Oval (projektivt plan)

Till definitionen av en oval: e: yttre (passerande) linje, t: tangent, s: sekant

I projektiv geometri är en oval en punktuppsättning i ett plan som definieras av infallsegenskaper . Standardexemplen är de icke degenererade konerna . Emellertid definieras en konisk endast i ett pappianplan , medan en oval kan finnas i vilken typ av projektivplan som helst. I litteraturen finns det många kriterier som antyder att en oval är en konisk, men det finns många exempel, både oändliga och ändliga, på ovaler i pappiska plan som inte är koniska.

Som nämnts, i projektiv geometri definieras en oval av infallsegenskaper, men i andra områden kan ovaler definieras för att uppfylla andra kriterier, till exempel i differentialgeometri genom differentieringsförhållanden i det verkliga planet .

Den högre dimensionella analogen av en oval är en ovoid i ett projektivt utrymme .

En generalisering av det ovala konceptet är en abstrakt oval , vilket är en struktur som inte nödvändigtvis är inbäddad i ett projektivt plan. Det finns faktiskt abstrakta ovaler som inte kan ligga i något projektivt plan.

Definition av en oval

• I ett projektivt plan kallas en uppsättning Ω av punkter en oval , om:

1. Varje linje l möter Ω i högst två punkter, och
2. För vilken punkt P ∈ Ω som helst finns det exakt en tangentlinje t genom P , dvs t ∩ Ω = { P }.

När | l ∩ Ω | = 0 linjen l är en yttre linje (eller passant ), om | l ∩ Ω | = 1 en tangentlinje och om | l ∩ Ω | = 2 linjen är en sekantlinje .

För ändliga plan (dvs. uppsättningen punkter är ändlig) har vi en mer bekväm karakterisering:

• För ett ändligt projektivt plan av ordningen n (dvs. vilken linje som helst innehåller n + 1 punkter) är en uppsättning Ω av punkter en oval om och endast om | Ω | = n + 1 och inga tre punkter är kolinjära (på en gemensam linje).

En uppsättning punkter i ett affint plan som uppfyller ovanstående definition kallas en affin oval .

En affin oval är alltid en projektiv oval i den projektiva förslutningen (lägger till en linje i oändligheten) av det underliggande affina planet.

En oval kan också betraktas som en speciell kvadratisk uppsättning .

Exempel

Koniska sektioner

projektiv konisk i inhomogena koordinater: parabel plus punkt vid axelns oändlighet

projektiv konisk i inhomogena koordinater: hyperbel plus punkter vid oändligheten av asymptoterna

I vilket pappian projektivt plan som helst finns det icke degenererade projektiva koniska sektioner och alla icke degenererade projektiva koniska sektioner är en oval. Detta påstående kan verifieras genom en enkel beräkning för vilken som helst av konerna (som parabeln eller hyperbeln ).

Icke degenererade koner är ovaler med speciella egenskaper:

• Pascals sats och dess olika degenerationer är giltiga.
• Det finns många projektiviteter som lämnar en konisk invariant.

Ovaler, som inte är koniska

i det riktiga planet

1. Om man limmar en halv cirkel och en halv av en ellips smidigt ihop, får man en icke-konisk oval.
2. Om man tar den inhomogena representationen av en konisk oval som en parabel plus en punkt i oändligheten och ersätter uttrycket x ² med x ⁴ , får man en oval som inte är en konisk.
3. Om man tar den inhomogena representationen av en konisk oval som en hyperbel plus två punkter i oändligheten och ersätter uttrycket 1 / x med 1 / x ³ , får man en oval som inte är en konisk.
4. Den implicita kurvan x ⁴ + y ⁴ = 1 är en icke konisk oval.

i ett ändligt plan av jämn ordning

1. I ett ändligt pappiskt plan av jämn ordning har en icke degenererad kägelkärna ( en enda punkt genom vilken varje tangent passerar), som kan bytas ut mot vilken som helst punkt på könen för att få en oval som inte är en konisk.
2. För fältet K = GF(2 ^m ) med 2 ^m element låtna

$\Omega =\{(x,y)\in K^{2}\;|y=x^{2^{k}}\;\} \;\cup \;\{(\infty )\}$

För k ∈ {2,..., m − 1} och k och m coprime är mängden Ω en oval, som inte är en konisk.

