne .

Inkompletteringens universella egendom

Övergången från en kategori C till Ind( C ) innebär att fritt lägga till filtrerade colimits till kategorin. Detta är anledningen till att konstruktionen också kallas in-kompletteringen av C . Detta görs exakt genom följande påstående: vilken funktion som helst $F:C\to D$ som tar värden i en kategori D som har alla filtrerade kogränser sträcker sig till en funktion ${ \displaystyle Ind(C)\to D}$ som bestäms unikt av kraven att dess värde på C är den ursprungliga funktorn F och så att den bevarar alla filtrerade kogränser.

Grundläggande egenskaper för ind-kategorier

Kompakta föremål

I huvudsak genom utformningen av morfismerna i Ind( C ) är vilket objekt X som helst i C kompakt när det betraktas som ett objekt av Ind( C ), dvs.

$\operatorname {Hom} _{\operatörsnamn {Ind} (C)}(X,-)$

bevarar filtrerade kogränser. Detta gäller oavsett vad C eller objektet X är, till skillnad från det faktum att X inte behöver vara kompakt i C . Omvänt uppstår vilket kompakt objekt som helst i Ind( C ) som bilden av ett objekt i X .

En kategori C kallas kompakt genererad, om den är ekvivalent med $\operatorname {Ind} (C_{0})$ för någon liten kategori $C_{0}$ . Ind-kompletteringen av kategorin FinSet av ändliga uppsättningar är kategorin för alla uppsättningar . På liknande sätt, om C är kategorin av ändligt genererade grupper, är ind-C ekvivalent med kategorin för alla grupper.

Att känna igen in-kompletteringar

Dessa identifieringar förlitar sig på följande fakta: som nämnts ovan har vilken funktion som helst $F:C\to D$ som tar värden i en kategori D som har alla filtrerade kogränser, en förlängning

${\tilde {F}}:\operatörsnamn {Ind} (C)\to D,$

som bevarar filtrerade kogränser. Denna förlängning är unik upp till likvärdighet. är denna funktion ${\tilde {F}}$ i huvudsak surjektiv om något objekt i D kan uttryckas som en filtrerad kogräns av objekt av formen $F(c)$ för lämpliga objekt c i C . För det andra är ${\tilde {F}}$ helt trogen om och endast om den ursprungliga funktorn F är helt trogen och om F skickar godtyckliga objekt i C till kompakta objekt i D .

Att tillämpa dessa fakta på, säg, inkluderingsfunktionen

$F:\operatörsnamn {FinSet} \subset \operatorname {Set} ,$

likvärdigheten

$\operatorname {Ind} (\operatörsnamn {FinSet} )\cong \operatorname {Set}$

uttrycker det faktum att vilken mängd som helst är den filtrerade kogränsen av finita mängder (till exempel är vilken mängd som helst föreningen av dess finita delmängder, vilket är ett filtrerat system) och dessutom att vilken finit mängd som helst är kompakt när den betraktas som ett objekt av Set .

Pro-kompletteringen

Liksom andra kategoriska föreställningar och konstruktioner, tillåter ind-kompletteringen en dubbel känd som pro-komplettering: kategorin Pro( C ) definieras i termer av ind-objekt som

$\operatorname {Pro} (C):=\operatörsnamn {Ind} (C^{op})^{op}.$

(Definitionen av pro- C beror på Grothendieck (1960) .)

är objekten för Pro( C ) inversa system eller pro-objekt i C . Per definition är dessa direkta system i den motsatta kategorin $C^{op}$ eller, motsvarande, funktorer

$F:I\to C$

från en liten samfiltrerad kategori I .

Exempel på pro-kategorier

Medan Pro( C ) finns för vilken kategori C som helst , är flera specialfall anmärkningsvärda på grund av kopplingar till andra matematiska föreställningar.

• Om C är kategorin av ändliga grupper , är pro-C ekvivalent med kategorin av profinita grupper och kontinuerliga homomorfismer mellan dem.
• Processen att förse en förbeställd uppsättning med dess Alexandrov-topologi ger en ekvivalens av pro-kategorin för kategorin av ändliga förbeställda uppsättningar, $\operatorname {Pro} (\operatörsnamn {PoSet} ^{\ text{fin}})$ , med kategorin spektrala topologiska utrymmen och kvasikompakta morfismer.
• Stendualitet hävdar att pro-kategorin $\operatorname {Pro} (\operatorname {FinSet} )$ i kategorin ändliga mängder är ekvivalent med kategorin stenutrymmen .

Uppkomsten av topologiska föreställningar i dessa pro-kategorier kan spåras till ekvivalensen, som i sig är ett specialfall av stendualitet,

$\operatörsnamn {FinSet} ^{op}=\operatörsnamn {FinBool}$

som skickar en finit mängd till potensmängden (betraktas som en finit boolesk algebra). Dualiteten mellan pro- och ind-objekt och känd beskrivning av ind-kompletteringar ger också upphov till beskrivningar av vissa motsatta kategorier. Till exempel kan sådana överväganden användas för att visa att den motsatta kategorin av kategorin vektorrum (över ett fast fält) är ekvivalent med kategorin linjärt kompakta vektorrum och kontinuerliga linjära kartor mellan dem.

Ansökningar

Pro-kompletteringar är mindre framträdande än ind-kompletteringar, men tillämpningar inkluderar formteori . Pro-objekt uppstår också via deras koppling till pro-representerbara funktorer, till exempel i Grothendiecks Galois-teori , och även i Schlessingers kriterium i deformationsteori .

Besläktade föreställningar

Tate-objekt är en blandning av ind- och pro-objekt.

Infinity-kategoriska varianter

Ind-kompletteringen (och, dubbelt, pro-kompletteringen) har utökats till ∞-kategorier av Lurie (2009) .

Se även

• Direct limit – Specialfall av colimit i kategoriteorin
• Omvänd gräns – Konstruktion i kategoriteori

Anteckningar

•   Bergman; Hausknecht (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 45, doi : 10.1090/surv/045 , ISBN 9780821804957
•   Bourbaki, Nicolas (1968), Matematiska element. Theory of sets , Översatt från franskan, Paris: Hermann, MR 0237342 .
•    Grothendieck, Alexander (1960), "Technique de descente et théoèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules" , Séminaire Bourbaki : années 1958 /59é/01s 1958/59/2019/96 - 6 (på franska), Sociétée mathématique de France, s. 369–390, MR 1603480 , Zbl 0234.14007
• "System (i en kategori)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
•   Johnstone, Peter T. (1982), Stone Spaces , ISBN 0521337798
•    Lurie, Jacob (2009), Higher topos theory , Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0 , MR 2522659
•   Segal, Jack; Mardešić, Sibe (1982), Shape theory , North-Holland Mathematical Library, vol. 26, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-86286-0