Peetres sats

Inom matematiken är den (linjära) Peetre-satsen, uppkallad efter Jaak Peetre , ett resultat av funktionsanalys som ger en karakterisering av differentialoperatorer i termer av deras effekt på generaliserade funktionsrum , och utan att nämna differentiering i explicita termer. Peetre-satsen är ett exempel på en ändlig ordningssats där en funktion eller en funktor , definierad på ett mycket allmänt sätt, faktiskt kan visas vara ett polynom på grund av något främmande tillstånd eller symmetri som ålagts den.

Den här artikeln behandlar två former av Peetre-satsen. Den första är originalversionen som, även om den är ganska användbar i sin egen rätt, faktiskt är för allmän för de flesta applikationer.

Den ursprungliga Peetre-satsen

Låt M vara ett jämnt grenrör och låt E och F vara två vektorbuntar på M . Låta

$\Gamma ^{\infty }(E),\ {\hbox{and}}\ \Gamma ^{\infty }(F)$

vara mellanrummen för släta sektioner av E och F . En operatör

$D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)$

är en morfism av skivor som är linjär på sektioner så att stödet för D är icke-ökande : supp Ds ⊆ supp s för varje jämn sektion s av E . Den ursprungliga Peetre-satsen hävdar att det för varje punkt p i M finns en grannskap U av p och ett heltal k (beroende på U ) så att D är en differentialoperator av ordningen k över U . Detta betyder att D faktorer genom en linjär mappning i _D från k - jeten av sektioner av E till rymden av jämna sektioner av F :

$D=i_{D}\circ j^{k}$

var

$j^{k}:\Gamma ^{\infty }E\rightarrow J^{k}E$

är k -jet-operatören och

$i_{D}:J^{k}E\rightarrow F$

är en linjär kartläggning av vektorbuntar.

Bevis

Problemet är invariant under lokal diffeomorfism, så det är tillräckligt att bevisa det när ^M är en öppen mängd i Rn och E och F är triviala buntar. Vid denna tidpunkt förlitar den sig främst på två lemman:

• Lemma 1. Om hypoteserna för satsen är uppfyllda, så finns det för varje x ∈ M och C > 0 en grannskap V av x och ett positivt heltal k så att för varje y ∈ V \{ x } och för vilken sektion som helst s av E vars k -jet försvinner vid y ( j ^k s ( y )=0), har vi | Ds ( y )|<C.
• Lemma 2. Det första lemmat är tillräckligt för att bevisa satsen.

Vi börjar med beviset på Lemma 1.

( Anta att lemmat är falskt. Sedan finns det en sekvens x _k som tenderar till x , och en sekvens av mycket osammanhängande bollar B _k runt x _k (vilket betyder att det geodetiska avståndet mellan två sådana bollar är icke-noll), och sektioner s _k av E över varje B _k så att j ^k s _k ( x _k )=0 men | Dsk ₍ xk )|≥C _> )|≥C>0.

Let ρ(x) denote a standard bump function for the unit ball at the origin: a smooth real-valued function which is equal to 1 on B_1/2(0), which vanishes to infinite order on the boundary of the unit ball.

Consider every other section s_2k. At x_2k, these satisfy

j^2ks_2k(x_2k)=0.

Suppose that 2k is given. Then, since these functions are smooth and each satisfy j^2k(s_2k)(x_2k)=0, it is possible to specify a smaller ball B′_δ(x_2k) such that the higher order derivatives obey the following estimate:

$\sum _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }s_{k}(y)|\leq {\frac {1}{M_{k}}}\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{k}$

where

$M_{k}=\sum _{|\alpha |\leq k}\sup |\nabla ^{\alpha }\rho |.$

Now

$\rho _{2k}(y):=\rho \left({\frac {y-x_{2k}}{\delta }}\right)$

is a standard bump function supported in B′_δ(x_2k), and the derivative of the product s_2kρ_2k is bounded in such a way that

$\max _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }(\rho _{2k}s_{2k})|\leq 2^{-k}.$

As a result, because the following series and all of the partial sums of its derivatives converge uniformly

$q(y)=\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{2k}(y)s_{2k}(y),$

q(y) is a smooth function on all of V.

We now observe that since s_2k and $\rho$_2ks_2k are equal in a neighborhood of x_2k,

$\lim _{k\rightarrow \infty }|Dq(x_{2k})|\geq C$

So by continuity |Dq(x)|≥ C>0. On the other hand,

$\lim _{k\rightarrow \infty }Dq(x_{2k+1})=0$

since Dq(x_2k+1)=0 because q is identically zero in B_2k+1 and D is support non-increasing. So Dq(x)=0. This is a contradiction.