Ytterligare finita exempel kan hittas här:

Kriterier för att en oval ska vara en konisk

För att en oval ska vara konisk måste ovalen och/eller planet uppfylla ytterligare villkor. Här är några resultat:

1. En oval i ett godtyckligt projektivt plan, som uppfyller infallsvillkoret i Pascals sats eller 5-punktsdegenerationen av den, är en icke degenererad kon.
2. Om Ω är en oval i ett pappiskt projektivt plan och gruppen av projektiviteter som lämnar Ω invariant är 3-transitiv, dvs för 2 tripplar A ₁ , A ₂ , A ₃ ; B ₁ , B ₂ , B ₃ av punkter finns det en projektivitet π med π( A _i ) = B _i , i = 1,2,3 . I det finita fallet 2-transitiv tillräckligt.
3. En oval Ω i ett pappiskt projektivt plan med karakteristiken ≠ 2 är en konisk om och endast om det för någon punkt P av en tangent finns en ofrivillig perspektivitet (symmetri) med centrum P som lämnar Ω invariant.
4. Om Ω är en oval i ett ändligt desarguesiskt (pappiskt) projektivt plan av udda ordning, PG(2, q ) , så är Ω en konisk ( Segres sats , ( Segre 1955 )). Detta innebär att, efter en möjlig förändring av koordinater, har varje oval av PG(2, q ) med q udda parametriseringen:

$\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}.$

För topologiska ovaler gäller följande enkla kriterier:

5. Varje sluten oval av det komplexa projektiva planet är en konisk.

Ytterligare resultat på ovaler i ändliga plan

En oval i ett ändligt projektivt plan av ordningen q är en ( q + 1, 2 ) -båge , med andra ord en uppsättning av q + 1 punkter, inga tre kolinjära. Ovaler i det desarguesiska (pappianska) projektiva planet PG(2, q ) för q udda är bara de icke-singulariska konerna. Ovaler i PG(2, q ) för q har dock ännu inte klassificerats.

I ett godtyckligt ändligt projektivt plan av udda ordning q existerar inga mängder med fler punkter än q + 1 , varav inga tre är kolinjära, som Bose först påpekade i en artikel från 1947 om tillämpningar av denna typ av matematik på statistiska design av experiment. Vidare, enligt Qvists sats , genom någon punkt som inte är på en oval passerar antingen noll eller två tangentlinjer för den ovalen.

En hyperoval (de 4 röda punkterna) i 7-punkts Fano-planet.

När q är jämnt är situationen en helt annan.

I det här fallet kan uppsättningar av q + 2 punkter, varav inte tre kolinjära, existera i ett ändligt projektivt plan av ordningen q och de kallas hyperovaler ; dessa är maximala bågar av grad 2.

Givet en oval finns det en unik tangent genom varje punkt, och om q till och med är Qvists sats visar ( Qvist (1952) ) att alla dessa tangenter är samtidiga i en punkt P utanför ovalen. Att lägga till denna punkt (kallad kärnan i ovalen eller ibland knuten ) till ovalen ger en hyperoval. Omvänt, att ta bort en punkt från en hyperoval ger omedelbart en oval.

Eftersom alla ovaler i fallet med jämn ordning ingår i hyperovaler, ger en beskrivning av de (kända) hyperovalerna implicit alla (kända) ovaler. Ovalerna som erhålls genom att ta bort en punkt från en hyperoval är projektivt ekvivalenta om och endast om de borttagna punkterna är i samma omloppsbana som automorfismgruppen av hyperovalen. Det finns bara tre små exempel (i desarguesiska planen) där automorfismgruppen för hyperovalen är transitiv på sina punkter (se ( Korchmáros 1978 )) så generellt finns det olika typer av ovaler som finns i en enda hyperoval.

