Bäcklund transform

Inom matematik relaterar Bäcklund-transformationer eller Bäcklund-transformationer (uppkallad efter den svenske matematikern Albert Victor Bäcklund ) partiella differentialekvationer och deras lösningar. De är ett viktigt verktyg i solitonteori och integrerbara system . En Bäcklundtransform är typiskt sett ett system av första ordningens partiella differentialekvationer som relaterar till två funktioner, och ofta beroende på en ytterligare parameter. Det innebär att de två funktionerna var för sig uppfyller partiella differentialekvationer, och var och en av de två funktionerna sägs då vara en Bäcklund-transformation av den andra.

En Bäcklundtransform som relaterar lösningar av samma ekvation kallas en invariant Bäcklundtransform eller auto-Bäcklundtransform . Om en sådan transformation kan hittas kan mycket utläsas om ekvationens lösningar, särskilt om Bäcklundtransformen innehåller en parameter. Något systematiskt sätt att hitta Bäcklund-transformer är dock inte känt.

Historia

Bäcklundstransformer uppstod som transformationer av pseudosfärer på 1880-talet.

Bäcklund-transformer har sitt ursprung i differentialgeometri : det första icke-triviala exemplet är transformationen av pseudosfäriska ytor som introducerades av L. Bianchi och AV Bäcklund på 1880-talet. Detta är en geometrisk konstruktion av en ny pseudosfärisk yta från en initial sådan yta med hjälp av en lösning av en linjär differentialekvation . Pseudosfäriska ytor kan beskrivas som lösningar av sinus-Gordon-ekvationen , och därför kan Bäcklund-transformationen av ytor ses som en transformation av lösningar av sinus-Gordonekvationen.

Cauchy–Riemanns ekvationer

Det prototypiska exemplet på en Bäcklund-transform är Cauchy–Riemann-systemet

u_{x}=v_{y},\quad u_{y}=-v_{x},\,

som relaterar de verkliga och imaginära delarna $u$ och $v$ av en holomorf funktion . Detta första ordningens system av partiella differentialekvationer har följande egenskaper.

Om $u$ och $v$ är lösningar av Cauchy–Riemann-ekvationerna, så är $u$ en lösning av Laplace-ekvationen $u_{ xx}+u_{yy}=0$ (dvs en harmonisk funktion ), och så är $v$ . Detta följer enkelt genom att differentiera ekvationerna med avseende på $x$ och $y$ och använda det faktum att $u_{xy}=u_{yx},\quad v_{xy}=v_{yx}.\,$
Omvänt om $u$ är en lösning av Laplaces ekvation, så finns det funktioner $v$ som löser Cauchy–Riemann-ekvationerna tillsammans med $u$ .

I detta fall är alltså en Bäcklund-transformation av en övertonsfunktion bara en konjugerad övertonsfunktion . Ovanstående egenskaper betyder, mer exakt, att Laplaces ekvation för $u$ och Laplaces ekvation för $v$ är integrerbarhetsvillkoren för att lösa Cauchy–Riemann-ekvationerna.

Det är de karaktäristiska egenskaperna hos en Bäcklundtransform. Om vi har en partiell differentialekvation i $u$ , och en Bäcklundtransform från $u$ till $v$ , kan vi härleda en partiell differentialekvation uppfylld av $v$ .

Detta exempel är ganska trivialt, eftersom alla tre ekvationerna (ekvationen för $u$ , ekvationen för $v$ och Bäcklund-transformen som relaterar dem) är linjära. Bäcklund-transformer är mest intressanta när bara en av de tre ekvationerna är linjär.

Sinus-Gordons ekvation

Antag att u är en lösning av sinus-Gordon-ekvationen

u_{xy}=\sin u.\,

Sedan systemet

{\begin{aligned}v_{x}&=u_{ x}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {v+u}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}+{\frac {2}{a }}\sin {\Bigl (}{\frac {vu}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!

där a är en godtycklig parameter, är lösbar för en funktion v som också uppfyller sinus-Gordon-ekvationen. Detta är ett exempel på en auto-Bäcklund transformation.

Genom att använda ett matrissystem är det också möjligt att hitta en linjär Bäcklund-transform för lösningar av sinus-Gordon-ekvationen.

Liouvilles ekvation

En Bäcklundtransform kan förvandla en icke-linjär partiell differentialekvation till en enklare, linjär, partiell differentialekvation.

Till exempel om u och v är relaterade via Bäcklundtransformen

{\begin{aligned}v_{x}&=u_{ x}+2a\exp {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}-{\frac {1}{a }}\exp {\Bigl (}{\frac {uv}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!

där a är en godtycklig parameter, och om u är en lösning av Liouvilles ekvation

$u_{xy}=\exp u\,\!$

då är v en lösning av den mycket enklare ekvationen, $v_{xy}=0$ , och vice versa.

Vi kan sedan lösa den (icke-linjära) Liouville-ekvationen genom att arbeta med en mycket enklare linjär ekvation.

Se även

Hermann, Robert (1976). Geometrin för icke-linjära differentialekvationer, Bäcklund-transformationer och solitoner . Math Sci Press. ISBN 978-0-915692-16-3 .
Rogers, C.; Shadwick, WF (1982-05-12), Bäcklund-transformationer och deras tillämpningar (1:a uppl.), Academic Press, ISBN 0-12-592850-5
Rogers, C.; Schief, Wolfgang Karl (2002), Bäcklund and Darboux transformations , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-01288-1 , utdrag
AD Polyanin och VF Zaitsev, Handbook of Nolinar Partial Differential Equations , Chapman & Hall/CRC Press, 2004.

externa länkar

"Bäcklund transformation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Bäcklund Transformation" . MathWorld .