Vi bevisar nu Lemma 2.

Låt oss först avstå från konstanten C från det första lemma. Vi visar att, under samma hypoteser som Lemma 1, |Ds(y)|=0. Välj ett y i V \{ x } så att j ^k s (y)=0 men | Ds ( y )|= g >0. Skala om s med en faktor 2 C /g. Sedan om g är icke-noll, genom lineariteten av D , | Ds ( y )|=2 C > C , vilket är omöjligt enligt Lemma 1. Detta bevisar satsen i det punkterade området V \{ x }.

Nu måste vi fortsätta differentialoperatorn till den centrala punkten x i det punkterade området. D är en linjär differentialoperator med jämna koefficienter. Dessutom skickar det bakterier med jämna funktioner till bakterier med jämna funktioner vid x också. Således är koefficienterna för D också jämna vid x .

En specialiserad applikation

Låt M vara ett kompakt jämnt grenrör (möjligen med gräns ), och E och F är ändliga dimensionella vektorbuntar på M . Låta

$\Gamma ^{\infty }(E)$ vara samlingen av jämna sektioner av E . En operator

$D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)$

är en jämn funktion (av Fréchet grenrör ) som är linjär på fibrerna och respekterar baspunkten på M :

$\pi \circ D_{p}=p.$

Peetre-satsen hävdar att det för varje operator D finns ett heltal k så att D är en differentialoperator av ordningen k . Närmare bestämt kan vi bryta ner

$D=i_{D}\circ j^{k}$

där $i_{D}$ är en kartläggning från strålarna av sektioner av E till bunten F . Se även inbyggda differentialoperatorer .

Exempel: Laplacian

Tänk på följande operatör:

$(Lf)(x_{0})=\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2} }}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(f(x)-f(x_{0}))dx$

där $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ och $S_{r}$ är sfären centrerad vid $x_{0}$ med radie $r$ . Detta är i själva verket Laplacian. Vi visar kommer att visa $L$ är en differentialoperator enligt Peetres teorem. Huvudtanken är att eftersom $Lf(x_{0})$ endast definieras i termer av $f$ s beteende nära $x_{0}$ , är det lokal karaktär; i synnerhet om $f$ är lokalt noll, så är ${\displaystyle Lf} också$ det, och stödet kan därför inte växa.

Det tekniska beviset går som följer.

Låt $M=\mathbb {R} ^{d}$ och $E$ och $F$ vara rank $1$ triviala buntar.

Då är $\Gamma ^{\infty }(E)$ och $\Gamma ^{\infty }(F)$ helt enkelt mellanslag $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ av smidiga funktioner på $\mathbb {R} ^{d}$ . Som en kärve ${\mathcal {F}}(U)$ uppsättningen av jämna funktioner på den öppna uppsättningen $U$ och begränsning är funktionsbegränsning.

För att se att $L$ verkligen är en morfism måste vi kontrollera $(Lu)|V=L(u|V)$ för öppna uppsättningar $U$ och $V$ så att $V\ subseteq U$ och $u\in C^{\infty }(U)$ . Detta är tydligt eftersom för $x\in V$ , båda $[(Lu)|V](x)$ och $[L(u|V)](x)$ är helt enkelt ${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{| S_{r}|}}\int _{S_{r}}(u(y)-u(x))dy} , eftersom$ S $\displaystyle S_{r}}$ så småningom sitter inuti både $U$ och $V$ i alla fall.

Det är lätt att kontrollera att $L$ är linjär:

$L(f+g)=L(f)+L(g)$ och ${\ displaystil L(af)=aL(f)}$

Slutligen kontrollerar vi att $L$ är lokal i den meningen att $suppLf\subseteq suppf$ . Om $x_{0}\notin supp(f)$ , då $\exists r>0$ så att $f=0$ i kulan med radie $r$ centrerad på $x_{0}$ . Således, för $x\in B(x_{0},r)$ ,

$\int _{S_{r'}}(f(y)-f(x))dy=0$

för $r'<r-|x-x_{0}|$ , och följaktligen $(Lf)(x)=0$ . Därför $x_{0}\notin suppLf$ .

Så enligt Peetres teorem är $L$ en differentialoperator.

• Peetre, J., Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels , Math. Scand. 7 (1959), 211-218.
• Peetre, J., Rectification à l'article Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels , Math. Scand. 8 (1960), 116-120.
• Terng, CL , Naturliga vektorbuntar och naturliga differentialoperatorer , Am. J. Math. 100 (1978), 775-828.