Desarguesian Case: PG(2,2 ^h )

Detta är det mest studerade fallet och därför är det mest känt om dessa hyperovaler.

Varje icke-singular kon i det projektiva planet, tillsammans med dess kärna, bildar en hyperoval. Dessa kan kallas hyperkoner , men den mer traditionella termen är vanliga hyperovaler . För var och en av dessa uppsättningar finns det ett system med koordinater så att uppsättningen är:

$\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0 )\}.$

Men många andra typer av hyperovaler av PG(2, q ) kan hittas om q > 8. Hyperovaler av PG(2, q ) för q har till och med endast klassificerats för q < 64 hittills.

I PG(2,2 ^h ), h > 0, innehåller en hyperoval minst fyra punkter, varav tre är kolinjära. Med den projektiva geometrins grundläggande teorem kan vi alltså alltid anta att punkterna med projektiva koordinater (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) och (1,1,1) ingår i någon hyperoval. De återstående punkterna i hyperovalen (när h > 1) kommer att ha formen (t, f(t),1) där t sträcker sig genom värdena för det finita fältet GF(2 h ) och f är en funktion ^på det fältet som representerar en permutation och kan uttryckas unikt som ett polynom med grad som högst 2 ^h - 2, dvs det är ett permutationspolynom . Lägg märke till att f(0) = 0 och f(1) = 1 tvingas fram av antagandet om inkluderingen av de specificerade punkterna. Andra restriktioner på f tvingas fram av det kolinjära villkoret utan tre punkter. En f som producerar en hyperoval på detta sätt kallas o-polynom . Följande tabell listar alla kända hyperovaler (från och med 2011) av PG(2,2 ^h ) genom att ange o-polynomet och eventuella restriktioner för värdet av h som är nödvändiga för att den visade funktionen ska vara ett o-polynom. Observera att alla exponenter ska tas mod(2 ^h - 1).

Kända hyperovaler i PG(2,2 ^h )

namn	O-polynom	Fältbegränsning	Referens
Hyperkonisk	f(t) = t2	Ingen	Klassisk
Översättning	$f(t)=t^{2^{i}}$ (i,h) = 1	Ingen	( Segre 1962 )
Segre	f(t) = t 6	h udda	( Segre 1962 ); ( Segre & Bartocci 1971 )
Glynn I	f(t) = t 3σ+4 (se nedan)	h udda	( Glynn 1983 )
Glynn II	f(t) = t σ+γ (se nedan)	h udda	( Glynn 1983 )
Payne	f(t) = t 1/6 + t 1/2 + t 5/6	h udda	( Payne 1985 )
Cherowitzo	f(t) = t σ + t σ+2 + t 3σ+4	h udda	( Cherowitzo 1986 ) ; ( Cherowitzo 1998 )
Subiaco	se a) nedan	Ingen	( Cherowitzo et al. 1996 )
Adelaide	se b) nedan	h till och med	( Cherowitzo, O'Keefe & Penttila 2003 )
Penttila-O'Keefe	se c) nedan	h = 5	( O'Keefe & Penttila 1992 )
där $\gamma ^{4}\equiv \sigma ^{2}\equiv 2({\bmod {(}}2^{h} -1))$ .

^a) Subiaco o-polynomet ges av: $f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2} })t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \över {t^{4}+d^{2 }t^{2}+1}}+t^{1/2},$ närhelst ${\displaystyle tr (1/d)=1{\hbox{ och }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})} , där tr$ är det absoluta spårfunktion av GF(2 ^h ). Detta o-polynom ger upphov till en unik hyperoval om $h\not \equiv 2({\bmod {4}})$ och till två inekvivalenta hyperovaler om $h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2$ .

^b) För att beskriva Adelaide hyperovalerna börjar vi i en lite mer generell miljö. Låt F = GF(q) och K = GF(q ² ) . Låt $b\in K$ vara ett element av norm 1, olikt 1, dvs b ^q+1 = 1, $b\neq 1$ . Betrakta polynomet, för $t\in F$ ,

f(t) = ( tr (b)) ⁻¹ tr (b ^m )(t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹ tr ((bt + b ^q ) ^m )(t + tr (b)t ^½ + 1) ^1−m + t ^½ ,

där tr (x) = tr _K/F (x) = x + x ^q . När q = 2 ^h , med h jämn och m = ±(q - 1)/3, är ovanstående f(t) ett o-polynom för Adelaide hyperovalen.

^c) Penttila-O'Keefe o-polynomet ges av:

f(t) = t ⁴ + t ¹⁶ + t ²⁸ + η ¹¹ (t ⁶ + t ¹⁰ + t ¹⁴ + t ¹⁸ + t ²² + t ²⁶ ) + η ²⁰ (t ⁸ + t ²⁰ ) + η ⁶ (t ¹² + t ²⁴ ),

där η är en primitiv rot av GF(32) som uppfyller η ⁵ = η ² + 1.

Hyperovaler i PG(2, q), q jämnt, q ≤ 64

Eftersom hyperovalerna i de Desarguesiska planen av order 2, 4 och 8 alla är hyperkoniker ska vi bara undersöka planen för order 16, 32 och 64.

PG(2,16)

I ( Lunelli & Sce 1958) ges detaljerna i en datorsökning efter kompletta bågar i små plan som utförts på förslag av B. Segre. I PG(2,16) hittade de ett antal hyperovaler som inte var hyperkoniska. År 1975 visade M. Hall Jr. ( Hall 1975 ), också med avsevärd hjälp från en dator, att det bara fanns två klasser av projektivt olikvärdiga hyperovaler i detta plan, de hyperkoniska och hyperovala som hittats av Lunelli och Sce. Av de 2040 o-polynom som ger Lunelli-Sce hyperoval visar vi bara ett:

f(x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ² ,

där η är ett primitivt element av GF(16) som uppfyller η ⁴ = η + 1.

I sin tidning från 1975 beskrev Hall ett antal kollinationer av planet som stabiliserade Lunelli-Sce hyperovalen, men visade inte att de genererade hela automorfismgruppen av denna hyperovala. ( Payne & Conklin 1978 ) med hjälp av egenskaper hos en relaterad generaliserad fyrkant , visade att automorfismgruppen inte kunde vara större än den grupp som Hall gav. ( Korchmáros 1978 ) gav självständigt ett konstruktivt bevis för detta resultat och visade också att i desarguesiska plan är Lunelli-Sce hyperovalen den unika oregelbundna hyperovalen (icke-hyperkoniska) som medger en transitiv automorfismgrupp (och att de enda hyperkoniker som tillåter en sådan grupp) är de i order 2 och 4).

( O'Keefe & Penttila 1991 ) tillrättavisade Halls klassificeringsresultat utan användning av en dator. Deras argument består i att hitta en övre gräns för antalet o-polynom definierade över GF(16) och sedan, genom att undersöka möjliga automorfismgrupper av hyperovaler i detta plan, visa att om en annan hyperoval än de kända existerade i detta plan då skulle den övre gränsen överskridas. ( Brown & Cherowitzo 1991 ) tillhandahåller en gruppteoretisk konstruktion av Lunelli-Sce hyperovalen som föreningen av omloppsbanor för gruppen som genereras av upprymningen av PGU(3,4) betraktad som en undergrupp av PGL(3,16). I detta dokument ingår också en diskussion om några anmärkningsvärda egenskaper beträffande skärningspunkterna mellan Lunelli-Sce hyperovaler och hyperkoner. I ( Cherowitzo et al. 1996 ) visas att Lunelli-Sce hyperoval är den första icke-triviala medlemmen av Subiaco-familjen (se även ( Brown & Cherowitzo 1991 ) ). I ( Cherowitzo, O'Keefe & Penttila 2003 ) visas det vara den första icke-triviala medlemmen av familjen Adelaide.

PG(2,32)

Eftersom h = 5 är udda, har ett antal av de kända familjerna en representant här, men på grund av den lilla storleken på planet finns det några falska ekvivalenser, i själva verket är var och en av hyperovalerna av Glynn-typ projektivt ekvivalenta med en translationshyperoval, och Payne hyperoval är projektivt ekvivalent med Subiaco hyperoval (detta förekommer inte i större plan). Specifikt finns det tre klasser av (monomial typ) hyperovaler, hyperkoniska (f(t) = t ² ), korrekt translationshyperovaler (f(t) = t ⁴ ) och Segre-hyperovaler (f(t) = t ⁶ ) . Det finns också klasser som motsvarar Payne hyperoval och Cherowitzo hyperoval (för mer detaljer se ( Cherowitzo 1988 ). I ( O'Keefe, Penttila & Praeger 1991 ) har kollinationsgrupperna som stabiliserar var och en av dessa hyperovaler bestämts. Observera att i ursprunglig bestämning av kollineringsgruppen för Payne hyperovalerna måste fallet med q = 32 behandlas separat och förlitade sig mycket på datorresultat.I (O'Keefe, Penttila & Praeger 1991) ges en alternativ version av beviset som inte gör det. beror på datorberäkningar.

1991 upptäckte O'Keefe och Penttila en ny hyperoval i detta plan med hjälp av en detaljerad undersökning av delbarhetsegenskaperna hos ordningarna av automorfismgrupper av hypotetiska hyperovaler ( O'Keefe & Penttila 1992) . Ett av dess o-polynom ges av:

f(x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶ ) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰ ) + η ⁶ (x ¹² + x ²⁴ ),

där η är en primitiv rot av GF(32) som uppfyller η ⁵ = η ² + 1. Den fullständiga automorfismgruppen för denna hyperovala har ordning 3.

( Penttila & Royle 1994 ) strukturerade skickligt en uttömmande datorsökning efter alla hyperovaler i detta plan. Resultatet var att ovanstående lista är komplett, det finns bara sex klasser av hyperovaler i PG(2,32).

PG(2,64)

Genom att utvidga idéerna i ( O'Keefe & Penttila 1992 ) till PG(2,64) kunde ( Penttila & Pinneri 1994 ) söka efter hyperovaler vars automorfismgrupp medgav en kollination av ordning 5. De hittade två och visade att ingen andra hyperoval finns i detta plan som har en sådan automorfism. Detta avgjorde jakande en lång öppen fråga om B. Segre som ville veta om det fanns några hyperovaler i detta plan förutom hyperkonerna. Hyperovalen är:

f(x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ^{30 +} x ³⁸ +x ⁴⁴ +x ⁴⁸ + x ⁵⁴ +x ⁵⁶ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ +x ⁶² ) + η ⁴² (x ² + x ^{6 + x 26} + x ²⁸ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴⁰ ),

som har en automorfismgrupp av ordningen 15, och

f(x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ +x ⁸ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ^{34 + x 38} +x 40 +x ⁴⁴ + x ⁴⁶ +x ⁵² + x ⁵⁴ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ ) + η ⁴² (x ⁶ + x ¹² + x ¹⁸ + x 20 + x ^{26 +} x ³² + x ³⁶ + x ⁴² + x ⁴⁸ +x ⁵⁰ ),

som har en automorfismgrupp av ordningen 60, där η är ett primitivt element av GF(64) som uppfyller η ⁶ = η + 1. I ( Cherowitzo et al. 1996) visas att dessa är Subiaco hyperovaler. Genom att förfina datorsökprogrammet ( Penttila & Royle 1994 ) utökade sökningen till hyperovaler som medgav en automorfism av ordning 3, och fann hyperovalen:

f(x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁶ +x ¹⁶ +x ^{26 +x 28} +x ³⁰ + x ³² +x ⁴⁰ + x ⁵⁸ ) + η ⁴² (x ¹⁰ + x ¹⁸ + x ²⁴ + x ³⁶ + x ⁴⁴ + x ⁵⁰ + x ⁵² + x ⁶⁰ ),

som har en automorfismgrupp av ordningen 12 (η är ett primitivt element av GF(64) enligt ovan). Denna hyperovala är den första distinkta Adelaide hyperovalen.

Penttila och Royle ( Penttila & Royle 1995) har visat att vilken annan hyperoval som helst i detta plan skulle behöva ha en trivial automorfismgrupp. Detta skulle innebära att det skulle finnas många projektivt likvärdiga kopior av en sådan hyperoval, men generella sökningar har hittills inte hittat några, vilket ger trovärdighet till gissningen att det inte finns några andra på detta plan.

Abstrakta ovaler

Efter ( Bue1966 ), är en abstrakt oval , även kallad B-oval , av ordningen $n$ ett par $(F,{\mathfrak {G}})$ där ${ \displaystyle F}$ är en uppsättning av $n+1$ element, kallade punkter, och ${\mathfrak {G}}$ är en uppsättning involutioner som verkar på $F$ i ett skarpt kvasi 2-transitivt sätt, det vill säga för alla två $(a_{1},a_{2}),(b_{1 },b_{2})\in F$ med $a_{i}\neq b_{j}$ för $i,j\in \ {1,2\}$ , det finns exakt en $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ med $\sigma (a_{1}) =a_{2}$ och $\sigma (b_{1})=b_{2}$ . Vilken oval som helst som är inbäddad i ett projektivt plan av ordning $q$ kan vara utrustad med en struktur av en abstrakt oval av samma ordning. Det omvända är i allmänhet inte sant för $n\geq 8$ ; faktiskt, för $n=8$ finns det två abstrakta ovaler som kanske inte är inbäddade i ett projektivt plan, se ( Fa1984 ).

När $n$ är jämn, ger en liknande konstruktion abstrakta hyperovaler , se ( Po1997 ): en abstrakt hyperoval av ordningen $n$ är ett par $(F,{\mathfrak) {G}})$ där $F$ är en uppsättning av $n+2$ element och ${\mathfrak {G}}$ är en uppsättning fria involutioner med fast punkt agerar på $F$ så att det för varje uppsättning av fyra distinkta element $a,b,c,d\in F$ finns exakt en $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ med $\sigma (a)=b,\sigma (c)=d$ .

Se även

• Ovoid (projektiv geometri)

Anteckningar

•   Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / from foundations to applications , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
•   Buekenhout, F. (1966), "Études intrinsèque des ovales.", Rend. Matta. E Appl. , 25 (5): 333-393, MR 0218956
•   Brown, Julia MN; Cherowitzo, William E. (2000), "The Lunelli-Sce hyperoval in PG(2,16)", J. Geom. , 69 (1–2): 15–36, doi : 10.1007/BF01237471 , MR 1800454
•    Cherowitzo, William (1988), "Hyperovals in Desarguesian planes of even order", Ann. Diskret matematik. , Annals of Discrete Mathematics, 37 : 87–94, doi : 10.1016/s0167-5060(08)70228-0 , ISBN 97804444703699 , MR 0931308
•   Cherowitzo, W. (1996), "Hyperovals in Desarguesian planes: an update", Discrete Math. , 155 (1–3): 31–38, doi : 10.1016/0012-365X(94)00367-R , MR 1401356
•   Cherowitzo, W. (1998), "a-flockar och hyperovaler", Geom. Dedicata , 72 (3): 221–246, doi : 10.1023/A:1005022808718 , MR 1647703
•   Cherowitzo, William E.; O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim (2003), "En enhetlig konstruktion av ändliga geometrier associerade med q -klaner i karakteristik 2", Adv. Geom. , 3 (1): 1–21, doi : 10.1515/advg.2003.002 , MR 1956585
•   Cherowitzo, W.; Penttila, T.; Pinneri, I.; Royle, GF (1996), "Flockar och ovaler", Geom. Dedicata , 60 (1): 17–37, doi : 10.1007/BF00150865 , MR 1376478
•    Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275
•   Faina, G. (1984), "The B-ovals of order q ≤8", J. Combin. Teori Ser. A , 36 (3): 307–314, doi : 10.1016/0097-3165(84)90038-4 , MR 0744079
•   Glynn, David G. (1983), "Två nya sekvenser av ovaler i finita desarguesiska plan av jämn ordning", ( Kombinatorisk matematik, X) Lecture Notes in Math. vol. 1036, Berlin: Springer, s. 217–229, doi : 10.1007/BFb0071521 , MR 0731584
•   Hall, Marshall, Jr. (1975), "Ovals in the Desarguesian plane of order 16 ", Ann. Matta. Pura Appl. (4) , 102 : 159–176, doi : 10.1007/bf02410604 , MR 0358552
•    Hirschfeld, JWP (1998), Projective geometries over finite fields (2nd ed.), New York: The Clarendon Press Oxford University Press, s. xiv+555, ISBN 0-19-850295-8 , MR 1612570
•   Korchmáros, G. (1978), "Kolineationsgrupper transitiva på punkterna av en oval [ q+2 -båge] av S _2,q för q jämn", Atti Sem. Matta. Fis. Univ. Modena (på italienska och engelska), 27 (1): 89–105 (1979), MR 0551092
•   Korchmáros, G. (1991), "Gamla och nya resultat på ovaler i finita projektiva plan", ( Surveys in combinatorics, 1991) London Math. Soc. Föreläsningsanteckning Ser. vol. 166, Cambridge: Cambridge Univ. Press, s. 41–72, MR 1161460
•   Lunelli, L.; Sce, M. (1958), k -archi completi nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 e 16 (på italienska), Milano: Centro di Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, sid. 15, MR 0157276
•   O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim (1992), "A new hyperoval in PG(2,32)", J. Geom. , 44 (1–2): 117–139, doi : 10.1007/BF01228288 , MR 1169414
•   O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim (1991), "Hyperovals in PG(2,16)", European Journal of Combinatorics , 12 (1): 51–59, doi : 10.1016/s0195-6698(13)80007-8 , MR 1087648
•   O'Keefe, Christine M. ; Penttila, Tim; Praeger, Cheryl E. (1991), "Stabilisers of hyperovals in PG(2,32)", Advances in finite geometries and designs, Chelwood Gate, 1990 , New York: Oxford Univ. Press, s. 337–351, MR 1138755
•   Payne, Stanley E. (1985), "A new infinite family of generalized quadrangles", Congressus Numerantium , 49 : 115–128, MR 0830735
•   Payne, Stanley E.; Conklin, James E. (1978), "An unusual generalized quadrangle of order sixteen", Journal of Combinatorial Theory, Series A , 24 (1): 50–74, doi : 10.1016/0097-3165(78)90044-4 , MR 0462984
•   Penttila, Tim; Pinneri, Ivano (1994), "Irregular hyperovals in PG(2,64)", J. Geom. , 51 (1–2): 89–100, doi : 10.1007/BF01226860 , MR 1298348
•   Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1994), "Classification of hyperovals in PG(2,32)", J. Geom. , 50 (1–2): 151–158, doi : 10.1007/BF01222672 , MR 1280636
•   Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1995), "On hyperovals in small projective planes", J. Geom. , 54 (1–2): 91–104, doi : 10.1007/BF01222857 , MR 1358279
•   Polster, B. (1997), "Abstract hyperovals and Hadamard designs", Australas. J. Combin. , 16 : 29-33, MR 1477516
• Qvist, B. (1952), "Några anmärkningar angående kurvor av andra graden i ett ändligt plan", Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. AI Math.-Phys. 1952 (134) : 27, MR 0054977  
•    Segre, Beniamino (1955), "Ovals in a finite projective plane", Canadian Journal of Mathematics , 7 : 414–416, doi : 10.4153/CJM-1955-045-x , ISSN 0008-414X , MR 407
•   Segre, Beniamino (1962), "Ovali e curve σ nei piani di Galois di caratteristica due.", Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Matta. Nat. (8) (på italienska), 32 : 785–790, MR 0149361
•   Segre, B.; Bartocci, U. (1971), "Ovali ed altre curve nei piani di Galois di caratteristica due", Acta Arithmetica (på italienska), 18 : 423–449, doi : 10.4064/aa-18-1-423-449 , MR 0295201

externa länkar

• Bill Cherowitzos hyperovala sida